2021甘肃省民乐一中高一创新实验班招生考试数学试题含答案

这是一份2021甘肃省民乐一中高一创新实验班招生考试数学试题含答案，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

民乐一中2021级创新实验班招生考试数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数中，自变量x的取值范围是 （ ）
A．x＞2 B．x≥2 C.x≥2且x≠0 D. x≠0
2.化简算式+ 等于 （ ）
A．1 B． 1+２ C． D．
3. 如图是六个棱长为1的正方块组成的一个几何体，它的左视图的面积是 ( ) A．6 B．5 C．4 D．3
第8题图
B
C
P
H
A
第5题图

第 3题图　





4．若函数y1＝x+1与函数y2＝的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1 A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2或x＞1
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1
5.如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为 （　　）
A． B． C． D．
6. 定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．则方程1☆x＝0的根的情况为 （　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
7. 用换元法解方程+＝2时，若设＝y，则原方程可化为关于y的方程是
( )
A．y2﹣2y+1＝0 B．y2+2y+1＝0 C．y2+y+2＝0 D．y2+y﹣2＝0
8.如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，将BC绕点B顺时针旋转θ(0°<θ<90°)，得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数 （ ）
A．随着θ的增大而增大 B．随着θ的增大而减小
C．不变 D．随着θ的增大，先增大后减小
9.已知抛物线（其中，，是常数,，）经过点（2,0），其对称轴是直线．有下列结论：① ， ②关于的方程有两个不等的实数根，③a<- .其中正确结论的个数是 （ ）
第10题图
A．0 B．1 C．2 D．3
10.如图，在等腰△ABC中，AB=AC,直线l垂直于底边BC于点F，现将直线l沿线段BC从B点匀速平移至C点，直线l与△ABC的边相交于E，F两点．设线段EF的长度为y，平移时间为t，则下图中能较好反映y与t的函数关系的图象是 （　　）

A
B
C
D






二、填空题（本大题共8小题,每小题4分,共32分.）
11. 因式分解：3a4﹣3b4＝　 ．
12.埃及胡夫金字塔是世界古代建筑奇迹之一，其底面是正方形、侧面是全等的等腰三角形.底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是（﹣1），它介于整数n和n+1之间，则n的值是　 　．
13.把抛物线y＝ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的解析式是y＝x2-3x+5，则a+b+c=__________.
第14题图　
第15题图
14. 我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?”题意是:如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因为一丈等于十尺，则该圆柱的高为 20 尺，底面周长为 3 尺，有葛藤自点 A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 尺．





15.如图，AB是圆O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P．若∠BPC=70°，则∠ABC的度数等于 .
16．如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第 个图形中共有210个小球．
17.如图，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝的图象于点C，连接AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是　 　．
P
A
D
M
C
第18题图　
B
E
第17题图　







18.如图，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是DC边上的一个动点，E是AD边的中点,则线段PE,PM的和PE+PM的最小值是 .
三、解答题：本大题共10小题,共78分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
19．（5分）初中数学教科书告诉我们一种作已知角的平分线的方法：
已知：,求作：的平分线
作法：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；
（2）分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C；
（3）画射线OC，射线OC即为所求．
请你根据提供的材料完成下面问题：
（1）这种作已知角平分线的方法的依据是__________________(填序号)．
① ② ③ ④
（2）请你证明OC为的平分线．

20.(5分)先化简，再从-2，-1，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．

21. (6分) 如下是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．
一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行90 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，求江水的流速为多少？
甲：； 乙：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲同学所列方程中的x表示_________ ________ _____；
乙同学所列方程中的y表示________________________________________；
(2)两个方程中任选一个，解方程并回答老师提出的问题．

22.(6分)如图，某楼房AB顶部有一根天线，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C,D,A，在点C处测得天线顶端E的仰角为，从点C走到点D，测得CD=5m，从点D测得天线底端的仰角为，已知A,B,E在同一条垂直于地面的直线上，AB=25m.求天线BE的高度．（结果保留根号）

23.(8分)暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出两种暑期优惠活动方案．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．
设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．
（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；
（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；
（3）学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．








24. (7分)如图，已知一次函数=x-1的图象与反比例函数=(x＞0)的图象相交于点A（3，m），与y轴交于点B.
（1）求m和k的值；
（2）设点P（x,y）(x＞3)是反比例函数图象上的一点，过点P作直线PC⊥x轴于点C,交=x-1的图象于点D，连接BP，OA，若,求点P的坐标.
O
B
C
P
A
D
x
y








25. (9分)某商店销售一种商品，经市场调查发现，该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如下表:
售价x(元/件)
50
60
80
周销售量y(件)
100
80
40
周销售利润w(元)
1000
1600
1600
注:周销售利润=周销售量×(售价-进价).
(1)①求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围);
②该商品进价是　　　　元/件;当售价是　　　　元/件时，周销售利润最大，最大利润是　　　　元; 
(2)由于某种原因，该商品进价提高了m元/件(m>0)，物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若周销售最大利润是1400元，求m的值.
26. (10分)如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两顶点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上，且OA=4,OC=6,点O为原点，将矩形OABC绕O点顺时针旋转45°后停止.
（1）求矩形OABC在整个旋转过程中所扫过的面积；
W
O
x
y
A
B
C图2

图1


O
x
y
A
B
C
N
图2
（2）如图2，在旋转过程中，是否存在某一位置，使得BC边与x轴的交点N恰好是BC的中点，若存在，求出此时点A的坐标；若不存在，请说明理由.









27．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E，点F在AC的延长线上，且∠CBF＝∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB＝5，sin∠BAD＝，求AD和CF的长；






28．（12分）如图，抛物线的顶点为A（h，﹣1），与y轴交于点B（0，﹣），点F（2，1）为抛物线对称轴上的一个定点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）已知直线l是过点C（0，﹣3）且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P（m，n）到直线l的距离为d，求证：PF＝d；
（3）已知坐标平面内的点D（4，3），请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．

·


创新实验班数学参考答案
一、选择题（每题4分，共40分）
1. B 2. B 3.D 4. A 5. D 6. A 7.A 8. C 9.C 10.B
二、填空题（每题4分，共32分）
11.3（a2+b2）(a+b)(a-b) 12.1 13. 11 14. 25 15. 70° 16. 20
17. 或．（缺一个答案扣2分，若有错解不得分） 18. -1
三、解答题（共78分）
19．（1）① ……… 1分
（2）如图，连接MC，NC．
根据作图的过程知，在△MOC与△NOC中，
， ………3分
∴△MOC≌△NOC（SSS）， ………4分
∠AOC=∠BOC，∴OC为的平分线． ………5分
20.原式=. ........1分
===== ..........3分
在-2，-1，0，1，2中，只有当x=-2时，原分式有意义，即x只能取-2 . ...4分
当x=-2时，原式==-1 ....................................5分
21. (1)江水的流速; .......... 1分
轮船以最大航速沿江顺流航行90 km所用时间,或以最大航速逆流航行60 km所用时间 ............................2分
(2)选第一个方程：由得， ....................3分
90-3x=60+2x,x=6 ....................4分
经检验，x=6是原方程的解 ....................5分
答：江水的流速为6km/h. ..............6分
选第二个方程求解如下，参考上面步骤给分：
由得y=2.5,经检验符合原方程，于是船逆流航行的速度为602.5=24 km/h，水流速度为30-24=6 km/h。答：江水的流速为6km/h ... ... 6分
22.（1）依题意可得，在中，，，... 1分
m，m. ....................2分
在中，，，
， ................... 4分
................... 5分
答：天线的高度为( )m． .............. 6分
23.（1）∵y1＝k1x+b过点（0，30），（10，180），代入得：b=30,10k1+ b=180,
..............1分
解得b=30, k1＝15. ..............2分
其中k1＝15表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元， ..............3分
b＝30表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元；.......4分
（2）由题意可得，打折前的每次健身费用为15÷0.6＝25（元），..........5分
则k2＝25×0.8＝20； ..........6分
（3）选择方案一所需费用更少． 理由如下： ..........7分
由题意可知，y1＝15x+30，y2＝20x．
当健身8次时，选择方案一所需费用：y1＝15×8+30＝150（元）.
选择方案二所需费用：y2＝20×8＝160（元），
∵150＜160，∴选择方案一所需费用更少 ．..........8分
24.(1)将A（3，m）代入=x-1中得，m=2, …………………1分
将A（3，2）代入=中得，k=6; …………………………2分
（2）设P(a,),D(a,a-1),则PD=a-1-, ………………………………………3分
∵,B(0,-1)
∴ a(a-1-)=2 ………………………………………5分
解得： a=-3(舍)，或a=4 ………………………………………6分
∴ P(4,) ………………………7分
25.(1)①设y与x的函数关系式为y=kx+b，依题意，有 …………………1分
解得 ∴y与x的函数关系式是y=-2x+200. …………………2分
②40，70，1800. …………………5分
(2)依题意有，w=(-2x+200)(x-40-m)=-2x2+(2m+280)x-8000-200m=-2（x-）2+m2-60m+1800. …………………7分
∵m>0，∴对称轴x=>70，∵-2<0， x≤65，∴w随x的增大而增大，∴当x=65时，w有最大值(-2×65+200)(65-40-m)， ∴(-2×65+200)(65-40-m)=1400， …8分
∴m=5. …………………9分
26.（1）如图1,矩形OABC扫过区域面积是一个扇形BOB′面积与矩形OABC面积之和， ……………………………1分
OB2=52, ……………………………2分
∴S＝×52+24＝+24 ……………………………3分

O
x
y
A
B
C
N
M
图2

O
x
y
A
B
C
B′
图1










(2)存在.理由如下： ………………………………………………4分
过点A作AM⊥y轴于点M.
∵∠MON=∠AOC=90°, ∠MON-∠AON=∠AOC-∠AON,∴∠AOM=∠NOC …………5分
又∵∠AMO=∠NCO=90°,∴△OAM∽△ONC
∴ …………6分
∵OA=4,OC=6, N恰好是BC的中点,CN=2,∴ON= ……7分
∴OM=, AM= …………… 9分
∴存在点A( ，) ………………………10分
27．（1）连接AE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，AE⊥BC, ……………1分
∵AB＝AC，∴∠BAE＝∠CAB， ……………2分
∵∠CBF＝∠CAB，∴∠BAE＝∠CBF， ……………3分
∵∠BAE+∠CBA＝90°，∴∠CBF+∠CBA＝90°，AB⊥BF，∴直线BF是⊙O的切线；
……………4分（2）连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°， ……5分
sin∠BAD＝＝，即＝，解得，BD＝4，
由勾股定理得，AD＝＝＝3；……6分
∵AC=AB=5, ∴CD=AC-AD=2, ……7分
∵∠BAD+∠DBA＝∠DBF+∠DBA＝90°, ∴∠BAD＝∠DBF,
∴sin∠BAD＝sin∠DBF＝, ………………8分
设DF=4m,BF=5m,则BD=3m=4，m=, ………………9分
DF=, CF=-2=. ………………10分
28.（1）由题意抛物线的顶点A（2，﹣1），设抛物线为y＝a（x﹣2）2﹣1，……1分∵抛物线经过B（0，﹣），∴﹣＝4a﹣1，∴a＝， …………2分
∴抛物线为y＝（x﹣2）2﹣1=x2﹣x﹣． …………3分
（2）∵P（m，n），∴n＝m2﹣m﹣，∴P（m，m2﹣m﹣），∴d＝m2﹣m﹣﹣（﹣3）＝m2﹣m+， …………4分
∵F（2，1），∴PF＝
＝， …………6分
∴d2＝m4﹣m3+m2﹣m+，PF2＝m4﹣m3+m2﹣m+，…………7分
∴d2＝PF2，∴PF＝d． ………………8分
（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．
∵△DFQ的周长＝DF+DQ+FQ，DF＝＝2，∴DF是定值，∴当DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小， ………………9分
由（2）可知QF＝QH，∴DQ+QF＝DQ+QH，根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ+QH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上，∴DQ+QH的最小值为DN=6，∴△DFQ周长的最小值为2+6， ………………11分
此时Q（4，﹣）. ………………12分