2022届河南省郑州市高中毕业班第三次质量预测（三模）文科数学试题及答案

郑州市2022年高中毕业年级第三次质量预测

文科数学试题卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则（    ）

A．     B．     C．     D．

2．已知复数，则（    ）

A．     B．     C．     D．

3．设为数列的前n项和，“是递增数列”是“是递增数列”的（    ）

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件     C．充要条件     D．既不充分也不必要条件

4．2022年2月28日，国家统计局发布了我国2021年国民经济和社会发展统计公报，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门沉着应对百年变局和世纪疫情，构建新发展格局，实现了“十四五”良好开局．2021年，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合如下统计图表，下列说法中错误的是（    ）

A．2017-2021年全国居民人均可支配收人逐年递增

B．2021年全国居民人均消费支出构成中教育文化娱乐占比高于医疗保健占比

C．2020年全国居民人均可支配收入较前一年下降

D．2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过50%

5．已知实数x，y满足则的最小值是（    ）

A．     B．4     C．6     D．8

6．已知，则（    ）

A．     B．     C．     D．

7．在区间上的最小值是（    ）

A．     B．1     C．     D．

8．关于函数，有下述四个结论：

①的一个周期为；          ②的图象关于直线对称；

③的一个零点为；     ④在上单调递增．

其中所有正确结论的编号是（    ）

A．①③     B．①④     C．②③     D．③④

9．鲁班锁起源于中国古代建筑的榨卯结构．这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装，如图（1），这是一种常见的鲁班锁玩具，图（2）是该鲁班锁玩具的直观图．已知该鲁班锁玩具每条棱的长均为1，则该鲁班锁玩具的表面积为（    ）

A．     B．     C．     D．

10．已知是定义在R上的偶函数，且．若，则（    ）

A．     B．0     C．2     D．4

11．斜率为1的直线l与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（    ）

A．2     B．     C．     D．

12．已知，则它们的大小关系正确的是（    ）

A．     B．     C．     D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量，且，则________．

14．若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为________．

15．设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若，则_________．

16．已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为，则球心O到平面的距离为___________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：60分

17．（本小题满分12分）

已知数列满足，其中为的前n项和，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和．

18．（本小题满分12分）

新郑大枣又名鸡心枣，是河南省郑州市新郑的特产，其以皮薄、肉厚、核小、味甜备受人们青睐，素有“新郑大枣甜似蜜”的盛赞，大枣根据颗粒、质地、色泽、甜度等评分指标打分，得分在区间内分别被评定为四级大枣、三级大枣、二级大枣、一级大枣．某经销商从新郑市大枣种植户中收购一批大枣，共400袋（每袋），并随机抽取20袋分别进行检测评级，得分数据的频率分布直方图如图所示：

（Ⅰ）求a的值，并用样本估计，该经销商采购的这批大枣中，一级大枣和二级大枣的总量能否达到采购总量一半以上；

（Ⅱ）该经销商计划在下面两个方案中选择一个作为销售方案：

方案1：将采购的400袋大枣不经检测，统一按每袋60元直接售出；

方案2：将采购的400袋大枣逐袋检测分级，并将每袋大枣重新包装成5包（每包），检测分级所需费用和人工费共1600元，各等级大枣每包的售价和包装材料成本如下表所示：

该经销商采用哪种销售方案所得利润更大？通过计算说明理由．

19．（本小题满分12分）

如图，在三棱柱中，．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求点到平面的距离，

20．（本小题满分12分）

已知点M为直线上的动点，，过M作直线的垂线，交的中垂线于点P，记点P的轨迹为C．

（Ⅰ）求曲线C的方程影；

（Ⅱ）设过点的直线与曲线C交于A，B两点，在x轴上求一定点Q（Q异于点N且异于点，使N到直线和的距离相等．

21．（本小题满分12分）

已知函数．

（Ⅰ）当时，若曲线的一条切线斜率为4，求该切线方程；

（Ⅱ）试讨论的零点个数．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．【选修：坐标系与参数方程】（10分）

在直角坐标系中，曲线的方程为．P为曲线上一动点，且，点Q的轨迹为曲线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；

（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，点M为曲线上一动点，求最大值．

23．【选修：不等式选讲】（10分）

已知函数，

（Ⅰ）若，求不等式的解集；

（Ⅱ）若时，函数的图象与直线所围成图形的面积为，求实数a的值．

郑州市2022年高中毕业年级第三次质量预测

数学（文科）  评分参考

一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分）

1． D  2．A  3．D  4．C  5．A  6．C  7．B  8．A  9．A  10．C  11．D  12．B

二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）

13．4；   14．；     15．；    16．．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．解析：（1），，

当时，可得．

当时，，则，即，且．

故是以1为首项，2为公比的等比数列                 4（分）

所以                              6（分）

（2）由题意，所以，            8（分）

所以     12（分）

18. （本小题满分12分）

（1）∵，∴．

∵，

∴估计经销商采购的这批大枣中，一级大枣和二级大枣的总量能够达到采购总量的一半以上．   4（分）

（2）若经销商采用方案1，则收入为元．

若经销商采用方案2，

400袋大枣中四级大枣约袋，包，

三级大枣约袋，包，

二级大枣约袋，包，

一级大枣约袋，包，

400袋大枣共卖元，

400袋大枣的包装袋成本为元，

∴收入为元．

∵，且400袋大枣成本相同，

∴该经销商采用方案2所得利润更大              12（分）

19．（本小题满分12分）

 （1）在中，，，，

∴，

∴，，∴                  2（分）

又，，，

∴，∴，                   4（分）

又，，

∴平面ABC                          6（分）

（2）求点到平面的距离等于求点到平面的距离．设点到平面的距离为，由（1）平面ABC知，

,即,，

点到平面的距离为              12（分）

20．（1）由已知可得，|PN|＝|PM|，

即点P到定点N的距离等于它到直线l1的距离，故点P的轨迹是以N为焦点，l1为准线的抛物线，∴曲线C的方程为y2＝4x                       4（分）

（2）设直线的方程为，

所以联立方程得，

设，

所以，                 6（分）

设，因为到直线和的距离相等，

所以直线和的斜率满足，

由（1）得，

所以，

所以，                      8（分）

因为，

所以                 10（分）

当，，即存在使得到直线和的距离相等．

当，满足到直线和的距离相等．

故存在存在使得到直线和的距离相等                 12（分）

21．（1）当时，，求导

设切点为，由解得 ，又，则切点为．

所求切线方程为                    4（分）

（2）的定义域为，

①当时，即时，，单增，至多有一个零点，

又，故有1个零点；               6（分）

②当时，即时，时，，单减；时，，单增．

有极小值也是最小值           8（分）

令，则在上单增，在上单减，又，

或时，                            10（分）

（ⅰ）时，,有1个零点；

（ⅱ）时，，，

，有2个零点;

（ ⅲ ）时，，

，有2个零点．

   12（分）

（二）选考题：共分．请考生在、题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修：坐标系与参数方程]（10分）

解：（1）由题意可知：曲线的方程为：，

曲线的极坐标方程为              2分

设点的极坐标为，则，

点的极坐标为，由得

所以点轨迹曲线的极坐标方程为              5分

（2）曲线直角坐标方程为，设点，

曲线的直角坐标方程为，设圆心为，

，

当时，，所以              10分

23．[选修：不等式选讲]（10分）

解：（1）当时，

或或

即或或，

所以原不等式的解集为                      5分

（2）

的图象如图所示，，，，

所以△的面积为．

解得：                                 10分