课时质量评价26　正弦定理和余弦定理-2022届高三数学一轮复习检测（新高考）

课时质量评价(二十六)

(建议用时：45分钟)

A组　全考点巩固练

1．(2020·合肥模拟)设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c.若b＝3，c＝，B＝，则角C＝(　　)

A．　　B．　　C．　　D．

B　解析：由正弦定理得＝，

所以＝.所以sin C＝.

因为b>c，所以B>C．

又因为C∈(0，π)，所以C＝.故选B．

2．(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则tan B＝(　　)

A． B．2

C．4 D．8

C　解析：设AB＝c，BC＝a，AC＝b，

则c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋16－2×3×4×＝9.所以c＝3.所以cos B＝＝.所以sin B＝＝.所以tan B＝4.故选C．

3．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝2，c＝2，cos ＝，则b＝(　　)

A．1 B． 

C．2 D．4

D　解析：因为a＝2，c＝2，cos ＝，所以cos A＝2cos2－1＝2×－1＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得(2)2＝b2＋22－2×b×2×，即b2－3b－4＝0，解得b＝4或b＝－1(舍)．故选D．

4．(2020·泉州一模)在△ABC中，BC＝2，D为BC的中点，∠BAD＝，AD＝1，则AC＝(　　)

A．2　　B．2　　C．6－　　D．2

D　解析：在△ABD中，由余弦定理得，

BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，

即5＝AB2＋1－AB，

解得AB＝2或AB＝－(舍)．

由正弦定理得＝，

所以sin∠ABD＝，cos∠ABD＝.

在△ABC中，由余弦定理得

AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC

＝(2)2＋(2)2－2×2×2×＝4，

解得AC＝2.故选D．

5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(　　)

A．直角三角形 B．等腰非等边三角形

C．等边三角形 D．钝角三角形

C　解析：因为＝，所以＝，所以b＝c.因为(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝＝.因为A∈(0，π)，所以A＝，所以△ABC是等边三角形．

6．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝________.

4　解析：在△ABC中，由b2＝a2＋c2－2accos B及b＋c＝7知，b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，整理得15b－60＝0，所以b＝4.

7．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，A＝，b2sin C＝4sin B，则△ABC的面积为________．

2　解析：因为b2sin C＝4sin B，所以b2c＝4b，所以bc＝4，S△ABC＝bcsin A＝×4×＝2.

8．在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边，且∠A＝60°.若S△ABC＝，2sin B＝3sin C，则△ABC的周长等于________．

5＋　解析：因为2sin B＝3sin C，所以由正弦定理得2b＝3c.由S△ABC＝＝bcsin A，得bc＝6，所以b＝3，c＝2.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝7，所以a＝.故△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋.

9．(2020·泰安高三一轮检测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且8cos2－2cos 2A＝3.

(1)求A；

(2)若a＝2，且△ABC面积的最大值为，求△ABC周长的取值范围．

解：因为8cos2－2cos 2A＝3，

所以4[1＋cos(B＋C)]－2cos 2A＝3，

整理得4cos2A＋4cos A－3＝0，

解得cos A＝或cos A＝－(舍去)．

又A∈(0，π)，所以A＝.

(2)由题意知S△ABC＝bcsin A＝bc≤，

所以bc≤4.

又b2＋c2－a2＝2bccos A，a＝2，所以b2＋c2＝4＋bc，

所以(b＋c)2＝4＋3bc≤16.

又b＋c>2，所以2<b＋c≤4，所以4<a＋b＋c≤6，

所以△ABC周长的取值范围是(4,6]．

10．(2020·潍坊模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，p＝(sin A＋cos C，sin A)，q＝(cos C－sin A，－sin C)．若p·q＝.

(1)求角B；

(2)若b＝3，求△ABC面积的最大值．

解：(1)由题意知p·q＝cos2C－sin2A－sin Asin C＝＝cos2B，

所以1－sin2C－sin2A－sin Asin C＝1－sin2B．

即sin2A＋sin2C＋sin Asin C＝sin2B，

由正弦定理得a2＋c2＋ac＝b2，

所以a2＋c2－b2＝－ac＝2accos B，

所以cos B＝－.

因为0<B<π，所以B＝.

(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，

所以9＝a2＋c2＋ac≥3ac.

所以ac≤3，当且仅当a＝c时，等号成立．

所以S△ABC＝acsin B＝ac≤.

所以△ABC面积的最大值为.

B组　新高考培优练

11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知a，b，c成等比数列，且cos B＝，则＋＝(　　)

A．　　B．　　C．　　D．

D　解析：由已知得b2＝ac，cos B＝，

所以sin B＝＝.

由b2＝ac及正弦定理得sin2B＝sin Asin C，

所以＋＝＋＝＝＝＝.故选D．

12．(多选题)(2020·山东百师联盟测试三)已知△ABC的三个内角满足＝＝(m∈N*)，则当m取不同值时，关于△ABC的形状，说法正确的是(　　)

A．当m＝2时，△ABC为锐角三角形

B．当m＝4时，△ABC为钝角三角形

C．当m＝6时 ，△ABC为等腰三角形

D．当m＝10时，△ABC为直角三角形

BCD　解析：设A，B，C的对边分别为a，b，c.由＝＝⇔＝＝.

令＝＝＝t，则a＝6t，b＝8t，c＝mt.

当m＝2时，a＝6t，b＝8t，c＝2t，a＋c＝b，不能构成三角形，选项A不正确；

当m＝4时，a＝6t，b＝8t，c＝4t，由余弦定理得cos B＝－<0，即B为钝角，选项B正确；

当m＝6时，a＝6t，b＝8t，c＝6t，即a＝c，选项C正确；

当m＝10时，a＝6t，b＝8t，c＝10t，即a2＋b2＝c2，选项D正确．

13．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，a2＝b2＋bc，则(　　)

A．sin2A－sin2B＝sin Bsin C

B．c＝b(1－2cos A)

C．A＝2B

D．△ABC一定为钝角三角形

AC　解析：因为a2＝b2＋bc，所以sin2A＝sin2B＋sin Bsin C，A正确；

又由a2＝b2＋bc＝b2＋c2－2bccos A可得b＝c－2bcos A，即c＝b(1＋2cos A)，B错误；由b＝c－2bcos A可得sin B＝sin(A＋B)－2sin Bcos A＝sin Acos B－sin Bcos A＝sin(A－B)，所以A＝2B或B＋A－B＝π(舍)，C正确；由上述推导可知，A＝2B⇔a2＝b2＋bc，所以△ABC可能为锐角三角形，D错误．故选AC．

14．(2020·山东师范大学附中高三质评)在△ABC中，设角A，B，C对应的边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，且4a2＝b2＋2c2，则的最大值为________．

　解析：由4a2＝b2＋2c2，得b2＝4a2－2c2＝a2＋c2－2accos B，整理得2accos B＝－3a2＋3c2，则cos B＝.

由题可得＝＝＝.

将cos B＝代入上式整理得＝－.

令t＝，由4a2＝b2＋2c2，得2＝＋，则0<t<2，

故＝－(9t2－22t＋9)＝－＋，

所以≤，即≤，则的最大值为.

15．(2020·青岛一模)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tan A)．

(1)求角C．

(2)若c＝2，D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度．

条件①：△ABC的面积S＝4且B>A；

条件②：cos B＝.

解：(1)在△ABC中，由余弦定理得

b2＋c2－a2＝2bccos A，

所以2b2＝2bccos A(1－tan A)．

所以b＝c(cos A－sin A)．

由正弦定理得

sin B＝sin C(cos A－sin A)，

所以sin(A＋C)＝sin C(cos A－sin A)，

即sin Acos C＋cos Asin C＝sin Ccos A－sin Csin A． 

所以sin Acos C＝－sin Csin A．

因为sin A≠0，所以cos C＝－sin C，

所以tan C＝－1.

又因为0<C<π，所以C＝.

(2)若选择条件①：△ABC的面积S＝4且B>A．

因为S△ABC＝4＝absin C＝absin ，

所以ab＝8.

由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，

所以a2＋b2＋ab＝40.

联立

解得或

因为B>A，所以b>a，所以

所以CD＝.

在△ACD中，由余弦定理得

AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcos C＝26，

所以AD＝.

若选择条件②：cos B＝.

因为cos B＝，所以sin B＝.

所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝.

由正弦定理得＝，

所以a＝＝2.

在△ABD中，由余弦定理得

AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B＝26，

所以AD＝.

16．(2020·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos 2＋cos A＝.

(1)求A；

(2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形．

(1)解：由已知得sin 2A＋cos A＝，

即cos2A－cos A＋＝0.

所以＝0，cos A＝.

由于0<A<π，故A＝.

(2)证明：由正弦定理及已知条件得sin B－sin C＝sin A．

由(1)知B＋C＝，所以sin B－sin＝sin .

即sin B－cos B＝，sin＝.

由于0<B<，故B＝.从而△ABC是直角三角形．