苏教版 (2019)必修 第二册11.2 正弦定理第1课时学案

这是一份苏教版 (2019)必修 第二册11.2 正弦定理第1课时学案，共10页。


1．正弦定理
(1)
(2)本质：三角形中，边与其对角的正弦之间的关系．
(3)应用：求解三角形中的边或角；进行三角形中边角之间的互化从而判断三角形的形状或求解三角形的综合问题．
2．正弦定理的变形
若R为△ABC外接圆的半径，则
(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；
(2)sin A＝ eq \f(a,2R) ，sin B＝ eq \f(b,2R) ，sin C＝ eq \f(c,2R) ；
(3)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
(4) eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C) ＝2R；
(5)S△ABC＝ eq \f(1,2) ab sin C＝ eq \f(1,2) bc sin A＝ eq \f(1,2) ac sin B．
1．在△ABC中，一定成立的等式是( )
A．a cs A＝b cs B B．a sin B＝b sin A
C．a cs B＝b cs A D．a sin A＝b sin B
【解析】选B.选项B可化为 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ，由正弦定理可知选项B正确．
2．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
【解析】选B.因为A，C是三角形ABC的内角，所以A＋C＜π，又因为sin A＝sin C，所以A＝C，即△ABC为等腰三角形．
3．在△ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B＝30°，b＝2，则 eq \f(a,sin A) 的值是( )
A．2 B．3 C．4 D．6
【解析】选C.由正弦定理可得 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(2,sin 30°) ＝4.
4．在锐角△ABC中，下列不等关系总成立的是( )
A．sin A＜cs B B．sin B＜cs A
C．sin A＞sin B D．sin B＞cs A
【解析】选D.因为在锐角△ABC中，0A> eq \f(π,2) －B>0，因为sin A>sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－B)) ＝cs B，故A选项不正确，
因为sin A与sin B大小不定，所以C选项不正确，
所以cs A所以B不正确，D选项正确．
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝ eq \f(π,6) ，a＝1，b＝ eq \r(3) ，则B＝________.
【解析】因为 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ，把A＝ eq \f(π,6) ，a＝1，b＝ eq \r(3) 代入，解得sin B＝ eq \f(\r(3),2) .因为b＞a，所以B＞A，结合题意可知B＝ eq \f(π,3) 或 eq \f(2π,3) .
答案： eq \f(π,3) 或 eq \f(2π,3)
6．在△ABC中，若 eq \f(sin A,a) ＝ eq \f(cs B,b) ，则B的度数为________．
【解析】根据正弦定理知， eq \f(sin A,a) ＝ eq \f(sin B,b) ，结合已知条件可得sin B＝cs B，又0°＜B＜180°，所以B＝45°.
答案：45°
7．在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．
【解析】因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－(A＋C)＝105°.
由 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(c,sin C) 得a＝ eq \f(c sin A,sin C) ＝10× eq \f(sin 45°,sin 30°) ＝10 eq \r(2) .
因为sin 75°＝sin (30°＋45°)
＝sin 30°cs 45°＋cs 30°sin 45°＝ eq \f(\r(2)＋\r(6),4) ，
所以b＝ eq \f(c sin B,sin C) ＝ eq \f(10×sin （A＋C）,sin 30°) ＝20× eq \f(\r(2)＋\r(6),4) ＝5 eq \r(2) ＋5 eq \r(6) .
所以a＝10 eq \r(2) ，b＝5 eq \r(2) ＋5 eq \r(6) ，B＝105°.
一、单选题
1．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b＝( )
A．4 eq \r(2) B．4 eq \r(3) C．4 eq \r(6) D． eq \f(32,3)
【解析】选C.A＝180°－B－C＝45°，由正弦定理 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ，得b＝ eq \f(a sin B,sin A) ＝ eq \f(8sin 60°,sin 45°) ＝4 eq \r(6) .
2．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝30°，B＝45°，则 eq \f(a,b) ＝( )
A． eq \r(2) B． eq \f(\r(2),2) C． eq \f(\r(6),2) D． eq \f(2,3)
【解析】选B.由正弦定理知， eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ，
即 eq \f(a,b) ＝ eq \f(sin A,sin B) ， eq \f(a,b) ＝ eq \f(\r(2),2) .
3．在△ABC中，cs A＝ eq \f(1,2) ，a＝4 eq \r(3) ，b＝4 eq \r(2) ，则B等于( )
A．45°或135° B．135°
C．45° D．60°
【解析】选C.由cs A＝ eq \f(1,2) ，得sin A＝ eq \f(\r(3),2) ，A＝60°，由正弦定理得sin B＝ eq \f(b sin A,a) ＝ eq \f(\r(2),2) .因为a＞b，所以B＝45°.
4．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cs C＝( )
A． eq \f(\r(3),3) B． eq \f(\r(6),3) C． eq \f(\r(3),2) D． eq \f(\r(6),2)
【解析】选B.由正弦定理，得 eq \f(AB,sin C) ＝ eq \f(AC,sin B) ，
即 eq \f(2,sin C) ＝ eq \f(3,sin 60°) ，解得sin C＝ eq \f(\r(3),3) .
因为AB＜AC，所以C＜B，
所以cs C＝ eq \r(1－sin2C) ＝ eq \f(\r(6),3) .
5．已知△ABC中，A＝45°，a＝1，若△ABC仅有一解，
则b∈( )
A．{ eq \r(2) } B．( eq \r(2) ，＋∞)
C．{ eq \r(2) }∪(0，1] D．{ eq \r(2) }∪(0，1)
【解析】选C.由题中已知△ABC中A＝45°，a＝1，则c边上的高线长可表示为b sin45°＝ eq \f(\r(2),2) b，因为三角形形状唯一，所以△ABC为直角三角形或钝角三角形，则a＝ eq \f(\r(2),2) b或a≥b>0，所以b＝ eq \r(2) a＝ eq \r(2) 或06．在△ABC中，a＝10，B＝60°，cs C＝ eq \f(\r(3),3) ，则c等于( )
A．20( eq \r(6) ＋2) B．20( eq \r(6) －2)
C． eq \r(6) ＋2 D．20 eq \r(6)
【解析】选B.由cs C＝ eq \f(\r(3),3) 得
sin C＝ eq \r(1－cs2C) ＝＝ eq \f(\r(6),3) ，
sinA＝sin (B＋C)＝sin B cs C＋cs B sin C
＝ eq \f(\r(3),2) × eq \f(\r(3),3) ＋ eq \f(1,2) × eq \f(\r(6),3) ＝ eq \f(3＋\r(6),6) .
由正弦定理得c＝a· eq \f(sin C,sin A) ＝10× eq \f(\f(\r(6),3),\f(3＋\r(6),6)) ＝10× eq \f(\r(6),3) × eq \f(6,3＋\r(6)) ＝20( eq \r(6) －2).
二、填空题
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＋b＝12，A＝60°，B＝45°，则a＝________．
【解析】在△ABC中，因为A＝60°，B＝45°，
由正弦定理 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ，
可得 eq \f(a,b) ＝ eq \f(sin A,sin B) ＝ eq \f(\r(3),\r(2)) ，
解得b＝ eq \f(\r(6),3) a，又因为a＋b＝12，
即a＋ eq \f(\r(6),3) a＝12，解得a＝36－12 eq \r(6) .
答案：36－12 eq \r(6)
8．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量m＝(a＋b，sin C)，n＝( eq \r(3) a＋c，sin B－sin A)，若m∥n，则角B的大小为________．
【解析】因为m∥n，
所以(a＋b)(sin B－sin A)－sin C( eq \r(3) a＋c)＝0，
由正弦定理化简得(a＋b)(b－a)－c( eq \r(3) a＋c)＝0，
整理得a2＋c2－b2＝－ eq \r(3) ac，
所以cs B＝－ eq \f(\r(3),2) ，
因为0答案： eq \f(5π,6)
9．在△ABC中，AB＝ eq \r(3) ，A＝45°，B＝60°，则BC＝________．
【解析】利用正弦定理 eq \f(BC,sin A) ＝ eq \f(AB,sin C) ，而C＝180°－(A＋B)＝75°，故BC＝ eq \f(AB sin A,sin C) ＝ eq \f(\r(3)sin 45°,sin 75°) ＝3－ eq \r(3) .
答案：3－ eq \r(3)
10．△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝ eq \r(3) ，b＝ eq \r(2) ，A＝60°，则角B＝________，△ABC的面积是________．
【解析】在△ABC中由正弦定理得 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ，
则sin B＝ eq \f(b sin A,a) ＝ eq \f(\r(2)sin 60°,\r(3)) ＝ eq \f(\r(2),2) ，
又因为b所以B则C＝75°，则△ABC的面积为 eq \f(1,2) ab sin C＝ eq \f(1,2) × eq \r(3) × eq \r(2) sin 75°＝ eq \f(3＋\r(3),4) .
答案：45° eq \f(3＋\r(3),4)
三、解答题
11．在△ABC中，A＝60°，sin B＝ eq \f(1,2) ，a＝3，求三角形中其余边与角的大小．
【解析】因为sin B＝ eq \f(1,2) ，所以B＝30°或150°，当B＝30°时，由A＝60°得C＝90°；当B＝150°时，不合题意，舍去．所以由正弦定理 eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(c,sin C) ＝ eq \f(a,sin A) ，得b＝ eq \f(sin B,sin A) ·a＝ eq \f(sin 30°,sin 60°) ×3＝ eq \r(3) ，c＝ eq \f(sin C,sin A) ·a＝ eq \f(sin 90°,sin 60°) ×3＝2 eq \r(3) .
12．在△ABC中，已知c＝ eq \r(6) ，A＝45°，a＝2，解这个三角形．
【解析】因为 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(c,sin C) ，
所以sin C＝ eq \f(c sin A,a) ＝ eq \f(\r(6)×sin 45°,2) ＝ eq \f(\r(3),2) .
因为0°＜C＜180°，
所以C＝60°或C＝120°.①
当C＝60°时，B＝75°，b＝ eq \f(c sin B,sin C) ＝ eq \f(\r(6)sin 75°,sin 60°) ＝ eq \r(3) ＋1；
当C＝120°时，B＝15°，b＝ eq \f(c sin B,sin C) ＝ eq \f(\r(6)sin 15°,sin 120°) ＝ eq \r(3) －1.
所以b＝ eq \r(3) ＋1，B＝75°，C＝60°
或b＝ eq \r(3) －1，B＝15°，C＝120°.
一、选择题
1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2a sin B＝ eq \r(3) b，则角A等于( )
A． eq \f(π,3) B． eq \f(π,4) C． eq \f(π,6) D． eq \f(2π,3)
【解析】选A.因为2a sin B＝ eq \r(3) b，
由正弦定理可得：2sin A sin B＝ eq \r(3) sin B，
又sin B≠0，所以sin A＝ eq \f(\r(3),2) .
因为△ABC为锐角三角形，所以A＝ eq \f(π,3) .
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2－b2＝ eq \r(3) bc，sin C＝2 eq \r(3) sin B，则角A为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
【解析】选A.因为sin C＝2 eq \r(3) sin B，
所以c＝2 eq \r(3) b，结合a2－b2＝ eq \r(3) bc，可得a2＝7b2，
所以cs A＝ eq \f(c2＋b2－a2,2cb) ＝ eq \f(\r(3),2) ，
因为0°3．在△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝60°，b＝2 eq \r(3) ，为使此三角形有两个，则a满足的条件是( )
A．0C．3【解析】选C.设C到AB的距离d＝b sin A＝3，
所以当3＜a＜2 eq \r(3) 时符合条件的三角形有两个．
4．(多选)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列说法正确的有( )
A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B．在△ABC中，若A>B，则sin A>sin B
C．在△ABC中，若 eq \f(sin A,sin B) ＝ eq \f(a,b) ，且(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则A＝120°
D．在△ABC中，sin 2A＝sin 2B＋sin 2C－2sin B sin C cs A
【解析】选ABD.对于A，由正弦定理 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(c,sin C) ，可得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，所以A正确；对于B，当A>B时，a>b，由正弦定理得sin A>sin B，所以B正确；对于C，由(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc得b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理得cs A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc) ＝ eq \f(bc,2bc) ＝ eq \f(1,2) ，所以A＝60°，故C错误；对于D，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cs A结合正弦定理得，sin 2A＝sin 2B＋sin 2C－2sin B sin C cs A，所以D正确．
二、填空题
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cs A＝ eq \f(1,2) ，a＝ eq \r(3) ，则 eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C) ＝________．
【解析】由cs A＝ eq \f(1,2) ，得sin A＝ eq \f(\r(3),2) ，
故 eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C) ＝ eq \f(a,sin A) ＝2.
答案：2
6．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则a的取值范围是________．
【解析】方法一：根据正弦定理 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(2,\f(\r(2),2)) ＝2 eq \r(2) ，故sin A＝ eq \f(a,2\r(2)) ，因为三角形有两解，故 eq \f(\r(2),2) 方法二：如图所示CD＝a·sin 45°＝ eq \f(\r(2),2) a，
若三角形有两解，则 eq \f(\r(2),2) a<2解得2答案：27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a＝2 eq \r(7) ，b＝4，A＝120°，则△ABC的面积为________.
【解析】因为a＝2 eq \r(7) ，b＝4，A＝120°，c>0，
又cs A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc) ，
所以cs 120°＝－ eq \f(1,2) ＝ eq \f(42＋c2－（2\r(7)）2,2×4×c) ，
解得c＝2，
所以S△ABC＝ eq \f(1,2) bc sin A＝ eq \f(1,2) ×4×2sin 120°＝2 eq \r(3) .
答案：2 eq \r(3)
8．在△ABC中，D是AC的中点，且BC＝2BD，cs A＝ eq \f(1,4) ，则 eq \f(AB,AC) ＝________；若△BCD的面积为 eq \f(3\r(15),17) ，则BD＝________．
【解析】设BD＝x(x>0)，则BC＝2x，在△ABC中，由余弦定理得AB2＋AC2－2AB·AC cs A＝4x2①，
在△ABD中，由余弦定理得AB2＋ eq \f(AC2,4) －2AB· eq \f(AC,2) cs A＝x2②，
①－②×4得3AB＝ eq \f(1,2) AC，从而 eq \f(AB,AC) ＝ eq \f(1,6) .
将AC＝6AB代入①中，得AB＝ eq \f(\r(2),\r(17)) x，
则AC＝ eq \f(6\r(2),\r(17)) x，
在△BCD中，cs ∠CBD＝ eq \f(BC2＋BD2－CD2,2BC·BD) ＝ eq \f(67,68) ，
则sin ∠CBD＝ eq \f(3\r(15),68) ，
从而△BCD的面积为 eq \f(1,2) ×x×2x× eq \f(3\r(15),68) ＝ eq \f(3\r(15),17) ，得x＝2，因此BD＝2.
答案： eq \f(1,6) 2
三、解答题
9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 eq \f(2b cs A,c) ＝－ eq \f(sin B,sin C) .
(1)求角A的大小；
(2)若a＝4 eq \r(3) ，b＝4，求△ABC的面积．
【解析】(1)由正弦定理的边化角公式可得 eq \f(2sin B cs A,sin C) ＝－ eq \f(sin B,sin C) ，
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，
所以2cs A＝－1，即cs A＝－ eq \f(1,2) ，
因为A∈(0，π)，所以A＝ eq \f(2π,3) .
(2)由正弦定理 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) 得sin B＝ eq \f(b sin A,a) ＝ eq \f(4×\f(\r(3),2),4\r(3)) ＝ eq \f(1,2) .因为B∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))) ，所以B＝ eq \f(π,6) ，
所以C＝π－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(2π,3))) ＝ eq \f(π,6) ，
所以S△ABC＝ eq \f(1,2) ab sin C＝ eq \f(1,2) ×4 eq \r(3) ×4× eq \f(1,2) ＝4 eq \r(3) .
10．已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．
(1)a＝10，b＝20，A＝80°；
(2)a＝2 eq \r(3) ，b＝6，A＝30°.
【解析】(1)a＝10，b＝20，a20sin 60°＝10 eq \r(3) ，
所以a(2)a＝2 eq \r(3) ，b＝6，a因为b sin A＝6sin 30°＝3，a>b sin A，
所以b sin A由正弦定理得sin B＝ eq \f(b sin A,a) ＝ eq \f(6sin 30°,2\r(3)) ＝ eq \f(\r(3),2) ，
又因为0°所以B＝60°或B＝120°.
当B＝60°时，C＝90°，
c＝ eq \f(a sin C,sin A) ＝ eq \f(2\r(3)sin 90°,sin 30°) ＝4 eq \r(3) ；
当B＝120°时，
C＝30°，c＝ eq \f(a sin C,sin A) ＝ eq \f(2\r(3)sin 30°,sin 30°) ＝2 eq \r(3) .
所以当B＝60°时，C＝90°，c＝4 eq \r(3) ；
当B＝120°时，C＝30°，c＝2 eq \r(3) .
条件
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
结论
＝ eq \f(b,sin B) ＝＝2R(R是△ABC外接圆的半径)
文字
叙述
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等