高中3.2 基本不等式第1课时导学案及答案

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第1课时 基本不等式
如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标．它依据我国著名数学家赵爽在研究勾股定理的弦图进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车．
[问题] 依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？



知识点 重要不等式与基本不等式
1．重要不等式
对任意实数x和y，有eq \f(x2＋y2,2)≥xy，当且仅当x＝y时，等号成立．
2．基本不等式
设a≥0，b≥0，有eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立．
其中，eq \f(a＋b,2)称为a，b的算术平均值，eq \r(ab)称为a，b的几何平均值．
基本不等式又称为均值不等式，也可以表述为：两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值．
eq \a\vs4\al()
1．不等式a2＋b2≥2ab与eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)的比较
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)；
(2)两个不等式a2＋b2≥2ab和eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”．
2．基本不等式的常见变形
(1)a＋b≥2eq \r(ab)；
(2)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)≤eq \f(a2＋b2,2)(其中a>0，b>0，当且仅当a＝b时等号成立)．
1．下列不等式正确的是( )
A．a＋eq \f(1,a)≥2 B．(－a)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)))≤－2
C．a2＋eq \f(1,a2)≥2 D．(－a)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)))eq \s\up12(2)≤－2
答案：C
2．不等式(x－2y)＋eq \f(1,x－2y)≥2成立的前提条件为________．
解析：因为不等式成立的前提条件是各项均为正，
所以x－2y>0，即x>2y.
答案：x>2y
[例1] 判断下列推导过程是否正确：
(1)∵a∈R，a≠0，∴eq \f(4,a)＋a≥2eq \r(\f(4,a)·a)＝4；
(2)∵x，y∈R，xy＜0，∴eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,y)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y,x)))))≤－2eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,y)))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y,x))))＝－2.
[解] (1)由于a∈R，a≠0，不符合基本不等式的使用条件，故(1)的推导是错误的．
(2)由xy＜0，知eq \f(x,y)，eq \f(y,x)均为负数，在推导过程中，将其转变为正数－eq \f(x,y)，－eq \f(y,x)后，符合基本不等式的使用条件，故(2)的推导正确．
eq \a\vs4\al()
应用基本不等式时，注意下列两个常见变形中等号成立的条件：
(1)eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号；eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≤－2(a，b异号)，当且仅当a＝－b时取等号；
(2)a＋eq \f(1,a)≥2(a＞0)，当且仅当a＝1时取等号；a＋eq \f(1,a)≤－2(a＜0)，当且仅当a＝－1时取等号．
[跟踪训练]
1．不等式a＋1≥2eq \r(a)(a＞0)中等号成立的条件是( )
A．a＝0 B．a＝eq \f(1,2)
C．a＝1 D．a＝2
答案：C
2．已知a，b∈R，且ab＞0，则下列结论恒成立的是( )
A．a2＋b2＞2ab B．a＋b≥2eq \r(ab)
C.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＞eq \f(2,\r(ab)) D.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2
解析：选D 对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B、C，ab＞0只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B、C错误；对于D，因为ab＞0，所以eq \f(b,a)＞0，eq \f(a,b)＞0，所以eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))，即eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2恒成立．故选D.
[例2] (链接教科书第27页例4)已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,c)－1))≥8.
[证明] 因为a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，
所以eq \f(1,a)－1＝eq \f(1－a,a)＝eq \f(b＋c,a)≥eq \f(2\r(bc),a)，
同理eq \f(1,b)－1≥eq \f(2\r(ac),b)，eq \f(1,c)－1≥eq \f(2\r(ab),c).
上述三个不等式两边均为正，由不等式同向同正可乘性，分别相乘，
得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,c)－1))≥eq \f(2\r(bc),a)·eq \f(2\r(ac),b)·eq \f(2\r(ab),c)＝8.
当且仅当a＝b＝c＝eq \f(1,3)时，等号成立．
[母题探究]
1．(变设问)在本例条件下，求证：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)≥9.
证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，
所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝eq \f(a＋b＋c,a)＋eq \f(a＋b＋c,b)＋eq \f(a＋b＋c,c)
＝3＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,b)＋\f(b,c)))≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c＝eq \f(1,3)时，等号成立．
2．(变条件，变设问)本例条件变为“a＋b＝1，a＞0，b＞0，”求证eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,b)))≥9.
证明：∵a＋b＝1，a>0，b>0，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,b)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(a＋b,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(a＋b,b)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(b,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(a,b)))＝5＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))≥5＋4eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝9，当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时，等号成立．
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,b)))≥9.
eq \a\vs4\al()
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”；
(2)注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；
③对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，构成基本不等式模型再使用．
[跟踪训练]
(2019·全国卷Ⅰ节选)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)≤a2＋b2＋c2.
证明：因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝eq \f(ab＋bc＋ca,abc)＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c).当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．
所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)≤a2＋b2＋c2.
1．(多选)下列说法中正确的是( )
A．a2＋b2≥2ab成立的条件是a≥0，b≥0
B．a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R
C．a＋b≥2eq \r(ab)成立的条件是a≥0，b≥0
D．a＋b≥2eq \r(ab)成立的条件是ab＞0
解析：选BC 根据不等式成立的条件可知只有B、C正确，故选B、C.
2．设a，b为正数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的是( )
A.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)<1 B.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥1
C.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)<2 D.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥2
解析：选B 因为ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,2)))eq \s\up12(2)＝4，所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥2eq \r(\f(1,ab))≥2eq \r(\f(1,4))＝1，当且仅当a＝b＝2时等号成立．
3．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)≥8.
证明：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(a＋b,ab)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))，
∵a＋b＝1，a＞0，b＞0，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋b,a)＋eq \f(a＋b,b)＝2＋eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2＋2＝4，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)≥8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当a＝b＝\f(1,2)时等号成立)).
新课程标准解读
核心素养
1.掌握基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(a≥0，b≥0，当且仅当a＝b时等号成立)
逻辑推理
2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题
数学建模
对基本不等式的理解
应用基本不等式证明不等式