高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第11章 解三角形11.2 正弦定理第2课时学案及答案

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第11章 解三角形11.2 正弦定理第2课时学案及答案，共9页。学案主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．在△ABC中，a＝b sin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
【解析】选B.由题意有 eq \f(a,sin A) ＝b＝ eq \f(b,sin B) ，
则sin B＝1，即B为直角，故△ABC是直角三角形．
2．已知△ABC的三边分别为a，b，c，且BC边上的高为 eq \f(\r(3),6) a，则 eq \f(c,b) ＋ eq \f(b,c) 的最大值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】选C.三角形的面积：S＝ eq \f(1,2) · eq \f(\r(3),6) a2＝ eq \f(1,2) bc sin A，所以a2＝2 eq \r(3) bc sin A，
由余弦定理：cs A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc)
可得：b2＋c2＝a2＋2bc cs A＝2 eq \r(3) bc sin A＋2bc cs A，
所以 eq \f(c,b) ＋ eq \f(b,c) ＝ eq \f(b2＋c2,bc) ＝2 eq \r(3) sin A＋2cs A
＝4sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6))) ≤4，所以 eq \f(b,c) ＋ eq \f(c,b) 的最大值为4.
3．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，满足 eq \f(a,cs A) ＝ eq \f(b,cs B) ＝ eq \f(c,cs C) ，则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【解析】选C.由正弦定理得 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(c,sin C) ，又 eq \f(a,cs A) ＝ eq \f(b,cs B) ＝ eq \f(c,cs C) ，得 eq \f(sin A,cs A) ＝ eq \f(sin B,cs B) ＝ eq \f(sin C,cs C) ，即tan A＝tan B＝tan C，所以A＝B＝C，即△ABC为等边三角形．
4．在△ABC中∠A＝ eq \f(π,4) ，a2＋b2－c2＝ab，c＝3，则a＝( )
A．2 B． eq \r(5) C． eq \r(6) D．3
【解析】选C.因为a2＋b2－c2＝ab，所以可得cs C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab) ＝ eq \f(ab,2ab) ＝ eq \f(1,2) .
因为C∈(0，π)，所以C＝ eq \f(π,3) ，因为∠A＝ eq \f(π,4) ，c＝3，所以由正弦定理 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(c,sin C) ，可得： eq \f(a,\f(\r(2),2)) ＝ eq \f(3,\f(\r(3),2)) ，解得a＝ eq \r(6) .
5．在△ABC中内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b cs C＋c cs B＝2a cs A且△ABC的面积为 eq \f(a2＋b2－c2,4) ，则B＝( )
A． eq \f(π,12) B． eq \f(π,3) C． eq \f(5π,12) D． eq \f(π,2)
【解析】选C.由正弦定理及b cs C＋c cs B＝2a cs A，
得sin B cs C＋sin C cs B＝2sin A cs A，
所以sin (B＋C)＝2sin A cs A，
又因为在△ABC中，sin (B＋C)＝sin A>0，
所以cs A＝ eq \f(1,2) ，又A∈(0，π)，所以A＝ eq \f(π,3) ，
又S△ABC＝ eq \f(a2＋b2－c2,4) ＝ eq \f(1,2) ab sin C，结合余弦定理cs C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab) 得 eq \f(2ab cs C,4) ＝ eq \f(1,2) ab sin C，所以tan C＝1.又C∈(0，π)，所以C＝ eq \f(π,4) ，所以B＝π－ eq \f(π,3) － eq \f(π,4) ＝ eq \f(5π,12) .
6．在△ABC中内角A，B，C所对边分别为a，b，c，A＝ eq \f(π,6) ，b＝1，S△ABC＝ eq \r(3) ，则 eq \f(a－2b＋c,sin A－2sin B＋sin C) 的值等于( )
A． eq \f(2\r(39),3) B． eq \f(26,3) eq \r(3)
C． eq \f(8,3) eq \r(3) D．2 eq \r(37)
【解析】选D.因为S△ABC＝ eq \f(1,2) bc sin A，
所以c＝ eq \f(2S,b sin A) ＝ eq \f(2\r(3),\f(1,2)) ＝4 eq \r(3) ，
所以a2＝b2＋c2－2bc cs A＝1＋48－2×1×4 eq \r(3) × eq \f(\r(3),2) ＝37，所以a＝ eq \r(37) ，
所以 eq \f(a－2b＋c,sin A－2sin B＋sin C) ＝ eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(\r(37),\f(1,2)) ＝2 eq \r(37) .
二、填空题
7．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，则角C＝________．
【解析】因为3sin A＝5sin B，
由正弦定理可得3a＝5b，即a＝ eq \f(5,3) b；
因为b＋c＝2a，所以c＝ eq \f(7,3) b，
所以cs C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab) ＝ eq \f(\f(25,9)b2＋b2－\f(49,9)b2,2×\f(5,3)b2) ＝－ eq \f(1,2) ，
而C∈(0，π)，所以C＝ eq \f(2π,3) .
答案： eq \f(2π,3)
8．探险队为了测定帐篷A到山峰B的距离，在帐篷旁边选定100米长的基线AC，并测得∠C＝105°，∠B＝15°，则A，B两点间的距离为________．
【解析】由正弦定理得 eq \f(AB,sin 105°) ＝ eq \f(100,sin 15°) ，
所以AB＝ eq \f(100sin 105°,sin 15°) ＝ eq \f(100×\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(6)－\r(2),4)) ＝100(2＋ eq \r(3) ).
即A，B两点间的距离为100(2＋ eq \r(3) )米．
答案：100(2＋ eq \r(3) )米
9．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则AC＝______； eq \f(sin B,sin C) 的值为______．
【解析】由余弦定理可得49＝AC2＋25－2×5×AC×cs 120°，
整理得：AC2＋5·AC－24＝0，
解得AC＝3或AC＝－8(舍去)，
所以由正弦定理可得 eq \f(sin B,sin C) ＝ eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(3,5) .
答案：3 eq \f(3,5)
10．△ABC是等边三角形，点D在边AC的延长线上，且AD＝3CD，BD＝2 eq \r(7) ，则CD＝________；sin ∠ABD＝________．
【解析】如图所示，在等边△ABC中，AD＝3CD，所以AC＝2CD.
又BD＝2 eq \r(7) ，
所以BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cs ∠BCD，
即(2 eq \r(7) )2＝(2CD)2＋CD2－2·2CD·CD·cs 120°，
解得CD＝2(负值舍去)，所以AD＝6，
由 eq \f(AD,sin ∠ABD) ＝ eq \f(BD,sin A) 得 eq \f(6,sin ∠ABD) ＝ eq \f(2\r(7),sin 60°) ，
解得sin ∠ABD＝ eq \f(3\r(21),14) .
答案：2 eq \f(3\r(21),14)
三、解答题
11．在△ABC中，若sin A＝2sin B cs C，且sin 2A＝sin 2B＋sin 2C，试判断△ABC的形状．
【解析】方法一：(利用角的互余关系)根据正弦定理
eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(c,sin C) 及sin2A＝sin2B＋sin 2C，
可得a2＝b2＋c2，
所以A是直角，B＋C＝90°，所以2sin B cs C
＝2sin B cs (90°－B)＝2sin 2B＝sin A＝1，
所以sin B＝ eq \f(\r(2),2) .因为0°所以△ABC是等腰直角三角形．
方法二：(利用角的互补关系)根据正弦定理，
eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(c,sin C) 及sin 2A＝sin 2B＋sin 2C，
可得a2＝b2＋c2，所以A是直角．
因为A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin B cs C，
所以sin (B＋C)＝sin B cs C＋cs B sin C
＝2sin B cs C，所以sin (B－C)＝0.
又－90°所以B－C＝0，所以B＝C，
所以△ABC是等腰直角三角形．
12．(2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sinBsin C.
(1)求A；
(2)若 eq \r(2) a＋b＝2c，求sin C.
【解析】(1)由已知得sin 2B＋sin 2C－sin 2A＝sin B sin C，
故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理的推论，得cs A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc) ＝ eq \f(1,2) .
因为0°(2)由(1)知B＝120°－C，
由题设及正弦定理得 eq \r(2) sin A＋sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(120°－C)) ＝2sin C，
即 eq \f(\r(6),2) ＋ eq \f(\r(3),2) cs C＋ eq \f(1,2) sin C＝2sin C，
可得cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C＋60°)) ＝－ eq \f(\r(2),2) .
由于0°故sin C＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C＋60°－60°))
＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C＋60°)) cs 60°－cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C＋60°)) sin 60°＝ eq \f(\r(6)＋\r(2),4) .
一、选择题
1．在△ABC中，若3b＝2 eq \r(3) a sin B，cs A＝cs C，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【解析】选C.由正弦定理知b＝2R·sin B，
a＝2R·sin A，则3b＝2 eq \r(3) a·sin B可化为：
3sin B＝2 eq \r(3) sin A·sin B.
因为0°所以sin A＝ eq \f(\r(3),2) ，所以A＝60°或120°，
又cs A＝cs C，所以A＝C，所以A＝60°，
所以△ABC为等边三角形．
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若不等式x2－2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)sin A＋cs A)) x＋4>0的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠c)))) 且a＝ eq \r(3) ，则B＝( )
A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,3) C． eq \f(π,2) D． eq \f(2π,3)
【解析】选A.由题意，不等式x2－2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)sin A＋cs A)) x＋4>0的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠c)))) ，
所以Δ＝4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)sin A＋cs A)) 2－16＝0，
即sin 2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6))) ＝1，
又因为0所以sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6))) ＝1，解得A＝ eq \f(π,3) ，
所以不等式为x2－4x＋4＝(x－2)2>0，解得x≠2，所以c＝2，
又由a＝ eq \r(3) ，根据正弦定理得 eq \f(\r(3),sin \f(π,3)) ＝ eq \f(2,sin C) ，解得sin C＝1，所以C＝ eq \f(π,2) ，又因为A＝ eq \f(π,3) ，所以B＝ eq \f(π,6) .
3．(多选)在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有唯一解的有( )
A．b＝20，A＝45°，C＝80°
B．a＝30，c＝28，B＝60°
C．a＝14，b＝16，A＝45°
D．a＝12，c＝15，A＝120°
【解析】选AB.对A已知两角，一边，三角形是确定的，只有唯一解；
对B已知两边及夹角，用余弦定理解得第三边，唯一；
对C由正弦定理得sin B＝ eq \f(b sin A,a) ＝ eq \f(16sin 45°,14) ＝ eq \f(4\r(2),7) <1，又b>a，即B>A，所以B可能为锐角，也可能为钝角，两解；对D中a二、填空题
4．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，三角形的面积S＝ eq \r(3) ，则三角形外接圆的半径为________．
【解析】在△ABC中，因为b＝2，A＝120°，
三角形的面积S＝ eq \r(3) ＝ eq \f(1,2) bc·sin A＝c· eq \f(\r(3),2) ，
所以c＝2＝b，故B＝C＝ eq \f(1,2) (180°－A)＝30°，
再由正弦定理可得 eq \f(b,sin B) ＝2R＝ eq \f(2,sin 30°) ＝4，
所以三角形外接圆的半径R＝2.
答案：2
5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝ eq \f(π,6) ，b＝(4＋
2 eq \r(3) )a cs B，且b＝1，则B＝________；△ABC的面积为________．
【解析】依题意A＝ eq \f(π,6) ，b＝(4＋2 eq \r(3) )a cs B，由正弦定理得sin B＝(4＋2 eq \r(3) )sin eq \f(π,6) cs B，解得tan B＝2＋ eq \r(3) ，而tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,4))) ＝ eq \f(tan \f(π,6)＋tan \f(π,4),1－tan \f(π,6)·tan \f(π,4)) ＝ eq \f(\f(\r(3),3)＋1,1－\f(\r(3),3)) ＝2＋ eq \r(3) ，
而B∈(0，π)，所以B＝ eq \f(π,6) ＋ eq \f(π,4) ＝ eq \f(5,12) π，
则C＝π－ eq \f(π,6) － eq \f(5π,12) ＝ eq \f(5π,12) ＝B，
所以c＝b＝1，所以S＝ eq \f(1,2) cb sin A＝ eq \f(1,2) ×1×1× eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,4) .
答案： eq \f(5π,12) eq \f(1,4)
6．已知在△ABC中，a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝______．
【解析】由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2ab·cs C＝22＋42－2×2×4× eq \f(1,2) ＝12.
所以c＝2 eq \r(3) .
由正弦定理 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(c,sin C) 得，
sin A＝ eq \f(a sin C,c) ＝ eq \f(2×\f(\r(3),2),2\r(3)) ＝ eq \f(1,2) .
因为a答案：30°
7．在△ABC中，AB＝4 eq \r(3) ，∠B＝ eq \f(π,4) ，点D在边BC上，∠ADC＝ eq \f(2π,3) ，CD＝2，则AD＝________；△ACD的面积为________．
【解析】因为∠ADC＝ eq \f(2π,3) ，所以∠ADB＝ eq \f(π,3) ，
在△ABD中由正弦定理得 eq \f(AD,sin B) ＝ eq \f(AB,sin ∠ADB) ，AD＝ eq \f(AB sin B,sin ∠ADB) ＝ eq \f(4\r(3)sin \f(π,4),sin \f(π,3)) ＝4 eq \r(2) .
在△ACD中S△ACD＝ eq \f(1,2) AD×DC sin ∠CDA＝ eq \f(1,2) ×4 eq \r(2) ×2× eq \f(\r(3),2) ＝2 eq \r(6) .
答案：4 eq \r(2) 2 eq \r(6)
三、解答题
8．在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC的形状．
【解析】在△ABC中，由 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ，
可得 eq \f(a,b) ＝ eq \f(sin A,sin B) ，所以 eq \f(a2,b2) ＝ eq \f(sin2A,sin2B) .
又因为a2tanB＝b2tan A，所以 eq \f(a2,b2) ＝ eq \f(tan A,tan B) ，
所以 eq \f(tan A,tan B) ＝ eq \f(sin2A,sin2B) ，所以sinA cs A＝sin B cs B，
即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，
即A＝B或A＋B＝ eq \f(π,2) .
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．
9．(2020·江苏高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝3，c＝ eq \r(2) ，B＝45°.
(1)求sin C的值；
(2)在边BC上取一点D，使得cs ∠ADC＝－ eq \f(4,5) ，求tan ∠DAC的值．
【解析】(1)由余弦定理，得cs B＝cs 45°＝ eq \f(a2＋c2－b2,2ac) ＝ eq \f(11－b2,6\r(2)) ＝ eq \f(\r(2),2) ，因此b2＝5，即b＝ eq \r(5) ，由正弦定理 eq \f(c,sin C) ＝ eq \f(b,sin B) ，得 eq \f(\r(2),sin C) ＝ eq \f(\r(5),\f(\r(2),2)) ，因此sin C＝ eq \f(\r(5),5) .
(2)因为cs ∠ADC＝－ eq \f(4,5) ，
所以sin ∠ADC＝ eq \r(1－cs 2∠ADC) ＝ eq \f(3,5) ，
因为∠ADC∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) ，所以C∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) ，
所以cs C＝ eq \r(1－sin 2C) ＝ eq \f(2\r(5),5) ，
所以sin ∠DAC＝sin (π－∠DAC)
＝sin (∠ADC＋∠C)
＝sin ∠ADC cs C＋cs ∠ADC sin C＝ eq \f(2\r(5),25) ，
因为∠DAC∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) ，
所以cs ∠DAC＝ eq \r(1－sin 2∠DAC) ＝ eq \f(11\r(5),25) ，
故tan ∠DAC＝ eq \f(sin ∠DAC,cs ∠DAC) ＝ eq \f(2,11) .