江苏省南京市、盐城市2022届高三年级第二次模拟考试数学试题

南京市、盐城市2022届高三年级第二次模拟考试

数学参考答案

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．C 2．A 3．B 4．B 5．C 6．D 7．A 8．D

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

9．BCD  10．AD  11．AC  12．ABD

三､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．8  14．144  15．－  16．120

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本题满分10分)

解：（1）因为∠BAD＝，AC平分∠BAD，所以∠BAC＝∠CAD＝．

在△ABC中，因为∠ABC＝，所以∠ACB＝，

又因为AC＝2，由＝，得AB＝，················································2分

所以S△ABC＝AB·ACsin∠BAC＝．

在△ACD中，因为∠ADC＝∠CAD＝，所以CA＝CD＝2，

所以S△ACD＝CA·CDsin∠ACD＝，

所以S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝．·······································4分

（2）因为AC平分∠BAD，所以∠BAC＝∠CAD，

在△ACD中，由∠ADC＝， ＝，得AC＝· ．   ①

在△ABC中，由∠ABC＝， ＝，得AC＝·．  ②·····································6分

由①②得＝．

又因为CD＝2AB，所以2sin∠ACB＝sin∠CAD．

设∠BAC＝θ，则sinθ＝2sin(－θ)，··············································8分

所以sinθ＝2×(cosθ－sinθ)，即2sinθ＝cosθ．

因为θ∈(0，)，所以cosθ≠0，

所以tanθ＝，即tan∠BAC＝．·················································10分

18．(本题满分12分)

解：（1）因为2∈[21，22)，所以a2＝22＝4，·········································2分

因为20∈[24，25)，所以a20＝25＝32．···········································4分

（2）an＝2k的项数为2k－2k－1＝2k－1．·········································6分

又因为20＋21＋22＋…＋2k－1＝2k－1，所以数列{an}的前2k－1项和为

S＝21×20＋22×21＋23×22＋…＋2k×2k－1

＝21＋23＋25＋…＋22k－1

＝(4k－1)．····························································8分

当k＝5时，S31＝(45－1)＝682＜2022，

S51＝S31＋26×20＝682＋1280＝1962＜2022，····································10分

S52＝S51＋26＝1962＋64＝2026＞2022．

又因为Sn＋1＞Sn，

所以使得Sn＜2022成立的正整数n的最大值为51．·································12分

19．(本题满分12分)

解：（1）取AB中点E，连接PE，DE．

因为△PAB是边长为2的等边三角形，

所以AB⊥PE，PE＝，AE＝1．

又因为PD⊥AB，PD∩PE＝P，PD，PE平面PDE，

所以AB⊥平面PDE．························································2分

因为DE面PDE，所以AB⊥DE．

在Rt△AED中，AD＝2，AE＝1，所以DE＝．

在△PDE中，PD＝，DE＝，PE＝，所以PE2＋DE2＝PD2，所以DE⊥PE．···············4分

又因为AB∩PE＝E，AB，PE平面PAB，

所以DE⊥平面PAB．

又因为DE平面ABCD，

所以平面PAB⊥平面ABCD．··················································6分

（2）由（1）知，以{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系E－xyz，

则E(0，0，0)，D(0，0，)，C(－2，0，)，P(0，，0)．

则＝(－2，0，0)，＝(0，－，)．······································8分

设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，

则即

取x＝0，y＝1，z＝1．

所以n＝(0，1，1)是平面PCD的一个法向量．……………10分

因为DE⊥平面PAB，

所以＝(0，0，)为平面PAB的一个法向量．

所以cos＜n，＞＝＝，

所以平面PAB和平面PCD所成锐二面角的大小为．·································12分

20．(本题满分12分)

解：（1）①当1≤X≤9时，P(X＝i)＝(1－p)i－1p，i＝1，2，…，9．

当X ＝10时，P(X＝10)＝(1－p)9．

所以P(X＝i)＝·····························································4分

②E(X)＝i(1－p)i－1p＋10(1－p)9＝pi(1－p)i－1＋10(1－p)9．

令S＝i(1－p)i－1，则E(X)＝pS＋10(1－p)9．

则S＝1＋2(1－p)＋3(1－p)2＋…＋8(1－p)7＋9(1－p)8，

(1－p)S＝(1－p)＋2(1－p)2＋…＋7(1－p)7＋8(1－p)8＋9(1－p)9，

两式相减，得pS＝1＋(1－p)＋(1－p)2＋…＋(1－p)7＋(1－p)8－9(1－p)9·················6分

＝－9(1－p)9，

所以E(X)＝＋(1－p)9＝[1－(1－p)10]．

因为0＜p＜1，所以0＜1－(1－p)10＜1，

所以E(X)＜．······························································9分

（2）当p＝0.25时，由（1）得E(X)＜4， 则a×E(X) ＜4a＜5a，

即试验结束后的平均成本小于试验成功的获利，

所以该公司可以考虑投资该产品．····································12分

21．(本题满分12分)

解：（1）因为双曲线C渐近线方程为y＝±x，所以＝1．

又因为双曲线C经过点(，1)，所以－＝1．····································2分

解得a＝b＝．··························································4分

（2）方法1

当AB斜率不存在时，由双曲线对称性知AD经过原点，此时与题意不符．

设AB方程为y＝kx＋m(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点E(x3，y3)，则D(－x2，y2)．

由消去x，得 (1－k2)x2－2kmx－m2－2＝0，

所以x1＋x2＝，x1x2＝－，···················································6分

则x3＝＝，y3＝kx3＋m＝，则AB的中垂线方程为y－＝－(x－)，

当x＝0时，y＝．

因为B，D两点关于y轴对称，则△ABD的外接圆圆心在y轴上，

记圆心为点F，则F(0，)．····················································8分

因为△ABD的外接圆经过原点，则OF＝FA，即||＝．

又因为－＝1，所以y12－ y1＋1＝0．

同理，由OF＝FB，得y22－ y2＋1＝0，

所以y1，y2是方程y2－y＋1＝0的两个根，所以y1y2＝1．····························10分

则(kx1＋m)(kx2＋m)＝1，即k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝1，所以k2×(－)＋km×＋m2＝1，

化简得k2＋1＝m2，

所以原点O到直线AB距离d＝＝1，

所以直线AB与圆x2＋y2＝1相切．·············································12分

方法2

设直线AB方程为x＝my＋n，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D(－x2，y2)．

又因为B，D两点关于y轴对称，则△ABD的外接圆的圆心在y轴上，设为P(0，t)，

则PA＝PB，即＝．

由－＝1，－＝1，化简得t＝y1＋y2．············································6分

因为△ABD的外接圆经过原点O，所以PA＝PO＝|t|，即＝|y1＋y2|，

化简得y1y2＝1．···························································8分

联立直线AB及双曲线方程消去x，得 (m2－1)y2＋2mny＋n2－2＝0，

所以y1y2＝．····················································10分

又因为y1y2＝1，所以＝1，即m2＋1＝n2，

所以原点O到直线AB距离d＝＝1，

所以直线AB与圆x2＋y2＝1相切．·············································12分

22．(本题满分12分)

解：（1）由f(x)＝aex＋sinx－3x－2，得f'(x)＝aex＋cosx－3．

因为a≤0，所以f'(x)＝aex＋cosx－3≤cosx－3＜0，所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递减．·········2分

又因为f(0)＝a－2＜0，f(a－2)＝aea－2＋sin(a－2)－3a＋4＞a(ea－2－3)≥0，

因此f(x)有唯一的零点．························································4分

（2）由（1）知，a≤0符合题意．

（i）当a＝2时，

由f(x)＝2ex＋sinx－3x－2，得f'(x)＝2ex＋cosx－3．

当x＜0时，f'(x)≤2ex－2＜0，所以f(x)单调递减；···································6分

当x＞0时，f''(x)＝2ex－sinx≥2ex－1＞0，所以f'(x)在(0，＋∞)上单调递增，

从而，当x＞0时，f'(x)＞f'(0)＝0，所以f(x)单调递增，

于是f(x)≥f(0)＝0，当且仅当x＝0时取等号，

故此时f(x)有唯一的零点x＝0．·················································8分

（ii）当a＞2时，f(x)＞2ex＋sinx－3x－2≥0，此时f(x)无零点；···························9分

（iii）当0＜a＜2时，

首先证明：当x≥0时，ex＞．

设g(x)＝ex－，x≥0，

则g'(x)＝ex－x，g''(x)＝ex－1≥0，所以g'(x)在[0，＋∞)上单调递增，

故g'(x)≥g'(0)＝1＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，

因此g(x)≥g(0)＝1＞0，即当x≥0时，ex＞．········································10分

当x＞0时，f(x)≥aex－3x－3＞x2－3x－3，

令x2－3x－3＝0，得x＝．

取x0＝＞0，则f(x0)＞0．

又f(0)＝a－2＜0，f(－1)＝ae－1＋1－sin1＞0，

因此，当0＜a＜2时，f(x)至少有两个零点，不合题意．

综上，a＝2或a≤0．························································12分