理科数学2022届高考考前冲刺卷（二）学生版

2022届高考考前冲刺卷

理 科 数 学（二）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集，集合，集合，则=（    ）

A． B． C． D．

2．复数满足，则复数的实部是（    ）

A． B． C． D．

3．小张一星期的总开支分布如图所示，一星期的食品开支如图所示，则小张一星期的肉类开支占总开支的百分比约为（    ）

A．10% B．8% C．5% D．4%

4．已知，，则角所在的象限是（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ）

A．  B．

C．  D．

6．若，则“”的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

7．在数列中，，，，则等于（    ）

A． B． C． D．

8．若平面上两点，，动点P满足，则动点P的轨迹与直线的公共点的个数为（    ）

A．2 B．1 C．0 D．与实数k的取值有关

9．已知，是双曲线（，）的左､右焦点，点M为双曲线的左支上一点，满足，且，则该双曲线的离心率（    ）

A． B． C． D．2

10．如图所示，在某体育场上，写有专用字体“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五块高度均为2米的标语牌正对看台（B点为看台底部）由近及远沿直线依次竖直摆放，分别记五块标语牌为，，…，，且米．为使距地面6米高的看台第一排A点处恰好能看到后四块标语牌的底部，则（    ）

A．米 B．54米 C．81米 D．米

11．已知函数，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

12．如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点，过点，，的平面记为，则下列说法中正确的个数是（    ）

①点到平面的距离与点到平面的距离之比为

②平面截直四棱柱所得截面的面积为

③平面将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为

④平面截直四棱柱所得截面的形状为四边形

A．0 B．1 C．2 D．3

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．的二项展开式中，的系数是__________．

14．已知向量，满足，，则_______．

15．已知225的所有正约数之和可按如下方法得到：因为，所以225的所有正约数之和为

，参照上述方法，可求得500的所有正约数之和为_________．

16．已知函数，若对，，都有

，则k的取值范围是________．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知等比数列中，，，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求．

18．（12分）第24届冬季奥运会于2022年2月在北京和张家口成功举办，为全世界提供了一场声势浩大的体育盛宴，北京成为全球首个“双奥之城”．北京冬奥会的成功举办充分展现了我国的风采，让各国人民感受到中国文化的博大精深和源远流长．让世界看到中国的变化，中国人民正在用自身的力量充分阐释着奥林匹克所倡导的更快、更高、更强、更团结精神．北京冬奥会期间，我国健儿顽强拼搏，取得了9枚金牌、4枚银牌、2枚铜牌的优异成绩．为了调查北京市民对北京冬奥会举办的满意程度，现对居民按年龄(单位：岁)进行调查，从某小区年龄在内的居民中随机抽取100人，将获得的数据按照年龄区间，，，，分成5组，同时对这100人的满意程度进行统计得到频率分布表．经统计在这100人中，共有78人对北京冬奥会的成功举办感到非常满意．

（1）求a和b的值；

（2）在这100人中，按分层抽样的方法从年龄在区间内的居民中抽取9人进行访谈，再从这9人中抽取3人参加电视台的座谈，记录抽取参加座谈的3人中年龄在的人数为X，求X的分布列和数学期望．

19．（12分）如图，在三棱锥中，是正三角形，平面平面，，点，分别是，的中点．

（1）证明：平面平面；

（2）若，点是线段上的动点，问：点运动到何处时，平面与平面所成的锐二面角最小．

20．（12分）已知函数．

（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；

（2）若，，且，求实数的取值范围．

21．（12分）已知双曲线的离心率为2，，为双曲线C的左、右焦点，是双曲线C上的一个点．

（1）求双曲线C的方程；

（2）若过点且不与渐近线平行的直线l（斜率不为0）与双曲线C的两个交点分别为M，N，记双曲线C在点M，N处的切线分别为，，点P为直线与直线的交点，试求点P的轨迹方程（注：若双曲线的方程为，则该双曲线在点处的切线方程为）．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t是参数）．以O为极点，

x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）求l的极坐标方程和C的直角坐标方程；

（2）若l与C交于A，B两点，求的值．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数．

（1）解不等式；

（2）若恒成立，求实数m的取值范围．

2022届高考考前冲刺卷

理 科 数 学（二）答 案

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】B

【解析】，则，故选B．

2．【答案】D

【解析】依题意，所以，

故的实部为，故选D．

3．【答案】A

【解析】由题图②知，小张一星期的食品开支为元，

其中肉类开支为100元，占食品开支的，而食品开支占总开支的，

所以小张一星期的肉类开支占总开支的百分比为，故选A．

4．【答案】C

【解析】因为，所以，

因为，所以，

所以，，

所以是第三象限角，故选C．

5．【答案】A

【解析】对于B选项，，与题图不符；

对于C选项，当时，，则，与题图不符；

对于D选项，，与题图不符，

排除BCD选项，故选A．

6．【答案】B

【解析】因为，

对于A，当，取，明显可见，不成立，故必要性不成立，

A错误；

对于B，当，，得，必要性成立；

当，取，，明显可见，，则不成立，充分性不成立；则B正确；

对于C，当，取，明显可见，，则不成立，故必要性不成立，则C错误；

对于D，当成立，则，明显可见，成立；

当，两边平方，同样有，充分性也成立，D错误，

故选B．

7．【答案】C

【解析】因，，则有，

于是得，当时，

，

因此，显然满足上式，

所以，故选C．

8．【答案】A

【解析】设点，由题意，得，

整理得到点的轨迹方程为，即，

因为直线过定点，即所求圆的圆心，

故直线和圆2个交点，故选A．

9．【答案】D

【解析】∵，由双曲线的定义得，

所以采用余弦定理：，

即，即，解得（负值舍去），

则该双曲线的离心率，故选D．

10．【答案】C

【解析】依题意，，

，

，

所以米，故选C．

11．【答案】D

【解析】函数的定义域为，

，即函数为偶函数，

，当时，，则，

所以，函数在上为增函数，

由，可得，得，

即，解得，

故选D．

12．【答案】D

【解析】对于①：因为平面过线段AB的中点E，所以点A到平面的距离与点B到平面的距离相等，由平面过A1A的三等分点M可知，

点A1到平面的距离是点A到平面的距离的2倍，因此，点A1到平面的距离是点B到平面的距离的2倍．故命题①正确；

延长DA，DC交直线EF于点P，Q，连接D1P，D1Q，交棱A1A，C1C于点M、N，连接D1M，ME，D1N，NF，可得五边形D1MEFN．故命题④错误；

由平行线分线段成比例可得AP=BF=1，故DP=DD1=3，则△DD1P为等腰三角形．

由相似三角形可知，AM=AP=1，A1M=2，则，．

连接MN，则，

因此五边形D1MEFN可分为等边三角形D1MN和等腰梯形MEFN．

等腰梯形MEFN的高，

则等腰梯形MEFN的面积为．

又，所以五边形D1MEFN的面积为，

故命题②正确；

记平面将直四棱柱分割成上下两部分的体积分别为V1、V2，

则，

所以，．故命题③正确，

综上得说法中正确的是①②③，故选D．

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．【答案】（或）

【解析】由二项式展开式的通项为，

令，解得，

将代入可得，所以的系数是，

故答案为．

14．【答案】1

【解析】因为，

又，所以，则，

故答案为1．

15．【答案】1092

【解析】，

500的所有正约数之和为

，

故答案为1092．

16．【答案】

【解析】，则当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

不妨设，则，，

由已知，即，

令，则在上不存在减区间，

从而当时，恒成立，即恒成立，

令，则，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以，所以．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）设数列的公比为q，则，

∴或（舍去），

由，得，

∴．

（2）设

①

②

∴

，

∴．

18．【答案】（1），；（2）分布列见解析，．

【解析】（1）∵100位居民中，共有78位居民非常满意，

∴，解得，

又，解得．

（2）由（1）可知，年龄在[35，45)的居民共有25人，年龄在[45，55)的居民共有20人，

按分层抽样抽取9人，则共有5人年龄在[35，45)内，4人年龄在[45，55)内．

由题可知X所有可能的取值分别为．

，，，，

则X的分布列为：

∴．

19．【答案】（1）证明见解析；（2）点G为BD的中点时．

【解析】（1）因为△ABC是正三角形，点E是BC中点，所以AEBC，

又因为平面ABC平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE平面ABC，

所以AE平面BCD，

又因为CD平面BCD，所以CDAE，

因为点E，F分别是BC，CD的中点，所以EF//BD，

又因为BDCD，所以CDEF，

又因为CDAE，AE∩EF，

AE平面AEF，EF平面AEF，所以CD平面AEF，

又因为CD平面ACD，所以平面ACD平面AEF．

（2）在平面BCD中，过点E作EH⊥BD，垂足为H，

设BC=4，则，DF=FC=l，．

以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系，

则，

设，则，，

设平面AEG的法向量为，

由，得，令，故；

设平面ACD的法向量为，

则，即，令，则，

设平面AEG与平面ACD所成的锐二面角为，

则，

当，最大，此时锐二面角最小，

故当点G为BD的中点时，平面AEG与平面ACD所成的锐二面角最小．

20．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）依题意，，故，

又，解得．

（2）因为，不妨设，

由，得，

故，故，

设，则，令，

因为，由题意可知，在区间上有零点，

而，

设的两根为，，由，得，

由在上有零点，则，解得，

故实数的取值范围为．

21．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）据题意，则，

点在双曲线上，则，

又，则，∴，，，

∴双曲线的方程为．

（2）设，，直线，

联立，

，，

由题知，切线，切线，

记，则，

两式相加得，

将代入得③；

两式相加得，

由，得④，

联立③和④得，故，

又，所以，则，

故点的轨迹方程为．

22．【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）消去直线l参数方程中的参数t得，

显然直线l过原点，倾斜角为，直线l的极坐标方程为，

曲线C的极坐标方程化为，

将代入得，即，

所以l的极坐标方程为，C的直角坐标方程为．

（2）把代入，得，解得，

因此，，所以．

23．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由题意得，

由可得或或，解得或，

所以不等式的解集为．

（2）如图所示，函数图象是顶点为，开口向上的“V”型折线，其左支过点时，．

①当时，函数图象在函数的图象上方（有1个交点），不等式，显然成立；

②当时，函数图象有部分在函数的图象下方，不恒成立，

综上所述，实数m的取值范围为．