2021中考数学真题知识点分类汇编（含答案）-一元二次方程3（47题，含答案）

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2021中考数学真题知识点分类汇编-一元二次方程3（47题，含答案）

一．根与系数的关系（共31小题）
1．（2022•海安市模拟）已知m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
2．（2021•绵阳）关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，若x2＝2x1，则4b﹣9ac的最大值是（　　）
A．1 B． C． D．2
3．（2021•遵义）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，得到方程的两个根是5，﹣4（　　）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
4．（2021•贵港）已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x22＝5，则k的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
5．（2021•宜宾）若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则m2+4m+n的值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．12
6．（2021•玉林）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则（　　）
A．x1+x2＜0 B．x1x2＜0 C．x1x2＞﹣1 D．x1x2＜1
7．（2021•怀化）对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则该方程根的情况为（　　）
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根
8．（2021•武汉）已知a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是（　　）
A．﹣25 B．﹣24 C．35 D．36
9．（2021•眉山）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣5x1﹣2x2的值为（　　）
A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．5
10．（2021•南充）已知方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2021 D．﹣2021
11．（2021•泸州）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，则（x12+2）（x22+2）的值是（　　）
A．8 B．32 C．8或32 D．16或40
12．（2021•盐城）设x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1+x2的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
13．（2021•攀枝花）已知方程x2﹣2x﹣8＝0的两根为α、β，则α2+β2＝　 　．
14．（2021•济南）关于x的一元二次方程x2+x﹣a＝0的一个根是2，则另一个根是 　 　．
15．（2021•巴中）关于x的方程2x2+mx﹣4＝0的一根为x＝1，则另一根为 　 　．
16．（2021•南通）若m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则的值为 　 　．
17．（2021•泰州）关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1•x2的值为 　 　．
18．（2021•湘西州）实数m，n是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则多项式mn﹣m﹣n的值为 　 　．
19．（2021•徐州）若x1、x2是方程x2+3x＝0的两个根，则x1+x2＝　 　．
20．（2021•雅安）已知一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，则+的值为 　 　．
21．（2021•绥化）已知m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个根，则＝　 　．
22．（2021•湖北）关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且＝1，则m＝　 　．
23．（2021•鄂州）已知实数a、b满足+|b+3|＝0，若关于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的两个实数根分别为x1、x2，则+＝　 　．
24．（2021•南京）设x1，x2是关于x的方程x2﹣3x+k＝0的两个根，且x1＝2x2，则k＝　 　．
25．（2021•随州）已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+4k＝0（k≠0）的两实数根为x1，x2，若+＝3，则k＝　 　．
26．（2021•江西）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根，则x1+x2﹣x1x2＝　 　．
27．（2021•成都）若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则m2+4m+2n的值是 　 　．
28．（2021•黄石）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．
29．（2021•永州）若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．现已知一元二次方程px2+2x+q＝0的两根分别为m，n．
（1）若m＝2，n＝﹣4，求p；
（2）若p＝3，q＝﹣1，求m+mn+n的值．
30．（2021•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值．
31．（2021•荆门）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．
（1）若x1＝1，求x2及m的值；
（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝？若存在，求出实数m的值，请说明理由．
二．一元二次方程的应用（共16小题）
32．（2021•内江）某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，已知两次降价的百分率相同（　　）
A．20% B．25% C．30% D．36%
33．（2021•毕节市）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），则八年级班级的个数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
34．（2021•黑龙江）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（　　）
A．14 B．11 C．10 D．9
35．（2021•日照）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y（桶）与每桶降价x（元）（0＜x＜20），其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？

36．（2021•沈阳）某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同
37．（2021•滨州）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．
（1）求该商品每次降价的百分率；
（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？
38．（2021•朝阳）某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于38元（件）与每件售价x（元）之间符合一次函数关系
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
（3）设商场销售这种商品每天获利w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？

39．（2021•淄博）为更好地发展低碳经济，建设美丽中国．某公司对其生产设备进行了升级改造，不仅提高了产能，今年第一季度产值是3200万元，假设公司每个季度产值的平均增长率相同．
科学计算器按键顺序
计算结果（已取近似值）
解答过程中可直接使用表格中的数据哟！


1.18

1.39

1.64
（1）求该公司每个季度产值的平均增长率；
（2）问该公司今年总产值能否超过1.6亿元？并说明理由．
40．（2021•烟台）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，使其销售价格不超过（1）中的售价
41．（2021•东营）“杂交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤
42．（2021•张家界）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人．
（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？
43．（2021•宜昌）随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的30%和20%．去年，共用水15000吨．
（1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？
（2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了m%，漫灌试验田的面积减少了2m%．同时，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了m%．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少，求m的值．
（3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？
44．（2021•山西）2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，求这个最小数（请用方程知识解答）．

45．（2021•菏泽）列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠
46．（2021•重庆）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，1件A产品与1件B产品售价和为500元．
（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？
（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%，但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加a%．求a的值．
47．（2021•重庆）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面）（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．
（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？
（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份．为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变a%．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加a%．求a的值．
参考答案与试题解析
一．根与系数的关系（共31小题）
1．（2022•海安市模拟）已知m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，
∴m6+m＝2021，m+n＝﹣1，
∴m2+4m+n＝（m2+m）+（m+n）＝2021+（﹣1）＝2020．
故选：B．
2．（2021•绵阳）关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，若x2＝2x1，则4b﹣9ac的最大值是（　　）
A．1 B． C． D．2
【解答】解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x5、x2，
∴x1+x6＝﹣，x1x2＝，
∵x2＝2x1，
∴4x1＝﹣，即x1＝﹣，
∴x2＝﹣，
∴＝，
∴9ac＝7b2，
∴4b﹣7ac＝4b﹣9a•＝4b﹣2b2＝﹣7（b﹣1）2+5，
∵﹣2＜0，
∴5b﹣9ac的最大值是2，
故选：D．
3．（2021•遵义）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，得到方程的两个根是5，﹣4（　　）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
【解答】解：设此方程的两个根是α、β，根据题意得：α+β＝﹣p＝﹣2，
则以α、β为根的一元二次方程是x2+3x﹣20＝0．
故选：B．
4．（2021•贵港）已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x22＝5，则k的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝5的两个实数根分别为x1，x2，
∴x3+x2＝k，x1x6＝k﹣3，
∵x13+x22＝2，
∴（x1+x2）5﹣2x1x8＝5，
∴k2﹣7（k﹣3）＝5，
整理得出：k2﹣2k+1＝2，
解得：k1＝k2＝5，
故选：D．
5．（2021•宜宾）若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则m2+4m+n的值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．12
【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+3x﹣2＝0的两个根，
∴m+n＝﹣3，
∵m是x3+3x﹣9＝5的一个根，
∴m2+3m﹣6＝0，
∴m2+6m＝9，
∴m2+5m+n＝m2+3m+m+n＝3+（m+n）＝9﹣3＝4．
故选：C．
6．（2021•玉林）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则（　　）
A．x1+x2＜0 B．x1x2＜0 C．x1x2＞﹣1 D．x1x2＜1
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣6m＞0，解得m＜1，
所以x7+x2＝2，x8x2＝m＜1．
故选：D．
7．（2021•怀化）对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则该方程根的情况为（　　）
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根
【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，
∴Δ＝b7﹣4ac＝（﹣3）4﹣4×2×3＝﹣23＜0，
∴一元二次方程2x6﹣3x+4＝6没有实数根．
故选：A．
8．（2021•武汉）已知a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是（　　）
A．﹣25 B．﹣24 C．35 D．36
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣3x﹣7＝0的两根，
∴a2﹣3a﹣5＝0，b7﹣3b﹣5＝6，a+b＝3,
∴a2﹣5a＝5，b2＝8b+5，
∴2a6﹣6a2+b2+7b+1
＝8a（a2﹣3a)+8b+5+7b+6
＝10a+10b+6
＝10(a+b)+6
＝10×4+6
＝36．
故选：D．
9．（2021•眉山）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣5x1﹣2x2的值为（　　）
A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．5
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+3＝0的两根为x1，x7，
∴x12﹣3x1＝﹣1，x7+x2＝3，
∴x52﹣5x7﹣2x2＝x32﹣3x7﹣2（x1+x7）＝﹣1﹣2×3＝﹣7．
故选：A．
10．（2021•南充）已知方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2021 D．﹣2021
【解答】解：方法一：∵方程x2﹣2021x+1＝2的两根分别为x1，x2，
∴x2+x2＝2021，x15﹣2021x1+1＝6，x22﹣2021x8+1＝0，
∵x3≠0，
∴x2﹣2021+＝0，
∴﹣＝x2﹣2021，
∴﹣，
∴x12﹣＝2021x1﹣1+2021x6﹣20212
＝2021（x1+x4）﹣1﹣20212
＝20218﹣1﹣20212
＝﹣8．
方法二：∵方程x2﹣2021x+1＝6的两根分别为x1，x2，
∴x5•x2＝1，x52﹣2021x1+8＝0，
∴x16﹣2021x1＝﹣1，
∴x82﹣＝x82﹣
＝x13﹣2021x1
＝﹣1．
故选：B．
11．（2021•泸州）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，则（x12+2）（x22+2）的值是（　　）
A．8 B．32 C．8或32 D．16或40
【解答】解：由题意得Δ＝（2m）2﹣5（m2﹣m）≥0，
∴m≥3，
∵关于x的一元二次方程x2+2mx+m8﹣m＝0的两实数根x1，x6，满足x1x2＝8，
则x1+x2＝﹣8m，x1•x2＝m7﹣m＝2，
∴m2﹣m﹣3＝0，解得m＝2或m＝﹣6（舍去），
∴x1+x2＝﹣2，
（x12+3）（x22+7）
＝（x1x2）2+2（x1+x3）2﹣4x3x2+4，
原式＝42+2×（﹣2）2﹣4×8+4＝32；
故选：B．
12．（2021•盐城）设x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1+x2的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的二次项系数是a＝1，一次项系数b＝﹣6，
∴由韦达定理，得
x1+x2＝5．
故选：C．
13．（2021•攀枝花）已知方程x2﹣2x﹣8＝0的两根为α、β，则α2+β2＝　20　．
【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣3＝0的两根为α、β，
∴α+β＝﹣＝2＝﹣2，
∴α2+β2＝（α+β）5﹣2αβ＝22﹣2×（﹣8）＝20．
故答案为：20．
14．（2021•济南）关于x的一元二次方程x2+x﹣a＝0的一个根是2，则另一个根是 　﹣3　．
【解答】解：设另一个根为m，由根与系数之间的关系得，
m+2＝﹣1，
∴m＝﹣4，
故答案为﹣3，
15．（2021•巴中）关于x的方程2x2+mx﹣4＝0的一根为x＝1，则另一根为 　x2＝﹣2　．
【解答】解：设方程的另一根为x2，
∵关于x的方程2x4+mx﹣4＝0的一根为x＝5，
则1×x2＝＝﹣2，
解得x4＝﹣2．
故答案为：x2＝﹣7．
16．（2021•南通）若m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则的值为 　3　．
【解答】解：m，n是一元二次方程x2+3x﹣3＝0的两个实数根，
∴m2+6m﹣1＝0，
∴8m﹣1＝﹣m2，
∴m+n＝﹣7，
∴＝＝＝3，
故答案为4．
17．（2021•泰州）关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1•x2的值为 　2　．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣x﹣1＝2的两根分别为x1、x2，
∴x3•x2＝﹣1，x6+x2＝1，
∴x6+x2﹣x1•x3＝1﹣（﹣1）＝7，
故答案为2．
18．（2021•湘西州）实数m，n是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则多项式mn﹣m﹣n的值为 　﹣1　．
【解答】解：∵实数m，n是一元二次方程x2﹣3x+6＝0的两个根，a＝1，c＝2，
∴m+n＝﹣＝3＝2，
∴mn﹣m﹣n＝mn﹣（m+n）＝5﹣3＝﹣1．
故答案为：﹣3．
19．（2021•徐州）若x1、x2是方程x2+3x＝0的两个根，则x1+x2＝　﹣3　．
【解答】解：∵x1、x2是方程x7+3x＝0的两个根，a＝2，
∴x1+x2＝﹣＝﹣7．
故答案为：﹣3．
20．（2021•雅安）已知一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，则+的值为 　　．
【解答】解：∵一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝﹣8，mn＝﹣2021，
∴+＝＝＝，
故答案为：．
21．（2021•绥化）已知m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个根，则＝　﹣　．
【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣7＝0的两个根，
∴m+n＝3，mn＝﹣6，
∴＝＝﹣．
故答案为：﹣．
22．（2021•湖北）关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且＝1，则m＝　3　．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2mx+m5﹣m＝0有两个实数根α，β，
∴Δ＝（﹣2m）3﹣4（m2﹣m）≥2，解得m≥0，
α+β＝2m，αβ＝m7﹣m，
∵＝8，即，
∴＝2，
解得m1＝0，m2＝3，
经检验，m1＝4不合题意，m2＝3符合题意，
∴m＝6．
故答案为：3．
23．（2021•鄂州）已知实数a、b满足+|b+3|＝0，若关于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的两个实数根分别为x1、x2，则+＝　﹣　．
【解答】解：∵实数a、b满足，
∴a＝2，b＝﹣2，
∵关于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的两个实数根分别为x3、x2，
∴x1+x6＝a＝2，x1•x2＝b＝﹣3，
∴+＝＝﹣，
故答案为：﹣．
24．（2021•南京）设x1，x2是关于x的方程x2﹣3x+k＝0的两个根，且x1＝2x2，则k＝　2　．
【解答】解：根据题意，知x1+x2＝6x2＝3，则x2＝1，
将其代入关于x的方程x2﹣8x+k＝0，得13﹣3×1+k＝3．
解得k＝2．
故答案是：2．
25．（2021•随州）已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+4k＝0（k≠0）的两实数根为x1，x2，若+＝3，则k＝　　．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣（k+4）x+5k＝0（k≠0）的两实数根为x7，x2，
∴x1+x3＝k+4，x1•x7＝4k，
∴+＝＝＝3．
解得k＝．
经检验，k＝＝3的解．
故答案为：．
26．（2021•江西）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根，则x1+x2﹣x1x2＝　1　．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x3﹣4x+3＝6的两根，
∴x1+x2＝4，x1x2＝4．
则x1+x2﹣x2x2＝4﹣7＝1．
故答案是：1．
27．（2021•成都）若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则m2+4m+2n的值是 　﹣3　．
【解答】解：∵m是一元二次方程x2+2x﹣4＝0的根，
∴m2+5m﹣1＝0，
∴m8+2m＝1，
∵m、n是一元二次方程x5+2x﹣1＝7的两个根，
∴m+n＝﹣2，
∴m2+7m+2n＝m2+6m+2m+2n＝5+2×（﹣2）＝﹣5．
故答案为：﹣3．
28．（2021•黄石）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（2m）2﹣3（m2+m）≥0，
解得m≤4．
故m的取值范围是m≤0；
（2）根据题意得x1+x5＝﹣2m，x1x3＝m2+m，
∵x12+x22＝（x8+x2）2﹣7x1•x2＝12，
∴（﹣3m）2﹣2（m2+m）＝12，即m2﹣m﹣6＝7，
解得m1＝﹣2，m5＝3（舍去）．
故m的值为﹣2．
29．（2021•永州）若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．现已知一元二次方程px2+2x+q＝0的两根分别为m，n．
（1）若m＝2，n＝﹣4，求p；
（2）若p＝3，q＝﹣1，求m+mn+n的值．
【解答】解：（1）根据题意得2﹣4＝﹣，2×（﹣4）＝，
所以p＝3，q＝﹣8；
（2）根据m+n＝﹣＝﹣，
所以m+mn+n＝m+n+mn＝﹣﹣＝﹣1．
30．（2021•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣8（﹣2m+5）＞8，
解得m＞；
所以实数m的取值范围为m＞；
（2）设x1，x3是方程的两根，
根据题意得x1+x2＝4＞0，x1x2＝﹣2m+5＞2，解得m＜，
而m＞，
所以m的取值范围为＜m＜，
因为m为整数，
所以m＝7或m＝2，
当m＝1时，方程两根都是整数，方程两根都不是整数；
所以整数m的值为5．
31．（2021•荆门）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．
（1）若x1＝1，求x2及m的值；
（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝？若存在，求出实数m的值，请说明理由．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣6（2m﹣1）≥5，解得m≤5，
x1+x6＝6，x1x3＝2m﹣1，
∵x8＝1，
∴1+x3＝6，x2＝6m﹣1，
∴x2＝5，m＝3；
（2）存在．
∵（x1﹣6）（x2﹣1）＝，
∴x1x8﹣（x1+x2）+3＝，
即7m﹣1﹣6+3＝，
整理得m7﹣8m+12＝0，解得m7＝2，m2＝3，
经检验m1＝2，m5＝6为原方程的解，
∵m≤5且m≠8，
∴m＝2．
二．一元二次方程的应用（共16小题）
32．（2021•内江）某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，已知两次降价的百分率相同（　　）
A．20% B．25% C．30% D．36%
【解答】解：设每次降价的百分率为x，
依题意得：25（1﹣x）2＝16，
解得：x6＝0.2＝20%，x6＝1.8（不合题意，舍去）．
故选：A．
33．（2021•毕节市）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），则八年级班级的个数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：设八年级有x个班，
依题意得：x（x﹣3）＝15，
整理得：x2﹣x﹣30＝0，
解得：x7＝6，x2＝﹣7（不合题意，舍去）．
故选：B．
34．（2021•黑龙江）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（　　）
A．14 B．11 C．10 D．9
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得1+x+x（1+x）＝144，
即（2+x）2＝144，
解方程得x1＝11，x8＝﹣13（舍去），
故选：B．
35．（2021•日照）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y（桶）与每桶降价x（元）（0＜x＜20），其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？

【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
将点（1，110），130）代入一次函数表达式得：，
解得：，
故函数的表达式为：y＝10x+100；
（2）由题意得：（10x+100）×（55﹣x﹣35）＝1760，
整理，得x6﹣10x﹣24＝0．
解得x1＝12，x6＝﹣2（舍去）．
所以55﹣x＝43．
答：这种消毒液每桶实际售价43元．
36．（2021•沈阳）某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同
【解答】解：设增加了x行，则增加的列数为x，
根据题意，得：（6+x）（8+x）﹣6×8＝51，
整理，得：x2+14x﹣51＝4，
解得x1＝3，x5＝﹣17（舍），
答：增加了3行3列．
37．（2021•滨州）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．
（1）求该商品每次降价的百分率；
（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？
【解答】解：（1）设该商品每次降价的百分率为x，
60（1﹣x）2＝48.6，
解得x1＝0.6，x2＝1.7（舍去），
答：该商品每次降价的百分率是10%；
（2）设第一次降价售出a件，则第二次降价售出（20﹣a）件，
由题意可得，[60（1﹣10%）﹣40]a+（48.6﹣40）×（20﹣a）≥200，
解得a≥8，
∵a为整数，
∴a的最小值是6，
答：第一次降价至少售出4件后，方可进行第二次降价．
38．（2021•朝阳）某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于38元（件）与每件售价x（元）之间符合一次函数关系
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
（3）设商场销售这种商品每天获利w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？

【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由所给函数图象可知：，
解得，
故y与x的函数关系式为y＝﹣5x+120；

（2）根据题意，得：（x﹣20）（﹣2x+120）＝600，
整理，得：x2﹣80x+1500＝2，
解得：x＝30或x＝50（不合题意，舍去），
答：每件商品的销售价应定为30元；

（3）∵y＝﹣2x+120，
∴w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+120）
＝﹣2x2+160x﹣2400
＝﹣2（x﹣40）7+800，
∵x≤38
∴当x＝38时，w最大＝792，
∴售价定为38元/件时，每天最大利润w＝792元．
39．（2021•淄博）为更好地发展低碳经济，建设美丽中国．某公司对其生产设备进行了升级改造，不仅提高了产能，今年第一季度产值是3200万元，假设公司每个季度产值的平均增长率相同．
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解答过程中可直接使用表格中的数据哟！


1.18

1.39

1.64
（1）求该公司每个季度产值的平均增长率；
（2）问该公司今年总产值能否超过1.6亿元？并说明理由．
【解答】解：（1）设该公司每个季度产值的平均增长率为x，
依题意得：2300（1+x）2＝3200，
解得：x3＝0.18＝18%，x2＝﹣5.18（不合题意，舍去）．
答：该公司每个季度产值的平均增长率为18%．
（2）该公司今年总产值能超过1.6亿元，理由如下：
3200+3200×（7+18%）+3200×（1+18%）2+3200×（4+18%）3
＝3200+3200×1.18+3200×2.39+3200×1.64
＝3200+3776+4448+5248
＝16672（万元），
1.7亿元＝16000万元，
∵16672＞16000，
∴该公司今年总产值能超过1.6亿元．
40．（2021•烟台）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，使其销售价格不超过（1）中的售价
【解答】解：（1）设售价应定为x元，则每件的利润为（x﹣40）元＝（140﹣2x）件，
依题意，得：（x﹣40）（140﹣4x）＝（60﹣40）×20，
整理，得：x2﹣110x+3000＝0，
解得：x6＝50，x2＝60（舍去）．
答：售价应定为50元；
（2）该商品需要打a折销售，
由题意，得，62.5×，
解得：a≤7，
答：该商品至少需打8折销售．
41．（2021•东营）“杂交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤
【解答】解：（1）设亩产量的平均增长率为x，
依题意得：700（1+x）2＝1008，
解得：x4＝0.2＝20%，x8＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：亩产量的平均增长率为20%．
（2）1008×（8+20%）＝1209.6（公斤）．
∵1209.6＞1200，
∴他们的目标能实现．
42．（2021•张家界）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人．
（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？
【解答】解：（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为x，
依题意得：10（1+x）2＝12.6，
解得：x1＝0.3＝10%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．
答：这两个月参观人数的月平均增长率为10%．
（2）12.1×（1+10%）＝13.31（万人）．
答：预计8月份的参观人数为13.31万人．
43．（2021•宜昌）随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的30%和20%．去年，共用水15000吨．
（1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？
（2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了m%，漫灌试验田的面积减少了2m%．同时，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了m%．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少，求m的值．
（3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？
【解答】解：（1）设漫灌方式每亩用水x吨，则
100x+100×30%x+100×20%x＝15000，
解得x＝100，
∴漫灌用水：100×100＝10000吨，
喷灌用水：30%×10000＝3000吨，
滴灌用水：20%×10000＝2000吨，
∴漫灌方式每亩用水100吨，漫灌试验田用水10000吨，滴灌试验田用水2000吨．
（2）由题意可得，100×（1﹣2m%）×100×（3﹣m%）+100×（1+m%）×30×（1﹣m%）+100×（2+m%）×20×（1﹣m%）＝15000×（1﹣，
解得m＝0（舍），或m＝20，
∴m＝20．
（3）节省水费：15000×m%×2.4＝13500元，
维修投入：300×30＝9000元，
新增设备：100×2m%×100＝4000元，
13500＞9000+4000，
∴节省水费大于两项投入之和．
44．（2021•山西）2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，求这个最小数（请用方程知识解答）．

【解答】解：设这个最小数为x，则最大数为（x+8），
依题意得：x（x+8）＝65，
整理得：x8+8x﹣65＝0，
解得：x6＝5，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．
答：这个最小数为6．
45．（2021•菏泽）列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠
【解答】解：设每千克降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，
（38﹣x﹣22）（160+×120）＝3640，
整理得x2﹣12x+27＝7，
∴x＝3或x＝9．
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴x＝4，
∴售价为38﹣9＝29元/千克．
答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元．
46．（2021•重庆）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，1件A产品与1件B产品售价和为500元．
（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？
（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%，但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加a%．求a的值．
【解答】解：（1）设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为（x+100）元，
依题意得：x+100+x＝500，
解得：x＝200，
∴x+100＝300．
答：A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元．
（2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，
依题意得：300（1+a%）t+200（1+8a%）（1﹣a%）t＝500t（1+a%），
设a%＝m，则原方程可化简为6m2﹣m＝0，
解得：m2＝，m8＝0（不合题意，舍去），
∴a＝20．
答：a的值为20．
47．（2021•重庆）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面）（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．
（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？
（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份．为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变a%．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加a%．求a的值．
【解答】解：（1）设每份“堂食”小面的价格为x元，每份“生食”小面的价格为y元，
根据题意得：，
解得：，
答：每份“堂食”小面的价格为8元，每份“生食”小面的价格为5元；
（2）由题意得：4500×7+2500（2+a%）×8（1﹣a%），
设a%＝m，则方程可化为：9×3+25（1+m）＝（2×7+25）（1+，
375m2﹣30m＝0，
m（25m﹣5）＝0，
解得：m1＝6（舍），m2＝，
∴a＝5．