数学必修 第二册第14章 统计14.4 用样本估计总体学案

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1．一组数据的极差、样本方差、样本标准差
(1)一组数据的极差
我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差．
(2)样本方差和样本标准差
设一组样本数据x1，x2，…，xn，其平均数为 eq \x\t(x) ，则称s2＝为这个样本的方差．其算术平方根s＝为样本的标准差，分别简称样本方差、样本标准差．
(3)一个方差的计算公式
一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其方差为p1(x1― eq \x\t(x) )2＋p2(x2－ eq \x\t(x) )2＋…＋pn(xn－ eq \x\t(x) )2.
2．分层抽样数据的方差
一般地，如果总体分为k层，第j层抽取的样本为xj1，xj2，…，，第j层的样本量为nj，样本平均数为 eq \x\t(x) j，样本方差为s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(j)) ，j＝1，2，…，k.记＝n，那么，所有数据的样本方差为＝＝．
1．某校为了丰富校园文化，举行初中生书法大赛，决赛设置了6个获奖名额，共有11名选手进入决赛，选手决赛得分均不相同．若知道某位选手的决赛的得分，要判断他是否获奖，只需知道这11名学生决赛得分的( )
A．中位数 B．平均数
C．众数 D．方差
【解析】选A.由中位数的概念，即最中间一个或两个数据的平均数；可知11人成绩的中位数是第6名的得分．根据题意可得：参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的得分以及全部得分的中位数，比较即可．
2．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )
A．92，2 B．92，2.8
C．93，2 D．93，2.8
【解析】选B.去掉一个最高分95与一个最低分89后，所得的5个数分别为90，90，93，94，93，
所以 eq \x\t(x) ＝ eq \f(90＋90＋93＋94＋93,5) ＝92，
s2＝ eq \f(2×（90－92）2＋2×（93－92）2＋（94－92）2,5) ＝ eq \f(14,5) ＝2.8.
3．(教材练习改编)已知数据x1，x2，x3，…，xn是上海普通职工n(n≥3，n∈N*)个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn＋1，则这n＋1个数据中，下列说法正确的是( )
A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变
B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大
C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变
D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
【解析】选B.插入大的极端值，平均数增加，中位数可能不变，方差也因为数据更加分散而变大．
4．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为________．
【解析】因为这100人成绩的平均数
eq \x\t(x) ＝ eq \f(20×5＋10×4＋30×3＋30×2＋10×1,100) ＝ eq \f(100＋40＋90＋60＋10,100) ＝3，
所以这100人成绩的方差s2＝ eq \f(1,100) ×[20×22＋10×12＋30×02＋30×12＋10×22]＝ eq \f(160,100) ＝ eq \f(8,5) ，
所以标准差s＝ eq \f(2\r(10),5) .
答案： eq \f(2\r(10),5)
5．甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为
甲：99 100 98 100 100 103
乙：99 100 102 99 100 100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．
【解析】(1)甲的平均数 eq \x\t(x) 甲＝ eq \f(1,6) (99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
乙的平均数 eq \x\t(x) 乙＝ eq \f(1,6) (99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.
s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(甲)) ＝ eq \f(1,6) [(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝ eq \f(7,3) ，
s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(乙)) ＝ eq \f(1,6) [(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，
又s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(甲)) ＞s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(乙)) ，所以乙机床加工零件的质量更稳定．
一、单选题
1．下列说法正确的是( )
A．在两组数据中，平均数较大的一组极差较大
B．平均数反映数据的集中趋势，方差反映数据波动的大小
C．方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和
D．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大说明射击水平稳定
【解析】选B.平均数表示一组数据的集中趋势，平均数的大小并不能说明该组数据极差的大小，所以A错误；方差公式s2＝，所以C错误；方差大说明射击水平不稳定，所以D错误．
2．已知数据x1，x2，…，xn的平均数为 eq \x\t(x) ，方差为s2，则2x1＋3，2x2＋3，…，2xn＋3的平均数和方差分别为( )
A． eq \x\t(x) 和s2 B．2 eq \x\t(x) ＋3和4s2
C．2 eq \x\t(x) ＋3和s2 D．2 eq \x\t(x) ＋3和4s2＋12s＋9
【解析】选B.因为数据x1，x2，…，xn的平均数为 eq \x\t(x) ，方差为s2，所以2x1＋3，2x2＋3，…，2xn＋3的平均数和方差分别为2 eq \x\t(x) ＋3和4s2.
3．现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，那么这组数据的标准差是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选A.由s2＝ eq \f(1,n) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋…＋x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) )) － eq \x\t(x) 2，得s2＝ eq \f(1,10) ×100－32＝1，即标准差s＝1.
4．下列各组数中方差最小的是( )
A．1，2，3，4，5 B．2，2，2，4，5
C．3，3，3，3，3 D．2，3，2，3，2
【解析】选C.对于选项A：平均数为 eq \f(1,5) (1＋2＋3＋4＋5)＝3，方差为s2＝ eq \f(1,5) [(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2；对于选项B：平均数为 eq \f(1,5) (2＋2＋2＋4＋5)＝3，方差为s2＝ eq \f(1,5) [(2－3)2＋(2－3)2＋(2－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝1.6；
对于选项C：平均数为 eq \f(1,5) (3＋3＋3＋3＋3)＝3，方差为s2＝ eq \f(1,5) [(3－3)2＋(3－3)2＋(3－3)2＋(3－3)2＋(3－3)2]＝0；
对于选项D：平均数为 eq \f(1,5) (2＋3＋2＋3＋2)＝2.4；
方差为s2＝ eq \f(1,5) [(2－2.4)2＋(3－2.4)2＋(2－2.4)2＋(3－2.4)2＋(2－2.4)2]＝0.24.
因为0 eq \x\t(x) 乙．题图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，所以s甲5，s2>2 B． eq \x\t(x) ＝5，s2