2021中考数学真题知识点分类汇编（含答案）-一次函数1（53题，含答案）

这是一份2021中考数学真题知识点分类汇编（含答案）-一次函数1（53题，含答案），共49页。试卷主要包含了的最小值为k+3　 　等内容，欢迎下载使用。
2021中考数学真题知识点分类汇编-一次函数1（53题，含答案）

一．一次函数的图象（共1小题）
1．（2021•西藏）已知第一象限点P（x，y）在直线y＝﹣x+5上，点A的坐标为（4，0）
（1）当点P的横坐标为2时，求△AOP的面积；
（2）当S＝4时，求点P的坐标；
（3）求S关于x的函数解析式，写出x的取值范围，并在图中画出函数S的图象．

二．一次函数的性质（共6小题）
2．（2021•宁夏）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线y＝kx+b（k≠0）上，当x1＜x2时，y2＞y1，且kb＞0，则在平面直角坐标系内，它的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2021•长沙）下列函数图象中，表示直线y＝2x+1的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2021•沈阳）一次函数y＝﹣3x+1的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2021•广西）函数y＝2x+1的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2021•阿坝州）已知一次函数y＝ax﹣1，若y随x的增大而减小，则它的图象不经过第 　 　象限．
7．（2021•自贡）当自变量﹣1≤x≤3时，函数y＝|x﹣k|（k为常数）的最小值为k+3　 　．
三．正比例函数的性质（共1小题）
8．（2021•河南）请写出一个图象经过原点的函数的解析式 　 　．
四．一次函数图象与系数的关系（共3小题）
9．（2021•柳州）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．k＞0 B．b＝2
C．y随x的增大而增大 D．x＝3时，y＝0
10．（2021•眉山）一次函数y＝（2a+3）x+2的值随x值的增大而减少，则常数a的取值范围是 　 　．
11．（2021•成都）在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而增大，则点P（3，k）　 　象限．
五．一次函数图象上点的坐标特征（共15小题）
12．（2021•黔东南州）已知直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是第一象限内的点，若△PAB为等腰直角三角形（　　）
A．（1，1）
B．（1，1）或（1，2）
C．（1，1）或（1，2）或（2，1）
D．（0，0）或（1，1）或（1，2）或（2，1）
13．（2021•赤峰）点P（a，b）在函数y＝4x+3的图象上，则代数式8a﹣2b+1的值等于（　　）
A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣6
14．（2021•营口）已知一次函数y＝kx﹣k过点（﹣1，4），则下列结论正确的是（　　）
A．y随x增大而增大
B．k＝2
C．直线过点（1，0）
D．与坐标轴围成的三角形面积为2
15．（2021•苏州）已知点A（，m），B（，n）在一次函数y＝2x+1的图象上，则m与n的大小关系是（　　）
A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．无法确定
16．（2021•嘉兴）已知点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，且2a﹣5b≤0（　　）
A．≤ B．≥ C．≥ D．≤
17．（2021•兴安盟）如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为1，过点B1作B1A1⊥x轴，垂足为A1，以A1B1为边向右作正方形A1B1C1A2，延长A2C1交直线l于点B2；以A2B2为边向右作正方形A2B2C2A3，延长A3C2交直线l于点B3；…；按照这个规律进行下去，点B2021的坐标为 　 　．

18．（2021•德阳）已知函数y＝的图象如图所示，若直线y＝kx﹣3与该图象有公共点　 　．

19．（2021•镇江）已知一次函数的图象经过点（1，2），且函数值y随自变量x的增大而减小，写出符合条件的一次函数表达式 　 　．（答案不唯一，写出一个即可）
20．（2021•梧州）如图，直线l的函数表达式为y＝x﹣1，在直线l上顺次取点A1（2，1），A2（3，2），A3（4，3），A4（5，4），…，An（n+1，n），构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为S1，S2，S3，…，Sn，则S2021＝　 　．

21．（2021•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，点N1（1，1）在直线l：y＝x上，过点N1作N1M1⊥l，交x轴于点M1；过点M1作M1N2⊥x轴，交直线于N2；过点N2作N2M2⊥l，交x轴于点M2；过点M2作M2N3⊥x轴，交直线l于点N3；…，按此作法进行下去，则点M2021的坐标为 　 　．

22．（2021•潍坊）甲、乙、丙三名同学观察完某个一次函数的图象，各叙述如下：
甲：函数的图象经过点（0，1）；
乙：y随x的增大而减小；
丙：函数的图象不经过第三象限．
根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个函数表达式为 　 　．
23．（2021•贺州）如图，一次函数y＝x+4与坐标轴分别交于A，B两点，C分别是线段AB，OB上的点，PC＝PO，则点P的坐标为 　 　．

24．（2021•上海）已知函数y＝kx经过二、四象限，且函数不经过（﹣1，1），请写出一个符合条件的函数解析式 　 　．
25．（2021•广安）如图，在平面直角坐标系中，AB⊥y轴，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y＝﹣x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2也落在直线y＝﹣x上，以此进行下去…若点B的坐标为（0，3）21的纵坐标为 　 　．

26．（2021•泰安）如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，过点B1作B1A1⊥l，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3，延长B4C3交x轴于点A4；…；照这个规律进行下去，则第n个正方形AnBnBn+1∁n的边长为 　 　（结果用含正整数n的代数式表示）．

六．一次函数图象与几何变换（共9小题）
27．（2021•陕西）在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x向上平移3个单位，平移后的直线经过点（﹣1，m）（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
28．（2021•陕西）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6
29．（2021•嘉峪关）将直线y＝5x向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为（　　）
A．y＝5x﹣2 B．y＝5x+2 C．y＝5（x+2） D．y＝5（x﹣2）
30．（2021•扬州）如图，一次函数y＝x+的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，则线段AC长为（　　）

A．+ B．3 C．2+ D．+
31．（2021•桂林）如图，与图中直线y＝﹣x+1关于x轴对称的直线的函数表达式是 　 　．

32．（2021•毕节市）将直线y＝﹣3x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 　 　．
33．（2021•黄石）将直线y＝﹣x+1向左平移m（m＞0）个单位后，经过点（1，﹣3）　 　．
34．（2021•天津）将直线y＝﹣6x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 　 　．
35．（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0），直接写出m的取值范围．
七．待定系数法求一次函数解析式（共2小题）
36．（2021•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（0，4）．以AB为一边在第一象限作正方形ABCD（　　）
A．y＝﹣x+4 B．y＝﹣x+4 C．y＝﹣x+4 D．y＝4
37．（2021•乐山）如图，已知直线l1：y＝﹣2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，那么过原点O且将△AOB的面积平分的直线l2的解析式为（　　）

A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝2x
八．一次函数与一元一次方程（共2小题）
38．（2021•抚顺）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（　　）

A．x＝ B．x＝1 C．x＝2 D．x＝4
39．（2021•贺州）直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，1），B（2，0），则关于x的方程ax+b＝0的解为（　　）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
九．一次函数与一元一次不等式（共5小题）
40．（2021•娄底）如图，直线y＝x+b和y＝kx+4与x轴分别相交于点A（﹣4，0），点B（2，0），则（　　）

A．﹣4＜x＜2 B．x＜﹣4 C．x＞2 D．x＜﹣4或x＞2
41．（2021•鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝2x﹣1与直线y＝kx+b（k≠0）相交于点P（2，3），关于x的不等式2x﹣1＞kx+b的解集是（　　）

A．x＜2 B．x＜3 C．x＞2 D．x＞3
42．（2021•福建）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点（﹣1，0）（x﹣1）+b＞0的解集是（　　）

A．x＞﹣2 B．x＞﹣1 C．x＞0 D．x＞1
43．（2021•重庆）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数y＝，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象；
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y＝
…
﹣
﹣
﹣
0

4
　 　
0
　 　
　 　
　 　
…
（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的―条性质；
（3）已知函数y＝﹣x+3的图象如图所示．根据函数图象，直接写出不等式﹣的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）

44．（2021•自贡）函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，画出函数y＝﹣的图象
列表如下：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…


a

0
b
﹣2
﹣
﹣
…
（1）直接写出表中a、b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）观察函数y＝﹣的图象，判断下列关于该函数性质的命题：
①当﹣2≤x≤2时，函数图象关于直线y＝x对称；
②x＝2时，函数有最小值，最小值为﹣2；
③﹣1＜x＜1时，函数y的值随x的增大而减小．
其中正确的是 　 　．（请写出所有正确命题的番号）
（3）结合图象，请直接写出不等式＞x的解集 　 　．

一十．一次函数与二元一次方程（组）（共2小题）
45．（2021•德阳）关于x，y的方程组的解为（a，b）总在直线y＝x上方，那么k的取值范围是（　　）
A．k＞1 B．k＞﹣1 C．k＜1 D．k＜﹣1
46．（2021•梧州）如图，在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+与直线l2：y＝kx+3相交于点A，则方程组的解为 　 　．

一十一．两条直线相交或平行问题（共1小题）
47．（2021•贵阳）小星在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7条不同的直线y＝knx+bn（n＝1，2，3，4，5，6，7），其中k1＝k2，b3＝b4＝b5，则他探究这7条直线的交点个数最多是（　　）
A．17个 B．18个 C．19个 D．21个
一十二．一次函数综合题（共6小题）
48．（2021•宁夏）如图，已知直线y＝kx+3与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求k的值；
（2）D、E两点同时从坐标原点O出发，其中点D以每秒1个单位长度的速度，沿O→A→B的路线运动，沿O→B→A的路线运动．当D，E两点相遇时，设运动时间为t秒．
①在D、E两点运动过程中，是否存在DE∥OB？若存在，求出t的值，请说明理由；
②若设△OED的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出t为多少时

49．（2021•沈阳）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点（k≠0）经过点C（3，6），与x轴交于点A，交直线y＝x于点D，AD．
（1）填空：k＝　 　，点A的坐标是（ 　 　，　 　）；
（2）求证：四边形OADC是平行四边形；
（3）动点P从点O出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止，沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．
①当t＝1时，△CPQ的面积是 　 　．
②当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，请直接写出此时t的值．

50．（2021•衡阳）如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（6，0），动点P、Q同时从点O出发，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动．过点Q作MN∥OB分别交AO、AB于点M、N（秒）．
（1）求点M的坐标（用含t的式子表示）；
（2）求四边形MNBP面积的最大值或最小值；
（3）是否存在这样的直线l，总能平分四边形MNBP的面积？如果存在，请求出直线l的解析式，请说明理由；
（4）连接AP，当∠OAP＝∠BPN时，求点N到OA的距离．

51．（2021•黑龙江）如图，矩形ABOC在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点C在y轴正半轴上，OA2﹣9x+20＝0的两个根．解答下列问题：
（1）求点A的坐标；
（2）若直线MN分别与x轴，AB，AO，y轴交于点D，M，F，N，E，S△AMN＝2，tan∠AMN＝1，求直线MN的解析式；
（3）在（2）的条件下，点P在第二象限内，使以E，F，P，Q为顶点的四边形是正方形？若存在；若不存在，请说明理由．

52．（2021•金华）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线l：y＝，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线
（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内
①若BA＝BO，求证：CD＝CO．
②若∠CBO＝45°，求四边形ABOC的面积．
（2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在；若不存在，请说明理由．

53．（2021•遂宁）已知平面直角坐标系中，点P（x0，y0）和直线Ax+By+C＝0（其中A，B不全为0），则点P到直线Ax+By+C＝0的距离d可用公式d＝来计算．
例如：求点P（1，2）到直线y＝2x+1的距离，因为直线y＝2x+1可化为2x﹣y+1＝0，B＝﹣1，C＝1（1，2）到直线y＝2x+1的距离为：d＝＝＝＝．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点M（0，3）到直线y＝x+9的距离；
（2）在（1）的条件下，⊙M的半径r＝4x+9的位置关系，若相交，求n的值；若不相交

参考答案与试题解析
一．一次函数的图象（共1小题）
1．（2021•西藏）已知第一象限点P（x，y）在直线y＝﹣x+5上，点A的坐标为（4，0）
（1）当点P的横坐标为2时，求△AOP的面积；
（2）当S＝4时，求点P的坐标；
（3）求S关于x的函数解析式，写出x的取值范围，并在图中画出函数S的图象．

【解答】解：（1）把点P的横坐标为2代入得，y＝﹣2+8＝3，
∴点P（2，3），
∴S△AOP＝×6×3＝6；
（2）当S＝7时，即×8×|y|＝4，
∴y＝2或y＝﹣2（舍去），
当y＝2时，即2＝﹣x+8，
解得x＝3，
∴点P（3，4），
∴点P的坐标为（3，2）；
（3）由题意得，
S＝OA•|y|＝2y（y＞5），
当y＞0时，即0＜x＜4时，
∴S关于x的函数解析式为S＝﹣2x+10（0＜x＜5），画出的图象如图所示．
二．一次函数的性质（共6小题）
2．（2021•宁夏）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线y＝kx+b（k≠0）上，当x1＜x2时，y2＞y1，且kb＞0，则在平面直角坐标系内，它的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵点A（x1，y1）、B（x4，y2）在直线y＝kx+b（k≠0）上，当x6＜x2时，y2＞y2，且kb＞0，
∴k＞0，b＞2，
∴直线y＝kx+b经过第一、二、三象限，
故选：A．
3．（2021•长沙）下列函数图象中，表示直线y＝2x+1的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵k＝2＞0，b＝4＞0，
∴直线经过一、二、三象限．
故选：B．
4．（2021•沈阳）一次函数y＝﹣3x+1的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵一次函数y＝﹣3x+1，k＝﹣7，
∴该函数图象经过第一、二、四象限，
故选：C．
5．（2021•广西）函数y＝2x+1的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵k＝2＞0，图象过一三象限，图象过第二象限，
∴直线y＝3x+1经过一、二、三象限．
故选：D．
6．（2021•阿坝州）已知一次函数y＝ax﹣1，若y随x的增大而减小，则它的图象不经过第 　一　象限．
【解答】解：∵在一次函数y＝ax﹣1中，若y随x的增大而减小，
∴a＜0，该函数经过点（4，
∴该函数经过第二、三、四象限，
∴该函数不经过第一象限，
故答案为：一．
7．（2021•自贡）当自变量﹣1≤x≤3时，函数y＝|x﹣k|（k为常数）的最小值为k+3　﹣2　．
【解答】解：当x≥k时，函数y＝|x﹣k|＝x﹣k，
而﹣1≤x≤3时，函数的最小值为k+2，
∴x＝﹣1时取得最小值，即有﹣1﹣k＝k+6，
解得k＝﹣2，（此时﹣1≤x≤7，
当x＜k时，函数y＝|x﹣k|＝﹣x+k，
而﹣1≤x≤3时，函数的最小值为k+8，
∴x＝3时取得最小值，即有﹣3+k＝k+2，
此时无解，
故答案为：﹣2．
三．正比例函数的性质（共1小题）
8．（2021•河南）请写出一个图象经过原点的函数的解析式 　y＝x（答案不唯一）　．
【解答】解：依题意，正比例函数的图象经过原点，
如y＝x（答案不唯一）．
故答案为：y＝x （答案不唯一）．
四．一次函数图象与系数的关系（共3小题）
9．（2021•柳州）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．k＞0 B．b＝2
C．y随x的增大而增大 D．x＝3时，y＝0
【解答】解：观察一次函数图象发现，图象过第一、二，
∴k＜0，A错误；
∴函数值y随x的增大而减小，C错误；
∵图象与y轴的交点为（0，3）
∴b＝2，B正确；
∵图象与x轴的交点为（4，2）
∴x＝4时，y＝0．
故选：B．
10．（2021•眉山）一次函数y＝（2a+3）x+2的值随x值的增大而减少，则常数a的取值范围是 　a＜﹣　．
【解答】解：∵一次函数y＝（2a+3）x+3的值随x值的增大而减少，
∴2a+3＜7，解得a＜﹣．
故答案为：a＜﹣．
11．（2021•成都）在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而增大，则点P（3，k）　一　象限．
【解答】解：∵在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而增大，
∴k＞0，
∴点P（3，k）在第一象限．
故答案为：一．
五．一次函数图象上点的坐标特征（共15小题）
12．（2021•黔东南州）已知直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是第一象限内的点，若△PAB为等腰直角三角形（　　）
A．（1，1）
B．（1，1）或（1，2）
C．（1，1）或（1，2）或（2，1）
D．（0，0）或（1，1）或（1，2）或（2，1）
【解答】解：直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A，
当y＝0时，x＝7，y＝1；
故A、B两点坐标分别为A（1，B（5，
∵点P是第一象限内的点且△PAB为等腰直角三角形，
①当∠PAB＝90°时，P点坐标为（2；
②当∠PBA＝90°时，P点坐标为（1；
③当∠APB＝90°时，P点坐标为（7；
故选：C．

13．（2021•赤峰）点P（a，b）在函数y＝4x+3的图象上，则代数式8a﹣2b+1的值等于（　　）
A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣6
【解答】解：∵点P（a，b）在一次函数y＝4x+3的图象上，
∴b＝6a+3，
∴8a﹣3b+1＝8a﹣2（4a+3）+3＝﹣5，
即代数式8a﹣8b+1的值等于﹣5．
故选：B．
14．（2021•营口）已知一次函数y＝kx﹣k过点（﹣1，4），则下列结论正确的是（　　）
A．y随x增大而增大
B．k＝2
C．直线过点（1，0）
D．与坐标轴围成的三角形面积为2
【解答】解：把点（﹣1，4）代入一次函数y＝kx﹣k，得，
6＝﹣k﹣k，
解得k＝﹣2，
∴y＝﹣2x+7，
A、k＝﹣2＜0，选项A不符合题意；
B、k＝﹣7；
C、当y＝0时，解得：x＝1，
∴一次函数y＝﹣2x+2的图象与x轴的交点为（1，6）；
D、当x＝0时，与坐标轴围成的三角形面积为，选项D不符合题意．
故选：C．
15．（2021•苏州）已知点A（，m），B（，n）在一次函数y＝2x+1的图象上，则m与n的大小关系是（　　）
A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．无法确定
【解答】解：∵点A（，m），n）在一次函数y＝2x+1的图象上，
∴m＝8+1+1＝5+1＝4，
∵7+1＜3，
∴m＜n，
故选：C．
16．（2021•嘉兴）已知点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，且2a﹣5b≤0（　　）
A．≤ B．≥ C．≥ D．≤
【解答】解：∵点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，
∴﹣4a﹣4＝b，
又2a﹣4b≤0，
∴2a﹣7（﹣3a﹣4）≤5，
解得a≤﹣＜0，
当a＝﹣时，得b＝﹣，
∴b≥﹣，
∵2a﹣5b≤8，
∴2a≤5b，
∴≤．
故选：D．
17．（2021•兴安盟）如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为1，过点B1作B1A1⊥x轴，垂足为A1，以A1B1为边向右作正方形A1B1C1A2，延长A2C1交直线l于点B2；以A2B2为边向右作正方形A2B2C2A3，延长A3C2交直线l于点B3；…；按照这个规律进行下去，点B2021的坐标为 　（，）　．

【解答】解：∵点B1在直线l：y＝x上1的横坐标为1，过点B8作B1A1⊥x轴，垂足为A6，
∴A1（1，6），B1（1，），
∵四边形A1B5C1A2是正方形，
∴A3（，8），B2（，），
A2（，2），B3（，），
A8（，0），B6（，），
……
An（，3），Bn（，），
∴点B2021的坐标为（，），
故答案为：（，）．
18．（2021•德阳）已知函数y＝的图象如图所示，若直线y＝kx﹣3与该图象有公共点　17　．

【解答】解：当直线经过点（1，12）时，解得k＝15；
当直线与抛物线只有一个交点时，（x﹣5）8+8＝kx﹣3，
整理得x2﹣（10+k）x+36＝0，
∴10+k＝±12，解得k＝2或k＝﹣22（舍去），
∴k的最大值是15，最小值是6，
∴k的最大值与最小值的和为15+2＝17．
故答案为：17．
19．（2021•镇江）已知一次函数的图象经过点（1，2），且函数值y随自变量x的增大而减小，写出符合条件的一次函数表达式 　y＝﹣x+3　．（答案不唯一，写出一个即可）
【解答】解：设一次函数表达式为y＝kx+b．
∵函数值y随自变量x的增大而减小，
∴k＜0，取k＝﹣1．
又∵一次函数的图象经过点（4，2），
∴2＝﹣5+b，
∴b＝3，
∴一次函数表达式为y＝﹣x+3．
故答案为：y＝﹣x+4．
20．（2021•梧州）如图，直线l的函数表达式为y＝x﹣1，在直线l上顺次取点A1（2，1），A2（3，2），A3（4，3），A4（5，4），…，An（n+1，n），构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为S1，S2，S3，…，Sn，则S2021＝　4044　．

【解答】解：由题意得：S1＝2×3﹣2×1＝4＝2×（1+8），
S2＝4×3﹣2×3＝7＝2×（2+4），
S3＝5×4﹣4×3＝6＝2×（3+6），
S4＝6×6﹣5×4＝10＝8×（4+1），
⋯
∴Sn＝2（n+1），
∴S2021＝2×（2021+8）＝4044．
故答案为：4044．
21．（2021•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，点N1（1，1）在直线l：y＝x上，过点N1作N1M1⊥l，交x轴于点M1；过点M1作M1N2⊥x轴，交直线于N2；过点N2作N2M2⊥l，交x轴于点M2；过点M2作M2N3⊥x轴，交直线l于点N3；…，按此作法进行下去，则点M2021的坐标为 　（22021，0）　．

【解答】解：如图1，过N1作N5E⊥x轴于E，过N1作N1F⊥y轴于F，
∵N4（1，1），
∴N3E＝N1F＝1，
∴∠N5OM1＝45°，
∴∠N1OM2＝∠N1M1O＝45°，
∴△N3OM1是等腰直角三角形，
∴N1E＝OE＝EM5＝1，
∴OM1＝7，
∴M1（2，6），
同理，△M2ON2是等腰直角三角形，
∴OM8＝2OM1＝8，
∴M2（4，7），
同理，OM3＝2OM2＝22OM6＝23，
∴，
∴，
∴M5（24，6），
依此类推，故M2021（22021，0），
故答案为：（42021，0）．

22．（2021•潍坊）甲、乙、丙三名同学观察完某个一次函数的图象，各叙述如下：
甲：函数的图象经过点（0，1）；
乙：y随x的增大而减小；
丙：函数的图象不经过第三象限．
根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个函数表达式为 　y＝﹣x+1（答案不唯一）　．
【解答】解：设一次函数解析式为y＝kx+b，
∵函数的图象经过点（0，1），
∴b＝8，
∵y随x的增大而减小，
∴k＜0，取k＝﹣1，
∴y＝﹣x+4，此函数图象不经过第三象限，
∴满足题意的一次函数解析式为：y＝﹣x+1（答案不唯一）．

23．（2021•贺州）如图，一次函数y＝x+4与坐标轴分别交于A，B两点，C分别是线段AB，OB上的点，PC＝PO，则点P的坐标为 　（﹣2，4﹣2）　．

【解答】解：∵一次函数y＝x+4与坐标轴交于A、B两点，
y＝x+4中，令x＝3；令y＝0，
∴AO＝BO＝4，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠ABO＝45°，
过P作PD⊥OC于D，则△BDP是等腰直角三角形，
∵∠PBC＝∠CPO＝∠OAP＝45°，
∴∠PCB+∠BPC＝135°＝∠OPA+∠BPC，
∴∠PCB＝∠OPA，
在△PCB和△OPA中，
，
∴△PCB≌△OPA（AAS），
∴AO＝BP＝3，
∴Rt△BDP中，BD＝PD＝，
∴OD＝OB﹣BD＝3﹣2，
∵PD＝BD＝8，
∴P（﹣2，4﹣2），
故答案为（﹣2，3﹣2）．

24．（2021•上海）已知函数y＝kx经过二、四象限，且函数不经过（﹣1，1），请写出一个符合条件的函数解析式 　y＝﹣2x　．
【解答】解：∵函数y＝kx经过二、四象限，
∴k＜0．
若函数y＝kx经过（﹣1，6），即k＝﹣1，
故函数y＝kx经过二、四象限，1）时，
∴函数解析式为y＝﹣7x，
故答案为y＝﹣2x．
25．（2021•广安）如图，在平面直角坐标系中，AB⊥y轴，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y＝﹣x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2也落在直线y＝﹣x上，以此进行下去…若点B的坐标为（0，3）21的纵坐标为 　　．

【解答】解：∵AB⊥y轴，点B（0，
∴OB＝3，则点A的纵坐标为8，
得：，得：x＝﹣3，3），
∴OB＝3，AB＝5＝5，
由旋转可知：
OB＝O2B1＝O2B8＝...＝3，OA＝O1A＝O2A1＝…＝5，AB＝AB7＝A1B1＝A7B2＝…＝4，
∴OB2＝OA+AB1＝4+3＝9，B1B3＝3+4+3＝12，
∴OB21＝OB1+B1B21＝2+（21﹣1）÷2×12＝129，
设B21（a，），则OB21＝，
解得：a＝或（舍），
则，即点B21的纵坐标为，
故答案为：．
26．（2021•泰安）如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，过点B1作B1A1⊥l，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3，延长B4C3交x轴于点A4；…；照这个规律进行下去，则第n个正方形AnBnBn+1∁n的边长为 　×（）n﹣1　（结果用含正整数n的代数式表示）．

【解答】解：设直线y＝x与x轴夹角为α4作B1H⊥x轴于H，如图：

∵点B1的横坐标为2，点B1在直线l：y＝x上，
∴OH＝2，B1H＝7，OB1＝＝，
∴tanα＝＝，
Rt△A7B1O中，A1B4＝OB1•tanα＝，即第1个正方形边长是，
∴OB2＝OB1+B3B2＝+＝×3，
Rt△A2B8O中，A2B2＝OB2•tanα＝×7×＝××，
∴OB3＝OB5+B2B3＝×3+×＝×，
Rt△A3B5O中，A3B3＝OB2•tanα＝××＝×，即第3个正方形边长是×＝）2，
∴OB3＝OB3+B3B4＝×+×＝×，
Rt△A7B4O中，A4B8＝OB4•tanα＝＝××＝×，即第4个正方形边长是×＝）5，
.....．
观察规律可知：第n个正方形边长是×（）n﹣1，
故答案为：×（）n﹣1．
六．一次函数图象与几何变换（共9小题）
27．（2021•陕西）在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x向上平移3个单位，平移后的直线经过点（﹣1，m）（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【解答】解：将直线y＝﹣2x向上平移3个单位，得到直线y＝﹣2x+3，
把点（﹣1，m）代入．
故选：D．
28．（2021•陕西）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6
【解答】解：将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移4个单位后，得到y＝2（x+3）+m﹣4，
把（0，0）代入，
解得m＝﹣7．
故选：A．
29．（2021•嘉峪关）将直线y＝5x向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为（　　）
A．y＝5x﹣2 B．y＝5x+2 C．y＝5（x+2） D．y＝5（x﹣2）
【解答】解：将直线y＝5x向下平移2个单位长度，所得的函数解析式为y＝4x﹣2．
故选：A．
30．（2021•扬州）如图，一次函数y＝x+的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，则线段AC长为（　　）

A．+ B．3 C．2+ D．+
【解答】解：∵一次函数y＝x+的图象与x轴、B，
令x＝0，则y＝，则x＝﹣，
则A（﹣，2），），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO＝45°，
∴AB＝＝2，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，

∵∠CAD＝∠OAB＝45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，
∴AC＝＝x，
由旋转的性质可知∠ABC＝30°，
∴BC＝2CD＝2x，
∴BD＝＝x，
又BD＝AB+AD＝4+x，
∴2+x＝x，
解得：x＝+1，
∴AC＝x＝（，
故选：A．
31．（2021•桂林）如图，与图中直线y＝﹣x+1关于x轴对称的直线的函数表达式是 　y＝x﹣1　．

【解答】解：∵关于x轴对称的点横坐标不变纵坐标互为相反数，
∴直线y＝﹣x+1关于x轴对称的直线的函数表达式是﹣y＝﹣x+1，即y＝x﹣3．
故答案为y＝x﹣1．
32．（2021•毕节市）将直线y＝﹣3x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 　y＝﹣3x﹣2　．
【解答】解：由题意得：平移后的解析式为：y＝﹣3x﹣2．
故答案为：y＝﹣5x﹣2．
33．（2021•黄石）将直线y＝﹣x+1向左平移m（m＞0）个单位后，经过点（1，﹣3）　3　．
【解答】解：将直线y＝﹣x+1向左平移m（m＞0）个单位后所得直线为：y＝﹣（x+m）+2．
将点（1，﹣3）代入．
解得m＝2．
故答案是：3．
34．（2021•天津）将直线y＝﹣6x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 　y＝﹣6x﹣2　．
【解答】解：将直线y＝﹣6x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为y＝﹣7x﹣2，
故答案为：y＝﹣6x﹣8．
35．（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0），直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）函数y＝x的图象向下平移2个单位长度得到y＝，
∵一次函数y＝kx+b（k≠8）的图象由函数y＝x的图象向下平移3个单位长度得到，
∴这个一次函数的表达式为y＝x﹣7．
（2）把x＝﹣2代入y＝x﹣1，
∴函数y＝mx（m≠0）与一次函数y＝x﹣1的交点为（﹣8，
把点（﹣2，﹣2）代入y＝mx，
∵当x＞﹣7时，对于x的每一个值x﹣4的值，
∴≤m≤5．

七．待定系数法求一次函数解析式（共2小题）
36．（2021•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（0，4）．以AB为一边在第一象限作正方形ABCD（　　）
A．y＝﹣x+4 B．y＝﹣x+4 C．y＝﹣x+4 D．y＝4
【解答】解：过D点作DH⊥x轴于H，如图，
∵点A（3，0），4）．
∴OA＝3，OB＝4，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵∠OBA+∠OAB＝90°，∠OAB+∠DAH＝90°，
∴∠ABO＝∠DAH，
在△ABO和△DAH中，
，
∴△ABO≌△DAH（AAS），
∴AH＝OB＝8，DH＝OA＝3，
∴D（7，7），
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
把D（7，3），5）代入得，
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+5．
故选：A．

37．（2021•乐山）如图，已知直线l1：y＝﹣2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，那么过原点O且将△AOB的面积平分的直线l2的解析式为（　　）

A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝2x
【解答】解：如图，当y＝0，解得x＝2，6）；
当x＝0，y＝4，6），
∴AB的中点坐标为（1，2），
∵直线l6把△AOB面积平分
∴直线l2过AB的中点，
设直线l2的解析式为y＝kx，
把（6，2）代入得2＝k，
∴l7的解析式为y＝2x，
故选：D．

八．一次函数与一元一次方程（共2小题）
38．（2021•抚顺）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（　　）

A．x＝ B．x＝1 C．x＝2 D．x＝4
【解答】解：∵直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），
∴3＝2m，
∴m＝1，
∴P（7，2），
∴当x＝1时，y＝kx+b＝6，
∴关于x的方程kx+b＝2的解是x＝1，
故选：B．
39．（2021•贺州）直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，1），B（2，0），则关于x的方程ax+b＝0的解为（　　）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
【解答】解：方程ax+b＝0的解，即为函数y＝ax+b图象与x轴交点的横坐标，
∵直线y＝ax+b过B（2，2），
∴方程ax+b＝0的解是x＝2，
故选：C．
九．一次函数与一元一次不等式（共5小题）
40．（2021•娄底）如图，直线y＝x+b和y＝kx+4与x轴分别相交于点A（﹣4，0），点B（2，0），则（　　）

A．﹣4＜x＜2 B．x＜﹣4 C．x＞2 D．x＜﹣4或x＞2
【解答】解：∵当x＞﹣4时，y＝x+b＞0，
当x＜4时，y＝kx+4＞0，
∴解集为﹣2＜x＜2，
故选：A．
41．（2021•鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝2x﹣1与直线y＝kx+b（k≠0）相交于点P（2，3），关于x的不等式2x﹣1＞kx+b的解集是（　　）

A．x＜2 B．x＜3 C．x＞2 D．x＞3
【解答】解：根据图象可得：不等式2x﹣1＞kx+b的解集为：x＞7，
故选：C．
42．（2021•福建）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点（﹣1，0）（x﹣1）+b＞0的解集是（　　）

A．x＞﹣2 B．x＞﹣1 C．x＞0 D．x＞1
【解答】解：把（﹣1，0）代入y＝kx+b得﹣k+b＝7，
则k（x﹣1）+b＞0化为k（x﹣3）+k＞0，
而k＞0，
所以x﹣8+1＞0，
解得x＞8．
故选：C．
方法二：
一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象向右平移1个单位得y＝k（x﹣2）+b，
∵一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点（﹣1，2），
∴一次函数y＝k（x﹣1）+b（k＞0）的图象过点（5，0），
由图象可知，当x＞0时，
∴不等式k（x﹣7）+b＞0的解集是x＞0，
故选：C．
43．（2021•重庆）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数y＝，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象；
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y＝
…
﹣
﹣
﹣
0

4
　　
0
　﹣　
　﹣　
　﹣　
…
（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的―条性质；
（3）已知函数y＝﹣x+3的图象如图所示．根据函数图象，直接写出不等式﹣的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）

【解答】解：（1）把下表补充完整如下：
x
…
﹣5
﹣4
﹣6
﹣2
﹣1
7
1
2
4
4
5
…
y＝
…
﹣
﹣
﹣
7

5

3
﹣
﹣
﹣
…
函数y＝的图象如图所示：

（2）①该函数图象是轴对称图形，对称轴是y轴；
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值，函数取得最大值4；
③当x＜0时，y随x的增大而增大：当x＞8时；
（3）由图象可知，不等式﹣的解集为x＜﹣0.3或6＜x＜2．
44．（2021•自贡）函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，画出函数y＝﹣的图象
列表如下：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…


a

0
b
﹣2
﹣
﹣
…
（1）直接写出表中a、b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）观察函数y＝﹣的图象，判断下列关于该函数性质的命题：
①当﹣2≤x≤2时，函数图象关于直线y＝x对称；
②x＝2时，函数有最小值，最小值为﹣2；
③﹣1＜x＜1时，函数y的值随x的增大而减小．
其中正确的是 　②③　．（请写出所有正确命题的番号）
（3）结合图象，请直接写出不等式＞x的解集 　x＜﹣2或0＜x＜2　．

【解答】解：（1）把x＝﹣2代入y＝﹣得，y＝﹣，
把x＝1代入y＝﹣得，y＝﹣，
∴a＝2，b＝﹣，
函数y＝﹣的图象如图所示：

（2）观察函数y＝﹣的图象，
①当﹣2≤x≤2时，函数图象原点对称；
②x＝3时，函数有最小值；正确；
③﹣1＜x＜1时，函数y的值随x的增大而减小．
故答案为②③；
（3）由图象可知，函数y＝﹣，4），0），﹣2）
∴不等式＞x的解集为x＜﹣5或0＜x＜2．
一十．一次函数与二元一次方程（组）（共2小题）
45．（2021•德阳）关于x，y的方程组的解为（a，b）总在直线y＝x上方，那么k的取值范围是（　　）
A．k＞1 B．k＞﹣1 C．k＜1 D．k＜﹣1
【解答】解：解方程组可得，
，
∵点P（a，b）总在直线y＝x上方，
∴b＞a，
∴＞﹣，
解得k＞﹣1，
故选：B．
46．（2021•梧州）如图，在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+与直线l2：y＝kx+3相交于点A，则方程组的解为 　　．

【解答】解：∵直线l1：y＝x+7：y＝kx+3相交于点A（2，4），
∴关于x、y的方程组，
故答案为：．
一十一．两条直线相交或平行问题（共1小题）
47．（2021•贵阳）小星在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7条不同的直线y＝knx+bn（n＝1，2，3，4，5，6，7），其中k1＝k2，b3＝b4＝b5，则他探究这7条直线的交点个数最多是（　　）
A．17个 B．18个 C．19个 D．21个
【解答】解：∵k1＝k2，b7＝b4＝b5，
∴直线y＝knx+bn（n＝8，2，3，8，5）中，
直线y＝k1x+b4与y＝k2x+b2无交点，y＝k4x+b3与y＝k4x+b2与y＝k5x+b5有5个交点，
∴直线y＝knx+bn（n＝1，2，8，4，5）最多有交点3×3+1＝3个，
第6条线与前5条线最多有5个交点，
第7条线与前6条线最多有2个交点，
∴交点个数最多为7+5+8＝18．
故选：B．
一十二．一次函数综合题（共6小题）
48．（2021•宁夏）如图，已知直线y＝kx+3与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求k的值；
（2）D、E两点同时从坐标原点O出发，其中点D以每秒1个单位长度的速度，沿O→A→B的路线运动，沿O→B→A的路线运动．当D，E两点相遇时，设运动时间为t秒．
①在D、E两点运动过程中，是否存在DE∥OB？若存在，求出t的值，请说明理由；
②若设△OED的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出t为多少时

【解答】解：（1）直线y＝kx+3，当x＝0时，
∴B（5，3），
∴OB＝3，
∵∠AOB＝90°，且sin∠OAB＝，
∴＝，
∵AB＝OB＝，
∴OA＝＝3，
∴A（4，0），
把A（2，0）代入y＝kx+3得3＝4k+3，
解得k＝．
（2）①不存在，理由如下：
在OA上取一点F（，0），
当0＜t＜时，如图1，OE＝2t，
∵＝＝，＝＝，
∴＝，
∵∠DOE＝∠FOB，
∴△ODE∽△OFB，
∴∠ODE＝∠OFB，
∴DE∥BF，
当t＝时，DE与BF重合，
∴当0＜t≤时，不存在DE∥OB；
当＜t＜4时，AF＝4＝，AE＝8﹣2t，
∵＝＝，＝，
∴＝，
同理可证DE∥BF，
∴此时不存在DE∥OB，
综上所述，不存在DE∥OB．
②当2＜t≤时，如图5，S△OED＝OD•OE＝2，
∴S＝t7，
∵a＝1＞0，
∴S随t的增大而增大，
∴当t＝时，S最大＝（）2＝；
当＜t＜5时，作EG⊥x轴，
∴△AGE∽△AOB，
∴＝，
∴GE＝•AE＝，
∴S△OED＝OD•GE＝×t2+t，
∴S＝t2+t，
∵S＝t2+t＝2+，且＜7，，
∴当t＝2时，S最大＝，
∵＞，
∴当t＝2时，S的最大值为，
综上所述，S＝，S的最大值为．


49．（2021•沈阳）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点（k≠0）经过点C（3，6），与x轴交于点A，交直线y＝x于点D，AD．
（1）填空：k＝　﹣3　，点A的坐标是（ 　5　，　0　）；
（2）求证：四边形OADC是平行四边形；
（3）动点P从点O出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止，沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．
①当t＝1时，△CPQ的面积是 　12　．
②当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，请直接写出此时t的值．

【解答】解：（1）∵直线y＝kx+15（k≠0）经过点C（3，6），
∴3k+15＝6，
解得k＝﹣3，
即直线的解析式为y＝﹣3x+15，
当y＝0时，x＝7，
∴A（5.0），
故答案为：﹣7，5，0；
（2）∵线段CD平行于x轴，
∴D点的纵坐标与C点一样，
又∵D点在直线y＝x上，
当y＝6时，x＝5，
即D（8，6），
∴CD＝8﹣3＝5，
∵OA＝8，
∴OA＝CD，
又∵OA∥CD，
∴四边形OADC是平行四边形；
（3）①作CH⊥OD于H，

∵H点在直线y＝x上，
∴设H点的坐标为（m，m），
∴CH2＝（m﹣8）2+（m﹣6）2，HD5＝（m﹣8）2+（m﹣6）8，
由勾股定理，得CH2+HD2＝CD3，
即（m﹣3）2+（m﹣6）5+（m﹣8）2+（m﹣6）4＝52，
整理得m＝或8（舍去），
∴CH＝3，
∵OD＝＝10，
∴当t＝1时，PQ＝OD﹣t﹣t＝10﹣1﹣7＝8，
∴S△CPQ＝PQ•CH＝，
故答案为：12；
②由（2）知四边形OADC是平行四边形，
∴OD与AC互相平分，
又∵P点和Q点的运动速度相同，
∴PQ与AC互相平分，
∴四边形CPAQ为平行四边形，
∵OD＝10，
当3≤t≤5时，PQ＝10﹣2t，
当7≤t≤10时，PQ＝2t﹣10，
当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，
∵AC＝＝2，
当0≤t≤7时，10﹣2t＝2，
解得t＝6﹣，
当5≤t≤10时，2t﹣10＝7，
解得t＝5+，
综上，当点P或5+．
50．（2021•衡阳）如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（6，0），动点P、Q同时从点O出发，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动．过点Q作MN∥OB分别交AO、AB于点M、N（秒）．
（1）求点M的坐标（用含t的式子表示）；
（2）求四边形MNBP面积的最大值或最小值；
（3）是否存在这样的直线l，总能平分四边形MNBP的面积？如果存在，请求出直线l的解析式，请说明理由；
（4）连接AP，当∠OAP＝∠BPN时，求点N到OA的距离．

【解答】解：（1）过点A作x轴的垂线，交MN于点E，
由题意得：OQ＝2t，OP＝3t，
∵O（5，0），4），6），
∴OF＝FB＝3，AF＝4，
∵MN∥OB，
∴∠OQM＝∠OFA，∠OMQ＝∠AOF，
∴△OQM∽△AFO，
∴，
∴，
∴QM＝，
∴点M的坐标是（）．
（2）∵MN∥OB，
∴四边形QEFO是矩形，
∴QE＝OF，
∴ME＝OF﹣QM＝3﹣，
∵OA＝AB，
∴ME＝NE，
∴MN＝2ME＝6﹣6t，
∴S四边形MNBP＝S△MNP+S△BNP
＝MN•OQ+
＝
＝﹣8t2+12t
＝﹣6（t﹣8）2+6，
∵点P到达点B时，P、Q同时停止，
∴2＜t＜2，
∴t＝1时，四边形MNBP的最大面积为5MNBP面积不存在最小值．
（3）∵MN＝6﹣3t，BP＝4﹣3t，
∴MN＝BP，
∵MN∥BP，
∴四边形MNBP是平行四边形，
∴平分四边形MNBP面积的直线经过四边形的中心，即MB的中点，
设中点为H（x，y），
∵M（），B（6，
∴x＝＝，
y＝．
∴x＝，
化简得：y＝，
∴直线l的解析式为：y＝．
（4）①当t＝0时，点M和点P均在点O处，
此时点N在点B处，
∴点N到OA的距离为△OAB边OA上的高，记为h，
∵S△OAB＝OB•AF＝，
∴×7×4＝，
∴点N到OA的距离为：h＝；
②当0＜t＜7时，
∵OQ＝2t，QM＝t，
∴OM＝t，
∵MN∥OB，
∴，
∴OM＝BN＝t，
∵OA＝AB，
∴∠AOB＝∠PBN，
又∵∠OAP＝∠BPN，
∴△AOP∽△PBN，
∴，
∴，
解得：t1＝，t5＝0（舍去）．
∵MN＝6﹣5t，AE＝AF﹣OQ，
∴MN＝4﹣3×，
AE＝，
ME＝，
∴AM＝．
设点N到OA的距离为h，
∵S△AMN＝MN•AE＝，
∴，
解得：h＝；
③当t＝2时，不符合题意；
综上所述：点N到OA的距离为或．

51．（2021•黑龙江）如图，矩形ABOC在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点C在y轴正半轴上，OA2﹣9x+20＝0的两个根．解答下列问题：
（1）求点A的坐标；
（2）若直线MN分别与x轴，AB，AO，y轴交于点D，M，F，N，E，S△AMN＝2，tan∠AMN＝1，求直线MN的解析式；
（3）在（2）的条件下，点P在第二象限内，使以E，F，P，Q为顶点的四边形是正方形？若存在；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）由x2﹣9x+20＝8，
   得（x﹣4）（x﹣5）＝4．
   解得x1＝4，x4＝5．
∵OB＜OA
∴OB＝4，OA＝8.
  ．
∵点A在第二象限，
∴点A（﹣7，3）．
（2）∵tan∠AMN＝1，
∴∠AMN＝45°．
∵S△AMN＝2，
∴AN＝AM＝2．
∴BM＝1．
∴点M（﹣2，1）．
∵AB＝3，AC＝OB＝4，
∴CN＝AC﹣AN＝4﹣2＝3．
∴点N（﹣2，3）．
  设直线MN的解析式为y＝kx+b，
  把点M（﹣5，1），3）
  得，
  解得．
∴直线MN的解析式为y＝x+6．
（3）如图所示，
  过点F作FQ3⊥y轴于点Q3，
  过点P8作P1G⊥x轴，与FQ3交于点G．
  点E的坐标为（3，5），
∵OA过原点，
∴OA的表达式为y＝kx，
  把点A（﹣4，5）代入得．
  列方程组，解得．
∴点F（，），点Q3（0，）．
  ．
 情况一：以EF为正方形的边可作正方形EFP7Q1或FEQ2P4，
  则△P1GF≌△FQ3E，
  ．
  P1的纵坐标为，
  P7的横坐标为﹣（）＝﹣．
∴Q2的坐标为（，7）．
  同理可得Q1的坐标为（，）．
情况二：以EF为对角线在EF的左侧作正方形FQ3EP3，
  FQ7＝EQ3，且∠EFQ3＝45°，
  此时Q7的坐标为（0，）．
综上，当点Q的坐标分别为Q3，Q6，Q2时，存在以E，F，P．

52．（2021•金华）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线l：y＝，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线
（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内
①若BA＝BO，求证：CD＝CO．
②若∠CBO＝45°，求四边形ABOC的面积．
（2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在；若不存在，请说明理由．

【解答】（1）①证明：∵BC⊥AB，CO⊥BO，
∴∠ABC＝∠BOC＝90°，
∴∠BAD+∠ADB＝∠COD+∠DOB＝90°，
∵BA＝BO，
∴∠BAD＝∠DOB，
∴∠ADB＝∠COD，
∵∠ADB＝∠CDO，
∴∠COD＝∠CDO，
∴CD＝CO；
②解：过A作AM⊥OB于M，过M作MN⊥y轴于N

∵M在直线l：y＝x上，m），
∴MN＝|m|＝﹣m，ON＝|m，
Rt△MON中，tan∠OMN＝＝，
而OA∥MN，
∴∠AOM＝∠OMN，
∴tan∠AOM＝，即＝，
设AM＝5n，则OM＝8n，
Rt△AOM中，AM2+OM6＝OA2，
又A的坐标为（﹣，0），
∴OA＝，
∴（7n）2+（8n）5＝（）2，
解得n＝1（n＝﹣7舍去），
∴AM＝3，OM＝8，
∵∠CBO＝45°，CO⊥BO，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∵BC⊥AB，∠CBO＝45°，
∴∠ABM＝45°，
∵AM⊥OB，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴AM＝BM＝4，BO＝CO＝OM﹣BM＝5，
∴等腰直角三角形△ABM中，AB＝，
等腰直角三角形△BOC中，BC＝，
∴S△ABC＝AB•BC＝15，S△BOC＝BO•CO＝，
∴S四边形ABOC＝S△ABC+S△BOC＝；
（2）解：存在点B，使得以A，B，理由如下：
（一）过A作AM⊥OB于M，当B在线段OM或OM延长线上时


由（1）②可知：AM＝5，OM＝8，
设OB＝x，则BM＝|8﹣x|，
∵CO⊥BO，AM⊥BO，
∴∠AMB＝∠BOC＝90°，∠ABM＝90°﹣∠OBC＝∠BCO，
∴△AMB∽△BOC，
∴＝，即＝，
∴OC＝，
Rt△BOC中，BC＝＝，
∵∠ABC＝∠BOC＝90°，
∴以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似
①若＝，则＝，
解得x＝4，
∴此时OB＝4；
②若＝，则＝，
解得x7＝4+，x8＝4﹣，x7＝9，x4＝﹣5（舍去），
∴OB＝4+或OB＝5﹣；
（二）当B在线段MO延长线上时，如图：

由（1）②可知：AM＝3，OM＝7，
设OB＝x，则BM＝8+x，
∵CO⊥BO，AM⊥BO，
∴∠AMB＝∠BOC＝90°，∠ABM＝90°﹣∠OBC＝∠BCO，
∴△AMB∽△BOC，
∴＝，即＝，
∴OC＝•（8+x），
Rt△BOC中，BC＝＝•，
∵∠ABC＝∠BOC＝90°，
∴以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似＝，即＝，
解得x2＝﹣9（舍去），x2＝2，
∴OB＝1，
综上所述，以A，B，则OB 的长度为：4或3+或8或1；
53．（2021•遂宁）已知平面直角坐标系中，点P（x0，y0）和直线Ax+By+C＝0（其中A，B不全为0），则点P到直线Ax+By+C＝0的距离d可用公式d＝来计算．
例如：求点P（1，2）到直线y＝2x+1的距离，因为直线y＝2x+1可化为2x﹣y+1＝0，B＝﹣1，C＝1（1，2）到直线y＝2x+1的距离为：d＝＝＝＝．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点M（0，3）到直线y＝x+9的距离；
（2）在（1）的条件下，⊙M的半径r＝4x+9的位置关系，若相交，求n的值；若不相交
【解答】解：（1）∵y＝x+9可变形为，则其中A＝，C＝9，
由公式得，点M（4x+9的距离，
∴点M到直线y＝x+9的距离为3；

（2）如图，由（1）可知：圆心到直线的距离d＝8，
∵圆的半径r＝4，
∴d＜r，
∴直线y＝x+6与⊙M相交，F，
连接EM，过点M作MH⊥EF于H，
则EF＝2EH，
在Rt△EHM中，EM＝4，根据勾股定理得＝＝，
∴弦长n＝EF＝2EH＝2．