【通用版】专题八 空间向量——2023届高考数学一轮复习夯基固本时时练

这是一份【通用版】专题八 空间向量——2023届高考数学一轮复习夯基固本时时练，共14页。试卷主要包含了向量，，若，且，则的值为，设，向量，，，且，，则的值为，如图，在直三棱柱中，，，，等内容，欢迎下载使用。
【通用版】专题八 空间向量——2023届高考数学一轮复习夯基固本时时练1.向量，，若，且，则的值为(   )A.-1 B.1 C.-4 D.42.在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若，，，则用基底表示向量为(   )

A.  B.
C.  D.3.设，向量，，，且，，则的值为(   )A.-1 B.1 C.2 D.34.如图，某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且，点M是SA的中点，则异面直线AB与CM所成角的余弦值是(   )A. B. C. D.5.如图，点为矩形所在平面外一点，平面为线段的中点，，则点到平面的距离为(   )A. B. C. D.6.如图，已知E，F分别是棱长为1的正方体的棱BC，的中点，则截面与底面ABCD所成的锐二面角的正弦值为(   )

A. B. C. D.7.三棱柱的侧棱与底面垂直，，，N是BC的中点，点P在上，且满足，当直线PN与平面ABC所成的角取最大值时，的值为(   )

A. B. C. D.8.如图，在直三棱柱中，，，，.若在线段AB上存在点D，使得平面，则点D满足(   )A. B. C. D.9.如图，在正三棱柱中，，，D为BC的中点，E为上的点，且，当二面角的余弦值为时，实数m的值为(   )

A.1 B.2 C. D.310.已知空间向量，设与垂直，，则_______________.11.正三棱柱的所有棱长都相等，则与平面所成角的余弦值为__________________.12.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖曘.如图，在鳖曘中，平面ABC，，M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为____________.
 13.如图所示，已知四棱锥中，底面ABCD是菱形，且平面ABCD，，点F为PC的中点，则二面角的正切值为_______.
 14.如图，在棱柱中，平面ABCD，四边形ABCD是菱形，，点N为AD的中点，且.(1)设M是线段上一点，且.试问：是否存在点M，使得直线平面MNC？若存在，请证明平面MNC，并求出的值；若不存在，请说明理由；(2)求二面角的余弦值.15.如图，在四棱台中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，.（1）当时，证明：平面平面ABCD；（2）若二面角的大小为30°，求的值.
答案以及解析1.答案：C解析：，，解得.由，得，解得，，故选C.2.答案：C解析：连接BD，E为PD的中点，.故选C.3.答案：A解析：，，解得，又，，解得，则，故选A.4.答案：C解析：以过点O且垂直于平面SAC的直线为x轴，直线OC，OS分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，则根据题意可得，，，，所以，，设异面直线AB与CM所成角为，则.故选：C.5.答案：B解析：如图，以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，.设平面的一个法向量为，则即令，则.点到平面的距离.6.答案：C解析：以D为坐标原点，以DA，DC， 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，.
设平面的法向量为，则，即，
取，则为平面的一个法向量.又平面ABCD的一个法向量为，，.7.答案：A解析：以A为坐标原点，AB，AC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.

则，，，易知为平面ABC的一个法向量，设直线PN与平面ABC所成的角为，则，又，当时，，此时角取得最大值.故选A.8.答案：B解析：，，，，，在直三棱柱中，AC，BC，两两垂直.以C为原点，CA，CB，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，.设点，则，设平面的一个法向量为，则即令，则.若平面，则，易得，所以①.由D在AB上，得，即②，由①②可得，，即D为AB的中点，故.9.答案：A解析：由题意知，如图所示，过点A在平面ABC内作，则以A为原点，以Ax，AC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则，，，因此，.
设平面ADE的一个法向量为，则即令，得，，所以，取平面ADC的一个法向量，由二面角的余弦值为，得，解得，又，所以.故选A.
 10.答案：0°解析：，化简得.又，，，，.11.答案：解析：设三棱柱的棱长为1，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，则，平面的一个法向量为.设与平面所成角为，则.12.答案：解析：易知，，，故以B为坐标原点，BA，BC所在直线分别为x轴，y轴，过点B且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，由M为PC的中点可得，则，，.
设为平面MBA的一个法向量，
则即
令，则，所以，所以点P到平面MAB的距离.13.答案：解析：如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF.以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.

设，则，所以，，，，，易知为平面BDF的一个法向量.设平面BCF的法向量为.，，则，令，可得平面BCF的一个法向量为，所以，，所以.故二面角的正切值为.14.解析：(1)取的中点P，连接CP交于点M，点M即为所求.证明：连接PN，因为N是AD的中点，P是的中点，所以，又平面MNC，平面MNC，所以直线平面MNC.因为，所以.所以.(2)连接AC.由(1)知.又平面ABCD，所以平面ABCD.因为，四边形ABCD是菱形，所以为正三角形，所以.以N为坐标原点，NC，ND，NP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.又，所以，所以点，则.设平面的法向量，则即令，得.设平面的法向量，则即令，得，所以，由图易得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.15.解析：（1）设四棱台的侧棱交于点P，连接BD交AC于点O，因为四边形ABCD是正方形，所以O为BD的中点，因为，，所以为PB的中点，连接，所以.因为平面ABCD，所以平面ABCD，因为平面，所以平面平面ABCD.（2）由题可以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，所以，，，，，所以，，.设平面的法向量为，则，即，得，令，则，所以为平面的一个法向量.设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以为平面的一个法向量.因为二面角的大小为30°，所以，整理得，得，因为，所以.