2021-2022学年河南省某校实验学校高二（下）月考数学试卷

这是一份2021-2022学年河南省某校实验学校高二（下）月考数学试卷，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 命题“∀x>0,2x−1>0”的否定为（ ）
A.∀x>0,2x−1≤0B.∀x≤0,2x−1≤0
C.∃x0>0,2x0−1≤0D.∃x0>0,2x0−1>0

2. 数列−1，14,−19,116,−125，…的一个通项公式为an=（ ）
A.−1nn2B.−1nn+12C.−1n3n−2D.−1n2n−1

3. 已知函数fx的导函数的图象如图所示，则fx的极值点的个数为（ ）

A.0B.1C.2D.3

4. 已知实数x，y满足约束条件 y≤1,x−y≤0,x≥−2, 则z=2x+y的最大值为（ ）
A.3B.−3C.−6D.6

5. 抛物线y=−14x2的焦点坐标为（ ）
A.−2,0B.0,−2C.−1,0D.0,−1

6. 某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的位移（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式lt=t3+4lnt，则当t=2s时，该运动员滑雪的瞬时速度是（ ）
A.12m/sB.13m/sC.14m/sD.16m/s

7. 已知椭圆x24+y2|m|=1的焦距为23，则m的值不可能为（ ）
A.1B.7C.−1D.7

8. 对于实数a，b，下列选项正确的是（ ）
A.若a1b
C.若a
9. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=3asinC ，B=π4， △ABC外接圆的半径为6，则c=（ ）
A.6+42B.6+22C.8+42D.8+22

10. 已知p:aA.1B.0C.−1D.2

11. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列，则a+cb的取值范围是（ ）
A.(1,2]B.(1,3]C.3,2D.[2,2）

12. 已知函数fx=2x+sinx．若flnx+ax+f−1≥0对x∈(0,2]恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A.[1,+∞）B.[2,+∞）C.1,2D.R
二、填空题

已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，若S9=81，则a3=

若正数a,b满足a+b=2，则12b+2a+1的最小值为________

已知函数fx=f′1x2−ex，则f1=

已知双曲线虚轴长的两倍是实轴长与焦距的等比中项，则该双曲线的离心率为________.
三、解答题

已知p:x2−2x+1−a2≥0a>0,q:x+1x−5<0.
(1)当x=−3时，p为真命题，求实数a的取值范围；

(2)若¬p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3c−3bcsA=bsinA.
（1）求B；

（2）若b=3,a=c+1，求c．

已知函数fx=13x3
(1)求函数gx=fx−32x2−12的极值；

(2)若函数hx=fx−13，求过点1,0且与曲线y=hx相切的直线方程．

已知数列an的前n项和为Sn，且nSn=2n−n+2an
(1)证明：数列ann是等比数列．

(2)求数列Sn的前n项和Tn

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0上一点P32,32到两焦点的距离之和为23.
(1)求椭圆C的方程．

(2)不经过点Q1,0的直线l与x轴垂直，与椭圆C交于A，B两点，若直线BQ与C的另一交点为D，问直线AD是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

已知函数fx=alnx+x2−8x+am.
（1）若a=−10，且fx在1,10上的最小值为−10ln5，求m；

（2）若fx有两个不同的极值点x1,x2(x10恒成立，求实数t的取值范围．
参考答案与试题解析
2021-2022学年河南省某校实验学校高二（下）月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
命题的否定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
全称命题的否定是特称命题．
2.
【答案】
A
【考点】
数列递推式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由题可知，数列−1，14,−19,116,−125，…的一个通项公式为an=−1nn2
3.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为在x=0左、右两边的导数值均为负数，所以0不是极值点，故由图可知fx只有2个极值点．
4.
【答案】
A
【考点】
简单线性规划
求线性目标函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
画出可行域（图略）知，当直线z=2x+y过点1,1时，z取得最大值3.
5.
【答案】
D
【考点】
抛物线的标准方程
抛物线的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
抛物线y=−14x2的标准方程为x2=−4y，所以其焦点坐标为0,−1
6.
【答案】
C
【考点】
变化的快慢与变化率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为l′t=3t2+4t，所以l′2=3×4+42=14，所以该运动员的瞬时滑雪速度是14m/s
7.
【答案】
D
【考点】
椭圆的定义和性质
椭圆的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由题知,c=3，若|m|>4，则a2=|m|,b2=4，所以|m|=7，即m=±7
若|m|<4，则a2=4,b2=|m|=1，即m=±1
8.
【答案】
C
【考点】
不等式比较两数大小
【解析】
此题暂无解析
【解答】
若a若a0,b29.
【答案】
D
【考点】
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为c=3asinC，所以sinC=3sinAsinC．
因为sinC≠0，所以sinA=13．
因为△ABC外接圆的半径为6，
所以a=2RsinA=12×13=4.
因为B=π4，所以b=2RsinB=12×22=62.
因为b>a，所以csA=223
因为sinC=sinA+B=13×22+223×22=4+26，
所以c=2RsinC=12×4+26=8+22.
10.
【答案】
C
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
一元二次方程的根的分布与系数的关系
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为方程ax2+2x+1=0有一正一负两个根，所以Δ=22−4a>0,1a<0,解得a<0
因为p是q的充分不必要条件，所以m<0,且m∈Z，故m的最大值为−1.
11.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
正弦函数的定义域和值域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为角A，B，C成等差数列，所以A+C=2B.
因为A+B+C=π，所以B=π3．
因为a+cb=sinA+sinCsinB=23sinA+sin2π3−A=2sinA+π6，
且012.
【答案】
A
【考点】
函数恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为f−x=−2x−sinx=−fx，且f′x=2+csx>0
所以fx为单调递增的奇函数．
不等式flnx+ax+f−1≥0，等价于flnx+ax≥−f−1=f1
即lnx+ax≥1在（0,2]上恒成立，则a≥x−xlnx(x∈(0,2])
设h(x)=x−xlnx(x∈(0,2])，则h′x=−lnx
当00；当1所以hx在0,1上单调递增，在（1,2]上单调递减，hxmax=h1=1，故a≥1
二、填空题
【答案】
5
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为S9=9a1+a92=9a5=81，所以a5=9．
又an的公差为2，所以a3=9−2×2=5
【答案】
32
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为a+b=2，所以12b+2a+1=13a+1+b12b+2a+1=1352+a+12b+2ba+1≥32，当且仅当a=b=1时，等号成立．
【答案】
0
【考点】
导数的运算
函数的求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为f′x=2f′1x−ex，所以f′1=e，所以fx=ex2−ex，故f1=0
【答案】
1+658
【考点】
双曲线的特性
等比数列的性质
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
依题意可得2a×2c=2b×22，即ac=4b2，即ac=4c2−a2，
所以e=4e2−1，解得e=1+658（负根舍去）．
三、解答题
【答案】
解：（1）p:x2−2x+1−a2≥0a>0，即x−1+ax−1−a≥0，
当x=−3时，p为真命题，即−4+a−4−a≥0，所以−4≤a≤4
又a>0，所以实数a的取值范围为(0,4] ．
（2）¬p:x2−2x+1−a2<0a>0，解得x∈1−a,1+a
q:x+1x−5<0，解得x∈−1,5 ．
因为¬p是q的充分不必要条件，所以1−a,1+a⊆−1,5，且1−a,1+a≠−1,5
所以1−a≥−1,1+a≤5（等号不同时成立），解得0【考点】
命题的真假判断与应用
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）p:x2−2x+1−a2≥0a>0，即x−1+ax−1−a≥0，
当x=−3时，p为真命题，即−4+a−4−a≥0，所以−4≤a≤4
又a>0，所以实数a的取值范围为(0,4] ．
（2）¬p:x2−2x+1−a2<0a>0，解得x∈1−a,1+a
q:x+1x−5<0，解得x∈−1,5 ．
因为¬p是q的充分不必要条件，所以1−a,1+a⊆−1,5，且1−a,1+a≠−1,5
所以1−a≥−1,1+a≤5（等号不同时成立），解得0【答案】
解：（1）因为3c−3bcsA=bsinA，所以3sinC−3sinBcsA=sinAsinB
即3sinAcsB+3csAsinB−3sinBcsA=sinAsinB，
化简得3sinAcsB=sinAsinB，所以tanB=3，
又因为B∈0,π，所以B=π3．
（2）因为b2=c2+a2−2accsB，
所以3=c2+c+12−2cc+1×12
整理得c2+c−2=0，解得c=1．
【考点】
同角三角函数间的基本关系
余弦定理
解三角形
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）因为3c−3bcsA=bsinA，所以3sinC−3sinBcsA=sinAsinB
即3sinAcsB+3csAsinB−3sinBcsA=sinAsinB，
化简得3sinAcsB=sinAsinB，所以tanB=3，
又因为B∈0,π，所以B=π3．
（2）因为b2=c2+a2−2accsB，
所以3=c2+c+12−2cc+1×12
整理得c2+c−2=0，解得c=1．
【答案】
解：（1）因为gx=fx−32x2−12=13x3−32x2−12，
所以g′x=x2−3x=xx−3
令g′x=0，得x=0或x=3
当x变化时，g′x,gx的变化情况如表所示．
所以gx的极大值为g0=−12，极小值为g3=−5
（2）因为hx=fx−13=13x3−13，所以h′x=x2．
设切点为x0,13x03−13，则切线方程为y−13x03−13=x02x−x0
将点1,0代人，得−13x03−13=x021−x0
整理得2x03−3x02+1=2x03−2x02−x02−1=x0−122x0+1=0
解得x0=1或x0=−12
当x0=1时，切线方程为y=x−1，即x−y−1=0．
当x0=−12时，切线方程为y−−38=14x+12，即x−4y−1=0
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
利用导数研究曲线上某点切线方程
导数的几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）因为gx=fx−32x2−12=13x3−32x2−12，
所以g′x=x2−3x=xx−3
令g′x=0，得x=0或x=3
当x变化时，g′x,gx的变化情况如表所示．
所以gx的极大值为g0=−12，极小值为g3=−5
（2）因为hx=fx−13=13x3−13，所以h′x=x2．
设切点为x0,13x03−13，则切线方程为y−13x03−13=x02x−x0
将点1,0代人，得−13x03−13=x021−x0
整理得2x03−3x02+1=2x03−2x02−x02−1=x0−122x0+1=0
解得x0=1或x0=−12
当x0=1时，切线方程为y=x−1，即x−y−1=0．
当x0=−12时，切线方程为y−−38=14x+12，即x−4y−1=0
【答案】
（1）证明：由nSn=2n−n+2an，得Sn=2−n+2nan．
当n=1时，a1=S1=2−3a1，解得a1=12，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n+1n−1an−1−n+2nan，
整理得ann=12⋅an−1n−1
故数列{ann}是以12为首项，12为公比的等比数列．
（2）解：由（1）可知，ann=12n，则an=n2n，
故Sn=2−n+22n
Tn=2n−321−422−…−n+22n，
则Tn2=n−322−423−…−n+22n+1，
则Tn2=n−(32+122+123+…+12n)+n+22n+1=n−2+n+42n+1
故Tn=2n−4+n+42n．
【考点】
等比数列
等比关系的确定
等比数列的通项公式
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）证明：由nSn=2n−n+2an，得Sn=2−n+2nan．
当n=1时，a1=S1=2−3a1，解得a1=12，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n+1n−1an−1−n+2nan，
整理得ann=12⋅an−1n−1
故数列{ann}是以12为首项，12为公比的等比数列．
（2）解：由（1）可知，ann=12n，则an=n2n，
故Sn=2−n+22n
Tn=2n−321−422−…−n+22n，
则Tn2=n−322−423−…−n+22n+1，
则Tn2=n−(32+122+123+…+12n)+n+22n+1=n−2+n+42n+1
故Tn=2n−4+n+42n．
【答案】
解：（1）由题知，a=3，把点P32,32代入椭圆C的方程，得b=1
故椭圆C的方程为x23+y2=1．
（2）由题知直线BQ的斜率不为零．
设直线BQ的方程为x=my+1m≠0,Bx1,y1,Dx2,y2,Ax1,−y1
联立方程组 x23+y2=1x=my+1,’消去x整理得m2+3y2+2my−2=0
则y1+y2=−2mm2+3,y1y2=−2m2+3 ．
直线AD的方程为y+y1=y2+y1x2−x1x−x1，
令y=0，得x=(x2−x1)y1y2+y1+x1=x1y2+x2y1y2+y1=(my1+1)y2+(my2+1)y1y2+y1=2my1y2+y1+y2y2+y1
故直线AD过定点（3,0）．
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的定义和性质
圆锥曲线中的定点与定值问题
直线恒过定点
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）由题知，a=3，把点P32,32代入椭圆C的方程，得b=1
故椭圆C的方程为x23+y2=1．
（2）由题知直线BQ的斜率不为零．
设直线BQ的方程为x=my+1m≠0,Bx1,y1,Dx2,y2,Ax1,−y1
联立方程组 x23+y2=1x=my+1,’消去x整理得m2+3y2+2my−2=0
则y1+y2=−2mm2+3,y1y2=−2m2+3 ．
直线AD的方程为y+y1=y2+y1x2−x1x−x1，
令y=0，得x=(x2−x1)y1y2+y1+x1=x1y2+x2y1y2+y1=(my1+1)y2+(my2+1)y1y2+y1=2my1y2+y1+y2y2+y1
故直线AD过定点（3,0）．
【答案】
解：（1）当a=−10时，fx=−10lnx+x2−8x−10m
则f′x=−10x+2x−8=2x+1x−5x，
所以fx在[1,5）上单调递减，在5,10上单调递增，
所以fx在1,10上的最小值为f5=−10ln5+25−40−10m=−10ln5
解得m=−32
（2）f′x=ax+2x−8=2x2−8x+ax
令gx=2x2−8x+ax>0，因为fx在0,+∞上有两个极值点，
所以gx=0在0,+∞上有两个不相等的实根x1,x2(x1则 Δ=64−8a>0g0=a>0,f′1≠0, 解得0因为0x1，所以0因为a=2x1x2=2x14−x1
所以不等式alnx11−x12−t−2x2>0，等价于2x1lnx11−x1>t−2x1+1，
即x11−x12lnx1+t−2x12−1x1>0.
当00；当1令hx=2lnx+t−2x2−1x0①当t≥2时，h′x>0,hx在0,2上为增函数，因为h1=0
所以当x∈1,2时，hx>0,x1−x2lnx+t−2x2−1x<0，故不符合题意．
②当t<2时，令px=t−2x2+2x+t−2,Δ=4−4t−22
当Δ≤0，即t≤1时，h′x≤0,hx在0,2上为减函数．
因为h1=0，所以当00,x1−x>0, 则x1−x2lnx+t−2x2−1x>0
当10
所以x1−x2lnx+t−2x2−1x>0对任意的x∈0,1∪1,2恒成立．
当Δ>0，即11
且p1=2t−2>0，令x0=min12−t,2，则当x∈1,x0时，px>0，
即h′x>0，所以hx在1,x0上为增函数．
因为h1=0，所以hx>0,x1−x2lnx+t−2x2−1x<0，故不符合题意．
综上所述，实数t的取值范围是（−∞,1].
【考点】
导数求函数的最值
利用导数研究函数的最值
函数恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）当a=−10时，fx=−10lnx+x2−8x−10m
则f′x=−10x+2x−8=2x+1x−5x，
所以fx在[1,5）上单调递减，在5,10上单调递增，
所以fx在1,10上的最小值为f5=−10ln5+25−40−10m=−10ln5
解得m=−32
（2）f′x=ax+2x−8=2x2−8x+ax
令gx=2x2−8x+ax>0，因为fx在0,+∞上有两个极值点，
所以gx=0在0,+∞上有两个不相等的实根x1,x2(x1则 Δ=64−8a>0g0=a>0,f′1≠0, 解得0因为0x1，所以0因为a=2x1x2=2x14−x1
所以不等式alnx11−x12−t−2x2>0，等价于2x1lnx11−x1>t−2x1+1，
即x11−x12lnx1+t−2x12−1x1>0.
当00；当1令hx=2lnx+t−2x2−1x0①当t≥2时，h′x>0,hx在0,2上为增函数，因为h1=0
所以当x∈1,2时，hx>0,x1−x2lnx+t−2x2−1x<0，故不符合题意．
②当t<2时，令px=t−2x2+2x+t−2,Δ=4−4t−22
当Δ≤0，即t≤1时，h′x≤0,hx在0,2上为减函数．
因为h1=0，所以当00,x1−x>0, 则x1−x2lnx+t−2x2−1x>0
当10
所以x1−x2lnx+t−2x2−1x>0对任意的x∈0,1∪1,2恒成立．
当Δ>0，即11
且p1=2t−2>0，令x0=min12−t,2，则当x∈1,x0时，px>0，
即h′x>0，所以hx在1,x0上为增函数．
因为h1=0，所以hx>0,x1−x2lnx+t−2x2−1x<0，故不符合题意．
综上所述，实数t的取值范围是（−∞,1].