2021四川省仁寿一中校南校区高一下学期期末模拟考试数学试题含答案

仁寿一中南校区高2020级第二学期期末模拟考试数学试题                                      

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.过点且与直线平行的直线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

2. 若在中，角的对边分别为，则（    ）

A． B． C．或 D．以上都不对

【答案】A

3. 若首项为1的等比数列{an}的前3项和为3，则公比q为（    ）

A．－2          B．1            C．－2或1           D．2或－1

【答案】C

4．已知向量与夹角为，且，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

5. 设的内角、、所对的边分别为、、，若，则的形状为（    ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定

【答案】B

6. 若实数，满足约束条件，则的最小值是（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】C

7. 直线与直线平行，则实数的值为（    ）

A．1或-1 B．0或-1 C．-1 D．1

【答案】C

8. 设是某个等差数列的前n项和，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

9.已知正数满足，则的最大值是（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】B

10. 若且，下列四个式子：①；②；③；④；其中一定成立的有（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】A

11. 已知数列的各项均为正数，，，若数列的前n项和为4，则n为（    ）

A．81 B．80 C．64 D．63

【答案】B

12. 锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（    ）

A．(） B．(）

C．[) D．[，1)

【答案】C

【详解】

由题意得，（当且仅当时取等号），

由于三角形是锐角三角形，所以，所以，解得所以，，设，

因为函数在单调递减，在上单调递增，所以函数无限接近中的较大者，所以

所以的取值范围是，

故选：C．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分。请将正确答案直接答在答题卡相应的位置上。

13. 无论为何值，直线必过定点坐标为_      _

【答案】

14. 已知数列中，，则___________.

【答案】

15. 设为所在平面上一点，且满足，若的面积为2，则面积为_______________．

【答案】3

16. 已知函数有两个零点且，则直线的斜率的取值范围是_________．

【答案】

三、解答题：本大题6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知向量．

（1）求向量与的夹角；

（2）若，且，求m的值．

【答案】（1）    （2）

【详解】

解：（1）由，，则，

由题得，，

设向量与的夹角为，则，

由，所以. 即向量与的夹角为.

（2）由，，

所以，又，

所以，又，

所以，解得.

18. 如图，在四边形中，.求：

（1）的长度；

（2）三角形的面积.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

解：（1）在中，由余弦定理可得：

，

则；

（2）在中，，

，

由正弦定理可得，

所以，

则.

19. 已知直线经过点，直线过点，且．

（1）若与之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程．

（2）若与距离为5，求两直线的方程；

【详解】

（1）当经过两点的直线与两点连线垂直时，距离最大，此时斜率，

最大距离为，

，．

（2）①若，的斜率都存在时，

设直线的斜率为，由斜截式得的方程，即．

由点斜式可得的方程，即．

在直线上取点，

则点到直线的距离，

，

．

，．

②若、的斜率不存在，

则的方程为，的方程为，它们之间的距离为5．同样满足条件．

20.已知数列的前n项和为，且满足，，.

（1）求的通项公式；

（2）设数列满足，，，按照如下规律构造新数列：，求的前2n项和.

【答案】（1），；（2）数列的前2n项和为.

【详解】

（1）由，，

得，所以.

因为，所以，所以，.

又当时，，适合上式.

所以，.

（2）因为，，所以，

又，所以.

所以数列的偶数项构成以为首项､2为公比的等比数列.

故数列的前2n项的和，

所以数列的前2n项和为.

21. 在数学探究活动中，某兴趣小组合作制作一个工艺品，设计了如图所示的一个窗户，其中矩形的三边，，由长为8厘米的材料弯折而成，边的长为厘米()；曲线是一段抛物线，在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为，记窗户的高(点到边的距离)为.

（1）求函数的解析式，并求要使得窗户的高最小，边应设计成多少厘米？

（2）要使得窗户的高与长的比值达到最小，边应设计成多少厘米？

【答案】（1），应设计为3厘米；（2）厘米.

【详解】

解：（1）因为抛物线方程为，所以，

又因为，所以点到的距离为，

所以点到的距离为，即，

因为，所以当时有最小值，

，

此时，，故应设计为3厘米.

（2）窗户的高与长的比值为，

因为，当且仅当，即时取等号，

所以要使得窗户的高与长的比值达到最小，厘米.

22. 已知数列的前项和为，满足且，数列的前项为，满足

（Ⅰ）设，求证：数列为等比数列；

（Ⅱ）求的通项公式；

（Ⅲ）若对任意的恒成立，求实数的最大值.

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）

【详解】

解：（Ⅰ）由得，变形为：，

，且 

∴数列是以首项为2，公比为的等比数列

（Ⅱ）由

；

（Ⅲ）由（Ⅰ）知数列是以首项为2，公比为的等比数列

∴，于是

∴=，由得

从而 ， ∴

当n为偶数时，恒成立，而，∴1

当n为奇数时，恒成立，而，∴

综上所述，，即的最大值为