2020-2021学年6.2 指数函数教学ppt课件

这是一份2020-2021学年6.2 指数函数教学ppt课件，共26页。

一般地,函数①    y=ax(a>0,a≠1)    叫作指数函数,它的定义域是②    R    .
1 | 指数函数的概念
2 | 指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象与性质
1.指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象与性质
2.常用结论(1)底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.(2)底数a对指数函数图象的影响.a与1的大小关系决定了图象的“升”与“降”.
(i)当a>1时,指数函数的图象从左到右是“上升”的,且当x>0时,底数a的值越大, 函数图象越“陡”,说明函数值增长得越快.(ii)当0(3)指数函数y=ax与y=bx的函数值的大小比较.当x>0,a>b>0时,ax>bx;当x<0,a1.平移变换(a>0,a≠1)(1)左右平移:把y=ax的图象向⑥　右    平移b(b>0)个单位长度,得到y=ax-b的图象; 把y=ax的图象向⑦　左    平移b(b>0)个单位长度,得到y=ax+b的图象.(2)上下平移:把y=ax的图象向上平移b(b>0)个单位长度,得到⑧    y=ax+b    的图象; 把y=ax的图象向下平移b(b>0)个单位长度,得到y=ax-b的图象.简记为“左加右减,上加下减”.2.对称变换(a>0,a≠1)(1)函数y=ax的图象与y=a-x的图象关于y轴对称.(2)函数y=ax的图象与y=-ax的图象关于x轴对称.(3)函数y=ax的图象与y=-a-x的图象关于坐标原点对称.
3 | 指数函数图象的变换
1.函数y=2x-1是指数函数. (    ✕　)提示:形如y=ax(a>0,a≠1)的函数叫作指数函数,显然函数y=2x-1不是指数函数.2.函数y=a-x(a>0,a≠1)是R上的增函数. (    ✕　)提示:当01时,函数y=a-x= 是R上的减函数.3.函数y= (a>0,a≠1)的定义域为[0,+∞). (　√　)提示:由题意得x≥0,故函数y= (a>0,a≠1)的定义域为[0,+∞).4.若指数函数f(x)=(2a+1)x在定义域上是增函数,则实数a的取值范围是(0,+∞). (　√　)提示:由题意可知2a+1>1,解得a>0.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” .
5.函数y=2x+1的图象可以由y=2x的图象向右平移1个单位长度得到. (    ✕　)提示:函数y=2x+1的图象可以由y=2x的图象向左平移1个单位长度得到.6.函数y=5x的图象与y=-5x的图象关于y轴对称.(    ✕　)提示:函数y=5x的图象与y=-5x的图象关于x轴对称.7.若f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=10x,则当x<0时,f(x)=-10x. (    ✕　)提示:当x<0时,-x>0,则f(-x)=10-x,因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),所以当x<0时,f(x)= 10-x= .8.函数y=31-x在R上是单调递增函数. (    ✕　)提示:函数y=31-x由函数y=3u与u=1-x复合而成,指数函数y=3u在R上是单调递增函数,u=1-x在R上是单调递减函数,所以原函数在R上是单调递减函数.
1 | 与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法
大家对“水痘”应该不陌生,它与其他的传染病一样,有一定的潜伏期,某段时间 里病原体在机体内不断地繁殖.病原体的繁殖方式有很多种,分裂就是其中的一 种.我们来看某种球菌的分裂过程:由1个分裂成2个,2个分裂成4个,4个分裂成8个, ……
问题1.2个这样的球菌分裂x次后,得到的球菌的个数y与分裂次数x的关系式是什么?提示:y=2x+1.2.上述求出的关系式中x的范围是什么?函数的值域是什么?提示:x∈N*;值域是{22,23,24,…}.
与指数函数y=ax(a>0,a≠1)有关的复合函数的定义域、值域的求法1.求与指数函数有关的复合函数的定义域时,要观察函数是y=af(x)型还是y=f(ax)型.(1)由于指数函数y=ax(a>0,a≠1)的定义域是R,所以函数y=af(x)的定义域与f(x)的定 义域相同.(2)对于函数y=f(ax)(a>0,a≠1)的定义域,先令u=ax,然后确定y=f(u)的定义域,即u=ax 的值域,由此构造关于x的不等式(组),确定x的取值范围,得到y=f(ax)的定义域.2.求与指数函数有关的复合函数的值域时,重点是要注意指数函数的值域为(0,+∞).(1)求函数y=af(x)的值域,需先确定f(x)的值域,再根据指数函数y=ax的单调性确定函 数y=af(x)的值域;(2)求函数y=f(ax)的值域,先令u=ax,然后利用函数u=ax的单调性确定u=ax的值域,进
而确定函数y=f(u)的值域,即为y=f(ax)的值域.
求下列函数的定义域和值域:(1)y= ;(2)y=4x-2x+1;(3)y= (a>0,且a≠1).
思路点拨(1)利用根式的性质列不等式求函数的定义域,由x的范围得到 的范围,进而求出函数的值域;(2)根据指数函数的性质求函数的定义域,将y=4x-2x+1转化为关于2x的二次函数,进 而求出函数的值域;(3)根据分式的性质求函数的定义域,利用换元法或反解法求函数的值域.
解析    (1)由题意得1- ≥0,解得x≥0,∴函数的定义域为[0,+∞).∵x≥0,∴0< ≤1,∴0≤1- <1,∴0≤y<1,∴函数的值域为[0,1).(2)函数的定义域为R.y=4x-2x+1=(2x)2-2x+1= + .∵2x>0,∴当2x= ,即x=-1时,函数取得最小值 .∴函数的值域为 .(3)由ax+1>0恒成立,得函数的定义域为R.
解法一:设ax=t,则t∈(0,+∞),y= =1- .∵t>0,∴t+1>1,∴0< <1,∴-2< <0,∴-1<1- <1.∴函数的值域为(-1,1).解法二:由y= (a>0,且a≠1),得ax=- .∵ax>0,∴- >0,解得-12 | 与指数函数有关的复合函数的单调性
1.形如y=af(x)(a>0,a≠1)的函数的单调性的判断方法当a>1时,函数u=f(x)的单调递增(减)区间即为函数y=af(x)的单调递增(减)区间;当00,a≠1)的函数的单调性的判断方法先通过内层函数u=ax的值域确定外层函数y=f(u)的定义域,然后在此定义域内讨论外层函数的单调区间,再根据复合函数“同增异减”的原则确定复合函数的单调性.
若函数f(x)= 的值域是 ,则f(x)的单调递增区间是 (　A　)A.(-∞,-1]　    B.[1,+∞)C.(-∞,2]　    D.[2,+∞)
思路点拨令g(x)=ax2+2x+3,根据f(x)的值域是 ,得到g(x)的值域是[2,+∞),再利用二次函数的性质求得a的值,然后利用复合函数的单调性求解.
解析    令g(x)=ax2+2x+3.因为f(x)的值域是 ,所以g(x)的值域是[2,+∞).所以 解得a=1.所以g(x)=x2+2x+3,f(x)= .易知g(x)的单调递减区间是(-∞,-1],y= 在R上单调递减,所以f(x)的单调递增区间是(-∞,-1].
 函数f(x)= 的单调递增区间是　 (-∞,-2]   .
思路点拨先利用根式的性质求出函数的定义域,再利用复合函数的单调性求解.
解析    由题意得x2-3x-10≥0,解得x≤-2或x≥5.所以函数的定义域为(-∞,-2]∪[5,+∞).令t= ,易知t= 在(-∞,-2]上单调递减,在[5,+∞)上单调递增,又y= 在R上单调递减,所以由复合函数的单调性得函数f(x)= 的单调递增区间是(-∞,-2].
易错警示复合函数的单调性满足“同增异减”,但要注意定义域的取值范围.
3 | 指数函数单调性的应用
简单指数不等式的求解(1)形如af(x)>ag(x)的不等式,可借助y=ax(a>0,且a≠1)的单调性求解;(2)形如af(x)>b的不等式,可将b化为以a为底数的幂的形式,再借助y=ax(a>0,且a≠1) 的单调性求解;(3)形如ax>bx的不等式,可借助两函数y=ax,y=bx(a,b>0,且a,b≠1)的图象求解.
(1)设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是 (　C　)A.a0,a≠1),求实数x的取值范围.
思路点拨(1)先利用中间变量1比较a,c的大小,再利用指数函数y=0.6x的单调性比较a,b的大 小,进而得出a,b,c的大小关系;(2)对底数a分01两种情况,结合指数函数的单调性求解.
解析    (1)∵1.50.6>1.50=1,0.60.6<0.60=1,∴1.50.6>∵函数y=0.6x在(-∞,+∞)上是减函数,且1.5>0.6,∴0.61.5<0.60.6,∴1.50.6>0.60.6>0.61.5,即bx2+6,即-3x>5,解得x<- ;当a>1时,函数y=ax在R上是增函数,∴x2-3x+1- .综上,当01时,实数x的取值范围为 .
4 | 指数型函数模型的应用
在实际问题中,经常会遇到指数增长模型:设基数为N,平均增长率为p,则经过时间 x后的总量y可以用y=N(1+p)x来表示,这是十分常用的函数模型.利用指数型函数模型解决实际应用问题的一般步骤:(1)审题:理解题意,弄清楚关键字、词和字母的意义,从题意中提取信息;(2)建模:根据已知条件,列出指数(型)函数的关系式;(3)解模:运用数学知识解决问题;(4)回归:还原为实际问题,归纳得出结论.
目前,某县有100万人,经过x年后为y万人.如果年平均增长率是1.2%,请完成下列问题:(1)写出y关于x的函数解析式;(2)估计10年后该县的人口总数(精确到0.1万人).
思路点拨(1)求解析式时,先列出1年后、2年后、3年后的人口总数,再进行归纳;(2)根据函数解析式求解.