小学数学五年级竞赛辅导第 8 讲 牛吃草（含答案）

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第 8 讲 牛吃草1. 现有一片草场，原有青草总量 2 吨，草每天新生长 50 千克，现有一群羊，每头羊的日食量为 25 千克，若要 20 天吃光草场，需要多少头羊? 解：20天内新长出来的草有50×20=1000千克，一共有2000+1000=3000千克。每头羊日食量为25千克，20天吃25×20=500千克。所以需要3000÷500=6（头羊）。 2. 有一牧场长满牧草，每天牧草匀速生长，设每头牛每天的吃草量为1. 假如放牧 18 头牛，则 30 天内牧草全部吃完；假如放牧 24 头牛，则 20 天内牧草将被全部吃完. 那么该牧场 1 天内生长的牧草量是________.该牧场现有的牧草量是________.
解：由每头牛每天的吃草量为1. 放牧 18 头牛，则 30 天内牧草全部吃完，那么牧场原来所有的草与30天新长出来的草的量的和为18×30=540.放牧 24 头牛，则 20 天内牧草将被全部吃完.那么牧场原来所有的草与20天新长出来的草的量的和为24×20=480.所以草场10天新长出来的草为540–480=60，于是草场1天新长出来的草的量为6，草场原来的草的量为540–30×6=360. 3. 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供 25 头牛吃 4 天，或可供 16 头牛吃 6 天，那么可供多少头牛吃 12 天? 解：假设每头牛一天的吃草量为1，草场每天在减少。那么原来草场上的草与4天减少的量的差为25×4=100，原来草场上的草量与6天减少的量的差为16×6=96.所以2天减少的量为4，即每天减少的量为2，原来所有的草量为100+4×2=108.如果吃12天，那么可以供给牛吃的草量为108–12×2=84.牛的头数为84÷12=7（头）。 4. 学校有一片均匀生长的草地，可以供 18 头牛吃 40 天，或者供 12 头牛与 36 只羊吃 25天，如果 1 头牛每天的吃草量相当于 3 只羊每天的吃草量.请问:这片草地让 17 头牛与________只羊一起吃，刚好 16 天吃完.
解：设1头牛1天吃的草量为1，由题意，草地上原来的草量加上40天新长出来的草量的和为18×40=720，草地上原来的草量加上25天新长出来的草量的和为12×25+36÷3×25=600，于是草场一天新长出来的草量为(720–600)÷(40–25)=8.草场原来的量为720–8×40=400.这草场原来的草在16天中可以供400÷16=25（头牛）。加上分出去吃新长出来的草的8头牛，一共需要25+8=33头牛。现在已有17头牛，则需要(33–17)×3=48（头羊）. 5. 现在有牛、羊、马吃一块草地的草，牛、马吃需要 45 天吃完，马、羊吃需要 60 天吃完，牛、羊吃需要 90 天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，那么马、牛、羊一起吃，需________天. 解：牛羊一起吃需90天，则马也能吃90天，马和牛一起吃需45天，对比一下,发现牛45天吃的草=马45天吃的草–45天长的草 ( 马也能吃90天,马和牛吃45天，前者草长了90天,后者草长了45天) 牛1天吃的草=马1天吃的草–1天长的草 牛1天吃的草+1天长的草=马1天吃的草，牛羊每天吃草量和=马每天吃量,对比一下，发现羊吃1天=1天长的草 牛羊吃90天，设羊吃长的草，则如果草不长牛吃90天，同理如果草不长马吃60天, 则如果草不长马和牛吃  1/(1/60+1/90)=36天，马牛羊吃36天，因为有羊吃长的草，  解2：设牛每天吃x，羊每天吃y，则马每天吃x+y。设草地为1，每天增长为z。则有：45(2x+y)＝1 + 45z， 60(x+2y)＝1 + 60z ，90(x+y)＝1 + 90z。解方程就行了。③–①得到y＝z，所以x＝1／90，y＝z＝1/60–1/90＝1/180，牛马羊一起吃：2x+2y＝1/30。 t/30 = 1 + t/180， t＝36天。 解3：条件如下：1、牛、马45天吃了原来和45天新长的2、马、羊60天吃了原来和60天新长的3、牛、羊90天吃了原来和90天新长的由条件1可知牛、马90天吃了原来的2份和90天新长的，余条件3比较知，(牛、马)–(牛、羊) 90天吃了原来的草，即牛90天吃了原有的草；再看条件3可知，羊90天吃了90天里新长的草。于是羊一天吃了一天中新长出来的草；由条件2，知道马、羊60天吃了原来和60天新长的，即马60天吃了原有的草；牛、羊、马一起吃时就让羊吃新长的草，牛、马一起吃原有的草。所需时间为:1除以90分之1加60分之1的和，是36式子是1÷(=36(天)。 6. 如图所示，一块正方形草地被分为完全相同的四块以及中间的阴影部分．已知草一开始是均匀分布，且以恒定的速度均匀生长．但如果某块地上的草被吃光，就不再生长(因为草根也被吃掉了)．老农先带着一群牛在 1 号草地上吃草，两天后把 1 号草地上的草全部吃完(这期间其他草地的草正常生长) ．之后他让一半牛在 2 号草地上吃草，另一半在 3 号草地上吃草，结果又过了 6 天，这两个草地上的草也全部吃完．最后，老农把的牛放在阴影草地上吃草，而剩下的牛放在 4 号草地上，最后发现两块草地上的草同时吃完．如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草，那么吃完这些草需要________天解：在这道题中我们不必像别的牛吃草问题中把每头牛吃的草量看作一份，可以把整群牛每天吃的草量看作1份。然后按照一般牛吃草问题，重点考虑某段时间内牛吃草的份数与单位草场上原有草及每天新长出草的关系。设1、2、3、4每块草地上原有的草量为x，每块草地上每天新生草量为y，则x+2y=2，  2x+16y=6，解得，由条件知道中间阴影部分的面积等于原来小长方形面积的，总面积为4+，原有草量为，新生草量为每天，牛群的吃新生长的草，剩下吃原来的草，需要用110天。  解2. 由"老农带着一群牛先在①号草地上吃草，两天之后把①号草地的草吃光。"可得：
    ①号地原有草量+①号地每天新长草量×2=1份×2
    由"让一半牛在②号草地，一半牛在③号草地吃草，6天之后又将两个草地的草吃光"可理解为一群牛在2倍于①号的草地上吃6天，而这2倍的①号草地上的草已经长了8天，因此得：
    ①号地原有草量×2+①号地每天新长草量×2×（2+6）=1份×6所以新长草的速度为（6–2）÷（6+2-2）=1/3 份/天
    即每块地的长草速度为1/3÷2=1/6 份/天
    所以原有草量为2–1/6×2=5/3份接着考虑阴影面积与第三块地的面积之间的关系。由条件"老农把3/5的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外2/5的牛放在④号草地吃草结果发现它们同时把草场上的草吃完"
    可得：④号也就是①号的面积是阴影面积的1.5倍，因此整个正方形的面积可看作①号的5.5倍。因此，求最后结果可以列式为：5/3 ×5.5÷（1–1/6 ×5.5）=110（天）。  解释一下上式：5/3 ×5.5表示整个草地原有的草量，1/6 ×5.5表示整个草地每天新长草量，（1–1/6 ×5.5）表示这群牛每天吃掉多少的原有草量，最后除得共需110天。 解法三：
    分析:把草地分为5部分,其中1号～4号面积相同,5号为阴影部分；假设1号～4号草地,每块面积为a，生长速度为v；则1号草地2天吃完,草总量为a+2v；
    2号和3号草地,接着6天吃完,草总量为2a+16v；
    6天吃完的草总量应为2天吃完草总量的3倍,即:3(a+2v)=2a+16v，可得a=10v,牛群每天吃草6v；又:3/5的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外2/5的牛放在4号草地吃草，它们同时把草场上的草吃完，
    说明阴影部分为4号草地的1.5倍；相当于整个草地面积为5.5a(即55v),每天长草5.5v，    于是,草可吃55v/(6v–5.5v)=110天 7. 食品厂开工前运进一批面粉，开工后每天运进相同数量的面粉，如果派 5 个工人加工食品 30 天可以把面粉用完，如果派 4 个工人，40 天可以把面粉用完，现在派 4 名工人加工了 30 天后，又增加了 2 名工人一起干，还需要几天加工完?解：设开工前有面粉A，每天运进面粉m，每人每天加工用面粉n；现在派4人加工30天，又增加2人一起干，还要x天才能加工完。5×30×n=A+30×m……①，4×40×n=A+40×m……②，4×30×n+(4+2)×x×n=A+(30+x)×m……③解由①②组成的方程组得得 m=n，A=120n，代入③解得 x=6
答：还要6天才能加工完。