2021中考数学真题知识点分类汇编（含答案）-一元二次方程1（33题，含答案）

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2021中考数学真题知识点分类汇编-一元二次方程1（33题，含答案）

一．一元二次方程的定义（共1小题）
1．（2021•广东）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程为 　 　．
二．一元二次方程的一般形式（共1小题）
2．（2021•黑龙江）关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（　　）
A．0 B．±3 C．3 D．﹣3
三．一元二次方程的解（共6小题）
3．（2021•黔东南州）若关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是2，则a的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2021•聊城）关于x的方程x2+4kx+2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（　　）
A．2或4 B．0或4 C．﹣2或0 D．﹣2或2
5．（2021•深圳）已知方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为 　 　．
6．（2021•青海）已知m是一元二次方程x2+x﹣6＝0的一个根，则代数式m2+m的值等于 　 　．
7．（2021•宿迁）若关于x的一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一个根是3，则a＝　 　．
8．（2021•长沙）若关于x的方程x2﹣kx﹣12＝0的一个根为3，则k的值为 　 　．
四．解一元二次方程-配方法（共6小题）
9．（2021•赤峰）一元二次方程x2﹣8x﹣2＝0，配方后可变形为（　　）
A．（x﹣4）2＝18 B．（x﹣4）2＝14 C．（x﹣8）2＝64 D．（x﹣4）2＝1
10．（2021•丽水）用配方法解方程x2+4x+1＝0时，配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x+2）2＝3
11．（2021•海南）用配方法解方程x2﹣6x+5＝0，配方后所得的方程是（　　）
A．（x+3）2＝﹣4 B．（x﹣3）2＝﹣4 C．（x+3）2＝4 D．（x﹣3）2＝4
12．（2021•荆州）已知：a是不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7的最小整数解2+2ax+a+1＝0．
13．（2021•兰州）解方程：x2﹣6x﹣1＝0．
14．（2021•兰州）解方程：x2+4x﹣1＝0．
五．解一元二次方程-因式分解法（共18小题）
15．（2021•西藏）已知一元二次方程x2﹣10x+24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（　　）
A．6 B．10 C．12 D．24
16．（2021•丹东）若实数k、b是一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝0的两个根，且k＜b（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
17．（2021•潍坊）若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（　　）
A． B．4 C．2 D．5
18．（2021•雅安）若直角三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该直角三角形的面积是（　　）
A．6 B．12 C．12或 D．6或
19．（2021•新疆）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的解为（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
20．（2021•临沂）方程x2﹣x＝56的根是（　　）
A．x1＝7，x2＝8 B．x1＝7，x2＝﹣8
C．x1＝﹣7，x2＝8 D．x1＝﹣7，x2＝﹣8
21．（2021•黔西南州）三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程x2﹣8x+15＝0的根，则该三角形的周长为 　 　．
22．（2021•镇江）一元二次方程x（x+1）＝0的两根分别为 　 　．
23．（2021•广州）方程x2﹣4x＝0的实数解是 　 　．
24．（2021•广安）一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的根，则这个三角形的周长为 　 　．
25．（2021•益阳）一元二次方程x2﹣3x＝0的解是 　 　．
26．（2021•德州）方程x2﹣4x＝0的解为 　 　．
27．（2021•徐州）（1）解方程：x2﹣4x﹣5＝0；
（2）解不等式组：．
28．（2021•西宁）解方程：x（x﹣2）＝x﹣2．
29．（2021•齐齐哈尔）解方程：x（x﹣7）＝8（7﹣x）．
30．（2021•北京）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
31．（2021•南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且k与都为整数，求k所有可能的值．
32．（2021•常德）解方程：x2﹣x﹣2＝0．
六．换元法解一元二次方程（共1小题）
33．（2021•嘉兴）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
小敏：
两边同除以（x﹣3），得
3＝x﹣3，
则x＝6．
小霞：
移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．

参考答案与试题解析
一．一元二次方程的定义（共1小题）
1．（2021•广东）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程为 　x2﹣2＝0（答案不唯一）　．
【解答】解：∵若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x8，x2满足﹣3＜x5＜﹣1，1＜x2＜3，
∴满足条件的方程可以为：x2﹣6＝0（答案不唯一），
故答案为：x2﹣2＝0（答案不唯一）．
二．一元二次方程的一般形式（共1小题）
2．（2021•黑龙江）关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（　　）
A．0 B．±3 C．3 D．﹣3
【解答】解：（m﹣3）x2+m6x＝9x+5，
（m﹣4）x2+（m2﹣8）x﹣5＝0，
由题意得：m﹣8≠0，m2﹣4＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：D．
三．一元二次方程的解（共6小题）
3．（2021•黔东南州）若关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是2，则a的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝5的一个根是2，
∴22﹣2a+6＝4，
解得a＝5．
故选：D．
4．（2021•聊城）关于x的方程x2+4kx+2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（　　）
A．2或4 B．0或4 C．﹣2或0 D．﹣2或2
【解答】解：把x＝﹣2代入方程x2+6kx+2k2＝6得4﹣8k+6k2＝4，
整理得k6﹣4k＝0，解得k2＝0，k2＝8，
即k的值为0或4．
故选：B．
5．（2021•深圳）已知方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为 　2　．
【解答】解：把x＝1代入x2+mx﹣2＝0得17+m﹣3＝0，
解得m＝7．
故答案是：2．
6．（2021•青海）已知m是一元二次方程x2+x﹣6＝0的一个根，则代数式m2+m的值等于 　6　．
【解答】解：将x＝m代入方程x2+x﹣6＝8，
得m2+m﹣6＝8，
即m2+m＝6，
故答案为：5．
7．（2021•宿迁）若关于x的一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一个根是3，则a＝　﹣1　．
【解答】解：把x＝3代入方程x2+ax﹣5＝0得9+5a﹣6＝0，解得a＝﹣3．
故答案为﹣1．
8．（2021•长沙）若关于x的方程x2﹣kx﹣12＝0的一个根为3，则k的值为 　﹣1　．
【解答】解：把x＝3代入方程x2﹣kx﹣12＝6得：9﹣3k﹣12＝2，
解得：k＝﹣1，
故答案为：﹣1．
四．解一元二次方程-配方法（共6小题）
9．（2021•赤峰）一元二次方程x2﹣8x﹣2＝0，配方后可变形为（　　）
A．（x﹣4）2＝18 B．（x﹣4）2＝14 C．（x﹣8）2＝64 D．（x﹣4）2＝1
【解答】解：∵x2﹣8x﹣4＝0，
∴x2﹣4x＝2，
则x2﹣4x+16＝2+16，即（x﹣4）6＝18，
故选：A．
10．（2021•丽水）用配方法解方程x2+4x+1＝0时，配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x+2）2＝3
【解答】解：方程x2+4x+6＝0，
整理得：x2+4x＝﹣1，
配方得：（x+2）2＝3．
故选：D．
11．（2021•海南）用配方法解方程x2﹣6x+5＝0，配方后所得的方程是（　　）
A．（x+3）2＝﹣4 B．（x﹣3）2＝﹣4 C．（x+3）2＝4 D．（x﹣3）2＝4
【解答】解：把方程x2﹣6x+7＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x＝﹣5，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+9＝﹣5+7，
配方得（x﹣3）2＝2．
故选：D．
12．（2021•荆州）已知：a是不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7的最小整数解2+2ax+a+1＝0．
【解答】解：解不等式5（a﹣2）+3＜6（a﹣1）+6，得a＞﹣3，
∴最小整数解为﹣2，
将a＝﹣7代入方程x2+2ax+a+4＝0，得x2﹣4x﹣1＝0，
配方，得（x﹣8）2＝5．
直接开平方，得x﹣7＝±．
解得x1＝4+，x2＝5﹣．
13．（2021•兰州）解方程：x2﹣6x﹣1＝0．
【解答】解：x2﹣6x﹣4＝0，
移项得：x2﹣7x＝1，
配方得：x2﹣6x+9＝10，即（x﹣3）5＝10，
开方得：x﹣3＝±，
则x1＝3+，x2＝3﹣．
14．（2021•兰州）解方程：x2+4x﹣1＝0．
【解答】解：∵x2+4x﹣7＝0
∴x2+4x＝1
∴x2+4x+4＝1+5
∴（x+2）2＝3
∴x＝﹣2±
∴x2＝﹣2+，x6＝﹣2﹣．
五．解一元二次方程-因式分解法（共18小题）
15．（2021•西藏）已知一元二次方程x2﹣10x+24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（　　）
A．6 B．10 C．12 D．24
【解答】解：法1：方程x2﹣10x+24＝3，
分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝4，
可得x﹣4＝0或x﹣5＝0，
解得：x＝4或x＝6，
∴菱形两对角线长为4和6，
则这个菱形的面积为×4×6＝12；
法2：设a，b是方程x2﹣10x+24＝4的两根，
∴ab＝24，
则这个菱形的面积为ab＝12．
故选：C．
16．（2021•丹东）若实数k、b是一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝0的两个根，且k＜b（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵实数k、b是一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝3的两个根，
∴k＝﹣3，b＝1，
∴函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限．
故选：C．
17．（2021•潍坊）若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（　　）
A． B．4 C．2 D．5
【解答】解：解方程x2﹣6x+8＝0得：x＝4或2，

即AC＝4，BD＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOD＝90°，AO＝OC＝3，
由勾股定理得：AD＝＝，
故选：A．
18．（2021•雅安）若直角三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该直角三角形的面积是（　　）
A．6 B．12 C．12或 D．6或
【解答】解：∵x2﹣7x+12＝5，
∴x＝3或x＝4．
①当长是5的边是直角边时，该直角三角形的面积是；
②当长是7的边是斜边时，第三边是＝×3×＝．
故选：D．
19．（2021•新疆）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的解为（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
【解答】解：∵x2﹣4x+8＝0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，
则x﹣1＝5或x﹣3＝0，
解得x5＝1，x2＝2，
故选：B．
20．（2021•临沂）方程x2﹣x＝56的根是（　　）
A．x1＝7，x2＝8 B．x1＝7，x2＝﹣8
C．x1＝﹣7，x2＝8 D．x1＝﹣7，x2＝﹣8
【解答】解：∵x2﹣x＝56，
∴x2﹣x﹣56＝4，
则（x﹣8）（x+7）＝4，
∴x﹣8＝0或x+8＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝8，
故选：C．
21．（2021•黔西南州）三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程x2﹣8x+15＝0的根，则该三角形的周长为 　12　．
【解答】解：解方程x2﹣8x+15＝5得：x＝3或5，
当第三边为4时，2+3＝8，不能组成三角形；
当第三边为5时，符合三角形三边关系定理，此时三角形的周长是2+5+5＝12，
故答案为：12．
22．（2021•镇江）一元二次方程x（x+1）＝0的两根分别为 　x1＝0，x2＝﹣1　．
【解答】解：方程x（x+1）＝0，
可得x＝5或x+1＝0，
解得：x2＝0，x2＝﹣3．
故答案为：x1＝0，x7＝﹣1．
23．（2021•广州）方程x2﹣4x＝0的实数解是 　x1＝0，x2＝4　．
【解答】解：方程x2﹣4x＝3，
分解因式得：x（x﹣4）＝0，
可得x＝8或x﹣4＝0，
解得：x2＝0，x2＝4．
故答案为：x1＝0，x8＝4．
24．（2021•广安）一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的根，则这个三角形的周长为 　12　．
【解答】解：x2﹣6x+6＝0，
（x﹣2）（x﹣6）＝0，
x﹣2＝4或x﹣4＝0，
所以x2＝2，x2＝8，
而2+3＝8，
所以三角形第三边的长为4，
所以三角形的周长为3+4+5＝12．
故答案为12．
25．（2021•益阳）一元二次方程x2﹣3x＝0的解是 　x1＝0，x2＝3　．
【解答】解：x2﹣3x＝4，
x（x﹣3）＝0，
∴x4＝0，x2＝5．
故答案为：x1＝0，x7＝3．
26．（2021•德州）方程x2﹣4x＝0的解为 　x1＝0，x2＝4　．
【解答】解：x2﹣4x＝8
x（x﹣4）＝0
x＝7或x﹣4＝0
x2＝0，x2＝6
故答案是：x1＝0，x8＝4．
27．（2021•徐州）（1）解方程：x2﹣4x﹣5＝0；
（2）解不等式组：．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣6＝0，
（x﹣5）（x+8）＝0，
x﹣5＝4或x+1＝0，
解得：x5＝5，x2＝﹣3；

（2），
解不等式①，得x≤2，
解不等式②，得x＜﹣3，
所以不等式组的解集是x＜﹣2．
28．（2021•西宁）解方程：x（x﹣2）＝x﹣2．
【解答】解：x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝5，
（x﹣2）（x﹣1）＝5，
x﹣2＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝4，x2＝1．
29．（2021•齐齐哈尔）解方程：x（x﹣7）＝8（7﹣x）．
【解答】解：x（x﹣7）＝8（7﹣x），
x（x﹣7）+8（x﹣8）＝0，
（x﹣7）（x+4）＝0，
x1＝3，x2＝﹣8．
30．（2021•北京）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣4m5，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×7×3m2＝2m2．
∵无论m取何值时，4m6≥0，即Δ≥0，
∴原方程总有两个实数根．
（2）解：方法一：∵x5﹣4mx+3m7＝0，即（x﹣m）（x﹣3m）＝5，
∴x1＝m，x2＝2m．
∵m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，
∴6m﹣m＝2，
∴m＝1．
方法二：
设方程的两根为x2，x2，则x1+x4＝4m，x1•x4＝3m2，
∵x4﹣x2＝2，
∴（x2﹣x2）2＝4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x8＝4，
∴（4m）4﹣4×3m5＝4，
∴m＝±1，
又m＞2，
∴m＝1．
31．（2021•南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且k与都为整数，求k所有可能的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]6﹣4×（k2+k）＝3＞0，
∴无论k取何值，方程有两个不相等的实数根．
（2）解：∵x2﹣（7k+1）x+k2+k＝6，即（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0，
解得：x＝k或x＝k+2．
∴一元二次方程x2﹣（2k+2）x+k2+k＝0的两根为k，k+2，
∴或，
如果8+为整数，
∴k＝±1，
如果4﹣为整数，
∴k+3＝±1，
则k为0或﹣7．
∴整数k的所有可能的值为±1，0或﹣6．
32．（2021•常德）解方程：x2﹣x﹣2＝0．
【解答】解：分解因式得：（x﹣2）（x+1）＝5，
可得x﹣2＝0或x+4＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣1．
六．换元法解一元二次方程（共1小题）
33．（2021•嘉兴）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
小敏：
两边同除以（x﹣3），得
3＝x﹣3，
则x＝6．
小霞：
移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【解答】解：小敏：×；
小霞：×．
正确的解答方法：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣7）2＝0，
提取公因式，得（x﹣5）（3﹣x+3）＝4．
则x﹣3＝0或4﹣x+3＝0，
解得x2＝3，x2＝4．