苏教版 (2019)必修 第二册第12章 复数12.1 复数的概念导学案

这是一份苏教版 (2019)必修 第二册第12章 复数12.1 复数的概念导学案，共6页。学案主要包含了概念认知，自我小测，基础全面练，综合突破练，加固训练，思路导引等内容，欢迎下载使用。


【概念认知】
1．复数的概念
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，其中i叫作虚数单位，满足i2＝－1；复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫作复数z的实部与虚部．
2．复数的分类
(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示．
3．复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d．
【自我小测】
1．(1＋ eq \r(3) )i的实部与虚部分别是( )
A．1， eq \r(3) B．1＋ eq \r(3) ，0
C．0，1＋ eq \r(3) D．0，(1＋ eq \r(3) )i
【解析】选C.(1＋ eq \r(3) )i可看作0＋(1＋ eq \r(3) )i＝a＋bi，
所以实部a＝0，虚部b＝1＋ eq \r(3) .
2．如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为( )
A．x＝1，y＝－1 B．x＝0，y＝－1
C．x＝1，y＝0 D．x＝0，y＝0
【解析】选A.因为(x＋y)i＝x－1，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,x－1＝0，))
所以x＝1，y＝－1.
3．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝( )
A．－2＋i B．2＋i
C．1－2i D．1＋2i
【解析】选B.由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，
则由题意得1＋xi＝y＋2i，
根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，
故x＋yi＝2＋i.
4．下列命题：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1；
③两个复数不能比较大小．
其中错误命题的序号是________．
【解析】当a＝－1时，(a＋1)i＝0，故①错误；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－1＝0，,x2＋3x＋2≠0，))
即x＝1，故②错；两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，③中忽视了这一特殊情况，故③错．
答案：①②③
5．已知x2＋ix＋6＝2i＋5x，若x∈R，则x＝________；若x∈C，则x＝________．
【解析】当x∈R时，由复数相等的充要条件得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－5x＋6＝0，,x＝2，)) 解得x＝2；
当x∈C时，令x＝a＋bi(a，b∈R)，
则有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－b2－b＋6＝5a，,2ab＋a＝2＋5b.))
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝0)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝－1.))
所以x＝2或x＝3－i.
答案：2 3－i或2
6．实数x取什么值时，复数z＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋x－6)) ＋(x2－2x－15)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
【解析】(1)当x2－2x－15＝0，
即x＝－3或x＝5时，复数z为实数；
(2)当x2－2x－15≠0，
即x≠－3且x≠5时，复数z为虚数；
(3)当x2＋x－6＝0且x2－2x－15≠0，
即x＝2时，复数z是纯虚数．
【基础全面练】
一、单选题
1．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】选B.a＋bi为纯虚数，则a＝0，b≠0，此时ab＝0；反之ab＝0不能得出a＝0，b≠0.所以“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．
2．若a，b∈R, 且a>b，那么( )
A．ai>bi B．a＋i>b＋i
C．ai2>bi2 D．bi2>ai2
【解析】选D.虚数不能比较大小，故A，B错；
因为 i2＝－1，a>b，所以 ai23．如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为( )
A．1 B．0
C．－1 D．－1或1
【解析】选B.由题意知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m（m＋1）＝0，,m2－1≠0，)) 解得m＝0.
二、填空题
4．以 eq \r(5) i－ eq \r(5) 的虚部为实部，以8i2＋ eq \r(2) i的实部为虚部的复数是________．
【解析】 eq \r(5) i－ eq \r(5) 的虚部为 eq \r(5) ，8i2＋ eq \r(2) i＝－8＋ eq \r(2) i的实部为－8.
答案： eq \r(5) －8i
5．满足方程x2－2x－3＋(9y2－6y＋1)i＝0的实数对(x，y)表示的点的个数为________．
【解析】由题意知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－2x－3＝0，,9y2－6y＋1＝0，))
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝\f(1,3))) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝\f(1,3)．)) 所以实数对(x，y)表示的点有 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,3))) ， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,3))) ，共有2个．
答案：2
三、解答题
6．已知复数z＝(m2＋3m＋2)＋(m2－m－6)i，则当实数m为何值时，复数z(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．
【解析】(1)当m2－m－6＝0，
即m＝3或m＝－2时，z为实数．
(2)当m2－m－6≠0，即m≠－2且m≠3时，z是虚数．
(3)当 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2＋3m＋2＝0，,m2－m－6≠0，)) 即m＝－1时，z是纯虚数．
【综合突破练】
一、选择题
1．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z＝( )
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
【解析】选B.由题意，知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n2＋mn＋2＝0，,2n＋2＝0，))
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝3，,n＝－1，)) 所以z＝3－i.
2．已知复数z＝x＋yi eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y∈R)) ，则( )
A．z2≥0
B．z的虚部是yi
C．若z＝1＋2i，则x＝1，y＝2
D．z为实数时，x＋y＝0
【解析】选C.对于A选项，取z＝i，则z2＝－1<0，A选项错误；对于B选项，复数z的虚部为y，B选项错误；对于C选项，若z＝1＋2i，则x＝1，y＝2，C选项正确；对于D选项，z为实数时，y＝0，D选项错误．
3．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cs θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围为( )
A．－7≤λ≤ eq \f(9,16) B． eq \f(9,16) ≤λ≤7
C．－1≤λ≤1 D．－ eq \f(9,16) ≤λ≤7
【解析】选D.由z1＝z2，
得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝2cs θ，,4－m2＝λ＋3sin θ，)) 消去m，
得λ＝4sin 2θ－3sin θ＝4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin θ－\f(3,8))) eq \s\up12(2) － eq \f(9,16) .
由于－1≤sin θ≤1，故－ eq \f(9,16) ≤λ≤7.
4．(多选)对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，下列结论错误的是( )
A．若a＝0，则a＋bi为纯虚数
B．若a－bi＝3＋2i，则a＝3，b＝2
C．若b＝0，则a＋bi为实数
D．z为虚数时，b≠0
【解析】选AB.因为z＝a＋bi(a，b∈R)，
当a＝0且b≠0时复数为纯虚数，故A错误；
当b＝0时，复数为实数，故C正确；
z为虚数时，b≠0，故D正确；
对于B：a－bi＝3＋2i，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝3，,－b＝2，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝－2，)) 故B错误．
【加固训练】
(多选题)已知i为虚数单位，下列命题中正确的是( )
A．若x，y∈C，则x＋yi＝3－2i的充要条件是x＝3，y＝－2
B．(a2＋1)i(a∈R)是纯虚数
C．若实数a与ai对应，则实数集与纯虚集一一对应
D．当m＝4时，复数lg (m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数
【解析】选BD.取x＝－2i，y＝－3i，则x＋yi＝3－2i，但不满足x＝3，y＝－2，故A错误；
∀a∈R，a2＋1>0恒成立，所以(a2＋1)i是纯虚数，故B正确；若a＝0，则ai不是纯虚数，故C错误；m＝4时，复数lg (m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i＝42i是纯虚数，故D正确．
二、填空题
5．若lg2(x2－3x－2)＋ilg2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值是________．
【思路导引】复数值大于1，则复数必为实数，即虚部为0，实部大于1 .
【解析】因为lg2(x2－3x－2)＋ilg2(x2＋2x＋1)>1，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2（x2－3x－2）>1，,lg2（x2＋2x＋1）＝0，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－3x－2>2，,x2＋2x＋1＝1，))
解得x＝－2.
答案：－2
6．复数z＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ)) ＋isin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ)) ，且θ∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))) ，若z是实数，则θ的值为________；若z为纯虚数，则θ的值为________．
【解析】z＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ)) ＋isin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ)) ＝－sin θ＋ics θ.
当z是实数时， cs θ＝0，因为θ∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))) ，
所以θ＝± eq \f(π,2) ；当z为纯虚数时 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－sin θ＝0，,cs θ≠0，))
又θ∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))) ，所以θ＝0.
答案：± eq \f(π,2) 0
三、解答题
7．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i，8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}，且M∩NM，M∩N≠∅，求整数a，b的值．
【解析】若M∩N＝{3i}，则(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，即a＋3＝0且b2－1＝3，
即a＝－3，b＝±2.
当a＝－3，b＝－2时，M＝{3i，8}，N＝{3i，8}，
M∩N＝M，不合题意，舍去；
当a＝－3，b＝2时，M＝{3i，8}，N＝{3i，8＋4i}，符合题意，
所以a＝－3，b＝2.
若M∩N＝{8}，则8＝(a2－1)＋(b＋2)i，
即a2－1＝8且b＋2＝0，得a＝±3，b＝－2.
当a＝－3，b＝－2时，不合题意，舍去；
当a＝3，b＝－2时，M＝{6＋3i，8}，N＝{3i，8}，符合题意．
所以a＝3，b＝－2.
若M∩N＝{(a＋3)＋(b2－1)i}＝{(a2－1)＋(b＋2)i}，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋3＝a2－1，,b2－1＝b＋2，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－a－4＝0，,b2－b－3＝0，))
此方程组无整数解．
综上可得a＝－3，b＝2或a＝3，b＝－2.