2021-2022学年湖南省长沙市某校高二（下）3月联考数学试卷

这是一份2021-2022学年湖南省长沙市某校高二（下）3月联考数学试卷，共8页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 等比数列2，4，…的第6项为（ ）
A.32B.64C.78D.128

2. 函数fx=x3−3x2+1x∈−1,4的最小值为（ ）
A.−3B.1C.3D.17

3. 已知函数fx的导数为f′x，若fx=x3+3f′1x2+2x，则f′2=（ ）
A.26B.12C.8D.2

4. 已知数列an满足a1=2,an+1−an=1nn+1，则a10=（ ）
A.238B.289C.2910D.3211

5. 已知函数fx=ax+1x在点1,f1处的切线与直线x−2y+1=0垂直，则a=（ ）
A.−2B.−1C.2D.3

6. 设等差数列an的前n项和为Sn，若S7=2S11，则a6a4=（ ）
A.217B.32C.722D.14

7. 已知集合M=1,2,3,4,5，从M的至少含有两个元素的所有子集中任取一个集合，记为S，则S中的元素恰好为连续整数的概率为（ ）
A.513B.213C.516D.18

8. 已知直线y=−2x+m与函数y=fx的图象相切，则函数fx不可能是（ ）
A.fx=1xB.fx=3x4
C.fx=ex2x−1x−1D.fx=xex
二、多选题

对于x−110的二项展开式，下列说法正确的有（ ）
A.二项展开式共有11个不同的项
B.二项展开式的第5项为−C105x5
C.二项展开式的各项系数之和为0
D.二项展开式中系数最大的项为第6项

已知数列an的前n项和为Sn=n2−3n，则（ ）
A.a1=−2
B.数列an是单调递增数列
C.数列an是公差为1的等差数列
D.Sn的最小值为−94

已知函数fx=lnxx，则（ ）
A.fx的极值点为e,1eB.fx的极大值为1e
C.fx的最大值为1eD.fx只有1个零点

已知e为自然对数的底数，函数fx=ex,gx=kx+bk,b∈R，则下列结论正确的有（ ）
A.若曲线y=fx与y=gx相切于点1,f1，则k=e,b=0
B.若k=1,b=−1，则曲线y=fx与y=gx相切
C.若k=b=1，则fx≥gx恒成立
D.若k+b=0，且y=fx−gx的最小值为0，则k=e2
三、填空题

函数fx=x−lnx的单调递减区间为________.

某学校派出4名学生和2名老师参加一个活动，活动结束后他们准备站成一排拍照留念，则2名老师相邻的不同排法有________种．（用数字作答）

在1+2x+y10的展开式中，（1）不含x的所有项的系数之和为________；（2）x2y6的系数为________．（用数字作答）
四、解答题

某人每月15日发工资，2022年1月15日发工资后，他随即从工资中拿出1000元存入银行，以后每月领工资后，都于当天在工资中拿出1000元存入银行．若银行存款月利率为0.002，那么按照复利，一年后他可以从银行取出本息共________元．（精确到1元）

已知二项式ax−1x8(a∈R为常数）．
(1)当a=1时，求ax−1x8的二项展开式中的常数项；

(2)若ax−1x8的二项展开式中第六项的系数为7，求实数a的值．

第24届冬季奥运会于2022年2月4日至2月20日在北京举行，中国运动员通过顽强拼搏，获得了9枚金牌，列金牌榜第三名，为祖国争得了荣誉，也创造了冬奥会上新的辉煌．假设冬奥会上某项比赛共有包括中国队在内的6个国家代表队参加决赛，且每个代表队只有1名队员参赛．比赛时按预先编排的顺序依次出场，根据比赛成绩确定前三名，分别获得金牌、银牌和铜牌．
(1)决赛时共有多少种不同的出场顺序？
(2)中国队不是第一个出场的比赛顺序有多少种？
(3)若每名参赛队员获得奖牌的可能性相等，求中国队获得奖牌的概率．

如图，城市A正东的B地有一大型企业，A，B之间有一条100公里的普通公路相连．为了发展当地经济，减轻城市交通压力，经过C地新修了一条高速公路，且在C地设置了高速出口，现准备在A，B之间选择一点D（D不与A，B两点重合）修建一条公路CD，并同时将DB段普通公路进行提质．若CA⊥AB，且CA=40公里，公路CD的建造费用为每公里40万元，DB段公路的提质费用为每公里24万元，设AD=xx≥20公里，且公路AB，CD均为线段．
(1)求公路CD与DB的费用之和y关于x的函数关系式；
(2)如何选择点D的位置，可以使总费用y最小，并求出其最小值．

已知数列an的前n项和为Sn，且a1=1,Sn=2+λan−1(n≥2，λ为常数）．
(1)若a1,a2,a3成等差数列，求λ的值；
(2)若λ=4,bn=an+1−2an，求证：数列bn为等比数列，并求数列an的通项公式．

已知n，k∈N*，且k≤n，数列ak的通项公式为ak=k⋅Cnk.
(1)当n=6时，求a2+a5的值；
(2)求数列ak的前n项和Sn；
(3)若数列Sn的前n项和为Tn，求Tn.

已知函数fx=ex,gx=sinx.
(1)讨论函数Fx=fxgx的单调性；
(2)设函数Gx=fx+gx−axa∈R，若Gx在[−π2,+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2021-2022学年湖南省长沙市某校高二（下）3月联考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
等比数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】等比数列2，4，…的第6项为 2×26−1=26=64．故选：B．
2.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】因为f′x=3x2−6x=3xx−2，
所以fx在[−1,0）上为增函数，在0,2上为减函数，在（2,4]上为增函数，
所以fx在x=0时有极大值，在x=2时有极小值，
因为f−1=−3,f2=−3，
所以fx在−1,4上的最小值为−3．
故选：A．
3.
【答案】
D
【考点】
函数的求值
导数的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】因为f′(x)=3x2+6f′(1)x+2，
所以 f′1=3×12+6f′1×1+2，解得 f′1=−1，
所以 f′x=3x2−6x+2，
故f′2=3×4−6×2+2=2．
故选：D．
4.
【答案】
C
【考点】
数列递推式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】因为an=an−an−1+an−1−an−2+⋯+a2−a1+a1
=1nn−1+1n−1n−2+⋯+12×1+2
=3−1n，
所以a10=3−110=2910．
故选：C．
5.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】因为 f′x=a−1x2，
所以 f′1=a−1，又f1=a+1，
所以切线方程为 y−a+1=a−1x−1，
又因为切线与直线x−2y+1=0 垂直，
所以a−1×12=−1，解得 a=−1．
故选：B．
6.
【答案】
C
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】由 S7=2S11，得7a1+a72=2×11a1+a112，即 7a4=22a6，
所以a6a4=722.
故选：C．
7.
【答案】
A
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】因为集合M的所有至少含有两个元素的子集个数为C52+C53+C54+C55=26，
其中连续整数有1,2，2,3,3,4,4,5,1,2,3,
2,3,4,3,4,5,1,2,3,4,2,3,45,(1,2,3,4,5) ，共10种情形，
所以所求概率为P=1026=513．
故选：A．
8.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】对于A，因为f′x=−1x2，且−1x2=−2有解，所以A有可能；
对于B，因为f′x=43x13，且43x13=−2有解，所以B有可能；
对于C，因为f′x=ex⋅x2x−3x−12，
记hx=f′x+2,hx在0,12上连续，且h0=2>0,h12=−4e12+2<0，
故由零点存在性定理可知hx在0,12上有零点，即 f′x=−2在0,12 上有解，
所以 f′x=−2有解，所以C有可能；
对于D，因为 f′x=ex1+x，令 gx=ex1+x，则g′x=exx+2，
所以当x<−2时，gx为减函数，当x>−2时，gx为增函数，
所以 x=−2时，gx有最小值 g−2=−1e2>−2，
所以 gx>−2，即 f′x=−2无解，所以D不可能．
故选：D．
二、多选题
【答案】
A,C
【考点】
二项式系数的性质
二项展开式的特定项与特定系数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】由二项式定理，可知A正确；
因为x−110的二项展开式的第5项为 T5=T4+1=C104x10−4(−1)4=C104x6，所以B不正确；
令 x=1，可得x−110的二项展开式的各项系数之和为0，所以C正确；
因为x−110的二项展开式中第6的系数为负，所以D不正确．
故选：AC．
【答案】
A,B
【考点】
等差数列的通项公式
数列递推式
数列的函数特性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】因为a1=S1=−2，所以A正确；
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n−4，又a1=−2满足此式，所以an−an−1=2，
故数列an是公差为2的等差数列，所以B正确，C不正确；
因为Sn=n2−3n=n−322−94，且n∈N*，
所以当n=1 或 n=2时，Sn有最小值−2，所以D不正确．
故选：AB．
【答案】
B,C,D
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的最值
利用导数研究与函数零点有关的问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】因为 f′x=1−lnxx2，且 x>0，所以当0当x>e时，fx为减函数，所以e为函数fx的极大值点，
fe=1e为fx的极大值，且为fx的最大值，所以A不正确，BC正确；
因为 f1=0，且当 01 时，fx=lnxx>0，所以D正确．
故选：BCD．
【答案】
A,C,D
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的最值
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】因为 f′x=ex,g′x=k，
对于A，e=k+b，且k=e，所以b=0，所以A正确
对于B，由 ex=1，得x=0，所以当k=1时，fx的切线方程为 y=x+1，
所以当k=1,b=−1时，fx的图象与gx的图象不相切，所以B不正确；
对于C，令 φx=fx−gx=ex−x−1，则 φ′x=ex−1，
所以 x=0时，φx有最小值 φ0=0，所以C正确；
对于D，令 φx=fx−gx=ex−kx+k，则 φ′x=ex−k，
当k≤0时，φx为增函数，没有最小值，所以 k>0，由 φ′x=0，得x=lnk，
可以证明当x=lnk时，φx有最小值 φlnk=k−klnk−1，
所以 k−klnk−1=0，因为k>0，所以lnk=2，即 k=e2，所以D正确．
故选：ACD．
三、填空题
【答案】
(0,1)
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】因为f′x=x−1x，由 f′x<0，得 x<1，又 x>0，
所以 fx的单调递减区间为0,1.
故答案为：0,1.
【答案】
240
【考点】
排列、组合的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】将2名老师看成1个元素，与其他4名学生共5个元素的全排列有 A55=120种，
又2名老师可以交换位置，所以不同的排法共有 2A55=240种．
故答案为：240.
【答案】
（1）1024；（2）5040.
【考点】
二项式系数的性质
二项展开式的特定项与特定系数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】（1）在1+2x+y10中，令 x=0,y=1，得展开式中不含x的所有项系数之和为210=1024；
（2）1+2x+y10的展开式中x2y6 的系数为C102×22C86=5040.
故答案为：（1）1024；（2）5040.
四、解答题
【答案】
12156
【考点】
函数模型的选择与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】一年后本息共10001+0.00212+1+0.00211+⋯+1+0.002
=10001+0.00213−1+，
因为1+0.00213=1+C131×0.002+C132×0.0022+C133×0.0023+⋯
≈1+0.026+0.000312=1.026312，
所以1000(1+0.002)13−(1+0.002)0.002
≈10001.026312−（元）.
故答案为：12156.
【答案】
【解析】（1）ax−1x8 的二项展开式的通项为Tr+1=C8rax8−r−1xr=−1rC8ra8−rx8−2r，
当a=1时，Tr+1=−1rC8rx8−2r，由 8−2r=0，得r=4，
所以当a=1时，二项展开式中的常数项为 T5=−14C84=70；
（2）因为ax−1x8 的二项展开式中的第六项为 T6=C85ax8−5−1x5=−C83a3x−2，
所以−C83a3=7，得a3=−18，故a=−12．
【考点】
二项展开式的特定项与特定系数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】（1）ax−1x8 的二项展开式的通项为Tr+1=C8rax8−r−1xr=−1rC8ra8−rx8−2r，
当a=1时，Tr+1=−1rC8rx8−2r，由 8−2r=0，得r=4，
所以当a=1时，二项展开式中的常数项为 T5=−14C84=70；
（2）因为ax−1x8 的二项展开式中的第六项为 T6=C85ax8−5−1x5=−C83a3x−2，
所以−C83a3=7，得a3=−18，故a=−12．
【答案】
【解析】（1）决赛时的不同出场顺序有A66=6×5×4×3×2×1=720种；
（2）第一步从中国队以外的5个人中任选1人第一个出场，有C51=5种方法，
第二步剩下的5人可以任意排列，出场顺序有 A55=120种，
所以中国队不是第一个出场的比赛顺序有5×120=600种；
（3）中国队获得奖牌，即中国队比赛进入前三名，
因为6人比赛有3人进入前三名的可能有C63=6×5×43×2×1=20种，
中国队进入前三名的可能有C52=5×42×1=10种，
所以中国队获得奖牌的概率为 P=1020=12．
【考点】
排列、组合的应用
分步乘法计数原理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】（1）决赛时的不同出场顺序有A66=6×5×4×3×2×1=720种；
（2）第一步从中国队以外的5个人中任选1人第一个出场，有C51=5种方法，
第二步剩下的5人可以任意排列，出场顺序有 A55=120种，
所以中国队不是第一个出场的比赛顺序有5×120=600种；
（3）中国队获得奖牌，即中国队比赛进入前三名，
因为6人比赛有3人进入前三名的可能有C63=6×5×43×2×1=20种，
中国队进入前三名的可能有C52=5×42×1=10种，
所以中国队获得奖牌的概率为 P=1020=12．
【答案】
【解析】（1）由已知 CD=x2+1600,DB=100−x20≤x<100，
所以 y=40x2+1600+24100−x20≤x<100；
（2）因为 y′=40xx2+1600−24，
令y′=0，得 5x=3x2+1600，即 x2=900，
因为 20≤x<100，所以 x=30，
故当D点距离城市A30公里时，总费用y最小，其最小值为3680万元．
【考点】
函数模型的选择与应用
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】（1）由已知 CD=x2+1600,DB=100−x20≤x<100，
所以 y=40x2+1600+24100−x20≤x<100；
（2）因为 y′=40xx2+1600−24，
令y′=0，得 5x=3x2+1600，即 x2=900，
因为 20≤x<100，所以 x=30，
故当D点距离城市A30公里时，总费用y最小，其最小值为3680万元．
【答案】
【解析】（1）由已知，可得a1=1,a2=S2−S1=1+λ,a3=S3−S2=λ2，
因为a1,a2,a3 成等差数列，所以21+λ=1+λ2，即λ2−2λ−1=0，
解得λ=1±2；
（2）因为λ=4,an+1=Sn+1−Sn，又当n≥2时，Sn=2+4an−1,Sn+1=2+4an，
所以an+1=4an−4an−1，
所以bnbn−1=an+1−2anan−2an−1=2an−4an−1an−2an−1=2，
所以数列bn是首项为b1=a2−2a1=3，公比为q=2的等比数列，
所以bn=3⋅2n−1，即an+1−2an=3⋅2n−1，两边除以2n−1，得an+12n−1−an2n−2=3，
所以数列an2n−2是首项为2，公差为3，所以an2n−2=2+3n−1=3n−1，
所以an=3n−1⋅2n−2 .
【考点】
数列递推式
等差数列的性质
等比数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】（1）由已知，可得a1=1,a2=S2−S1=1+λ,a3=S3−S2=λ2，
因为a1,a2,a3 成等差数列，所以21+λ=1+λ2，即λ2−2λ−1=0，
解得λ=1±2；
（2）因为λ=4,an+1=Sn+1−Sn，又当n≥2时，Sn=2+4an−1,Sn+1=2+4an，
所以an+1=4an−4an−1，
所以bnbn−1=an+1−2anan−2an−1=2an−4an−1an−2an−1=2，
所以数列bn是首项为b1=a2−2a1=3，公比为q=2的等比数列，
所以bn=3⋅2n−1，即an+1−2an=3⋅2n−1，两边除以2n−1，得an+12n−1−an2n−2=3，
所以数列an2n−2是首项为2，公差为3，所以an2n−2=2+3n−1=3n−1，
所以an=3n−1⋅2n−2 .
【答案】
【解析】（1）当n=6 时，a2+a5=2C62+5C65=30+30=60；
（2）因为 Sn=Cn1+2Cn2+3Cn3+⋯+nCnn，令fx=1+xnx∈R，
由二项式定理，可知fx=Cn0+Cn1x+Cn2x2+⋯+Cnnxn，
所以 f′x=n1+xn−1 ，且f′x=Cn1+2Cn2x+⋯+nCnnxn−1，
所以 n1+xn−1=Cn1+2Cn2x+⋯+nCnnxn−1，
令 x=1，得Cn1+2Cn2+3Cn3+⋯+nCnn=n⋅2n−1，所以 Sn=n⋅2n−1；
（3）因为Sn=n⋅2n−1，
所以 Tn=1×20+2×21+3×22+⋯+n−1×2n−2+n×2n−1 ①，
2Tn=1×21+2×22+3×23+⋯+n−1×2n−1+n×2n ②，
由①-②得−Tn=20+21+22+⋯+2n−1−n×2n
=2n−12−1−n×2n=(1−n)×2n−1，
所以 Tn=n−1×2n+1 .
【考点】
数列的求和
数列递推式
组合及组合数公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】（1）当n=6 时，a2+a5=2C62+5C65=30+30=60；
（2）因为 Sn=Cn1+2Cn2+3Cn3+⋯+nCnn，令fx=1+xnx∈R，
由二项式定理，可知fx=Cn0+Cn1x+Cn2x2+⋯+Cnnxn，
所以 f′x=n1+xn−1 ，且f′x=Cn1+2Cn2x+⋯+nCnnxn−1，
所以 n1+xn−1=Cn1+2Cn2x+⋯+nCnnxn−1，
令 x=1，得Cn1+2Cn2+3Cn3+⋯+nCnn=n⋅2n−1，所以 Sn=n⋅2n−1；
（3）因为Sn=n⋅2n−1，
所以 Tn=1×20+2×21+3×22+⋯+n−1×2n−2+n×2n−1 ①，
2Tn=1×21+2×22+3×23+⋯+n−1×2n−1+n×2n ②，
由①-②得−Tn=20+21+22+⋯+2n−1−n×2n
=2n−12−1−n×2n=(1−n)×2n−1，
所以 Tn=n−1×2n+1 .
【答案】
【解析】（1）因为 Fx=exsinx,F′x=exsinx+csx=2exsinx+π4 ，
由 F′x>0，得sinx+π4>0，解得2kπ−π4由 F′x<0，得sinx+π4<0，解得2kπ+3π4所以Fx在2kπ−π4,2kπ+3π4k∈Z上为增函数，
在2kπ+3π4,2kπ+7π4k∈Z上为减函数；
（2）因为Gx=ex+sinx−ax，所以G′x=ex+csx−a，
又 Gx在[−π2,+∞） 上为增函数，所以 G′x=ex+csx−a≥0，
即 a≤ex+csx对任意的x≥−π2恒成立，
令 hx=ex+csx，则 h′x=ex−sinx，
当−π2≤x≤0时，ex>0,sinx≤0，所以 h′x=ex−sinx>0，
当 x>0 时，ex>1,−1≤−sinx≤1，所以 h′x=ex−sinx>0，
所以当x≥−π2时，h′x>0，所以 hx在[−π2,+∞） 上为增函数，
所以 a≤h−π2=e−π2，即实数a的取值范围为a≤e−π2．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
已知函数的单调性求参数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】（1）因为 Fx=exsinx,F′x=exsinx+csx=2exsinx+π4 ，
由 F′x>0，得sinx+π4>0，解得2kπ−π4由 F′x<0，得sinx+π4<0，解得2kπ+3π4所以Fx在2kπ−π4,2kπ+3π4k∈Z上为增函数，
在2kπ+3π4,2kπ+7π4k∈Z上为减函数；
（2）因为Gx=ex+sinx−ax，所以G′x=ex+csx−a，
又 Gx在[−π2,+∞） 上为增函数，所以 G′x=ex+csx−a≥0，
即 a≤ex+csx对任意的x≥−π2恒成立，
令 hx=ex+csx，则 h′x=ex−sinx，
当−π2≤x≤0时，ex>0,sinx≤0，所以 h′x=ex−sinx>0，
当 x>0 时，ex>1,−1≤−sinx≤1，所以 h′x=ex−sinx>0，
所以当x≥−π2时，h′x>0，所以 hx在[−π2,+∞） 上为增函数，
所以 a≤h−π2=e−π2，即实数a的取值范围为a≤e−π2．