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    2021-2022学年浙江省苍南县某校高二_(下)月考数学试卷

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    2021-2022学年浙江省苍南县某校高二_(下)月考数学试卷

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    这是一份2021-2022学年浙江省苍南县某校高二_(下)月考数学试卷,共9页。试卷主要包含了选择题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1. 若向量a→,b→满足a→+b→=1,−2,3 a→−b→=5,0,−5,则a→⋅b→等于( )
    A.−5B.5C.−9D.9

    2. 在等比数列an中,a1=2,且an+1=Sn−tn∈N*,则t=( )
    A.−2B.−1C.1D.2

    3. 设Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和,且S7=5a,则S10a9=( )
    A.6B.132C.7D.152

    4. 如图,在直二面角α−1−β中,B、C是直线1上两点,点A∈α,点D∈β,且AB⊥l,CD⊥1,AB=2,BC=3,CD=4,那么直线AD与直线BC所成角的余弦值为( )

    A.22929B.32929C.42929D.52929

    5. 已知抛物线C:y2=2pxp>0,经过点2,−4,且焦点为F,点A是抛物线C上任意一点,若点B3,1,则|AF|+|AB|的最小值为( )
    A.4B.5C.6D.7

    6. 甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )
    A.150种B.180种C.300种D.345种

    7. 已知函数fx=lnx,gx=2x,fm=gn,则mn的最小值是( )
    A.−12eB.12eC.−2eD.2e

    8. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左,右焦点分别为F1,F2,M为C上一点,且ΔMF1F2的内心为Ix0,2,若ΔMF1F2的面积为4b,则|MF|+|MF2||F1F2|=( )
    A.32B.53C.132D.43
    二、多选题

    已知mn≠0,则方程mx2+ny2=1与ny2=mx在同一坐标系内对应的图形可能是( )
    A.B.
    C.D.

    若数列an满足a1=2,an+an+1=3nn≥1,n∈N*,an的前n项和为Sn,下列结论正确的有( )
    A.a2022=3031B.a2n−1=3n−1
    C.an+1−an=1D.S2n=3n2

    设m≠0,若x=−m为函数fx=−mx+m2x+n的极大值点,则下列关系中可能成立的有( )
    A.m=nB.n>m>0C.n0

    已知双曲线C:x2−y23=1,则下列说法正确的是( )
    A.双曲线C的顶点到其渐近线的距离为2
    B.若F为C的左焦点,点P在C上,则满足FM→=2MP→的点M的轨迹方程为3x+22−3y2=4
    C.若A,B在C上,线段AB的中点为2,2,则线段AB的方程为2x−y−2=0
    D.若P为双曲线上任意一点,则点P到点2,0和到直线x=12的距离之比恒为2
    三、填空题

    某校毕业典礼由7个节目组成,考虑整体效果,对节目演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前三位,且节目丙、丁必须排在一起,则编排方案共有________种.(用数字作答)

    己知不等式2x+1−aex≥0有且只有两个整数解,则实数a的范围为________.

    等比数列an的公比00,过圆外一点M7,1引圆的两条切线MA,MB,切点分别为A,B,且MA⊥MB.
    (1)求r;

    (2)直线l交⊙O所得弦长为2,且分别交x轴、y轴于Pa,0,Q0,b,a>0,b>0,求a2+2b2的最小值.

    已知函数fx=ax−sinx.
    (1)若函数fx为增函数,求实数a的取值范围;

    (2)证明:当x>0时,ex>2sinx.

    如图,在四棱锥P−ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=2,AD=CD,∠ABC=120∘

    (1)求证:平面PAC⊥平面PBD;

    (2)若点M为PB的中点,点N为线段PC上一动点,求直线MN与平面PAC所成角的正弦值的取值范围.

    已知椭圆C的中心在原点,一个焦点F(0,2),且长轴长与短轴长的比是2:1.
    (1)求椭圆C的方程;

    (2)若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1,过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA,PB分别交椭圆C于另外两点A,B,求证:直线AB的斜率为定值;

    (3)在(2)的条件下,求△PAB面积的最大值.
    参考答案与试题解析
    2021-2022学年浙江省苍南县某校高二 (下)月考数学试卷
    一、选择题
    1.
    【答案】
    C
    【考点】
    平面向量数量积的运算
    【解析】
    此题暂无解析
    【解答】
    因为a→+b→=1,−2,3,a→−b→=5,0,−5,解得a→=3,−1,−1, b→=−2,−1,4所以a→⋅b→=3×−2+−1×−1+−1×4=−9
    故选:C
    2.
    【答案】
    A
    【考点】
    等比数列的性质
    【解析】
    此题暂无解析
    【解答】
    在等比数列an中, a1=2,且an+1=Sn−tn∈N*
    所以a2=S1−t=2−t,a3=S2−t=4−2t
    所以a22=a1×a3,即2−t2=2×4−2t,解得; t=±2
    当t=2时, a2=2−t=0,不符合等比数列的定义,应舍去,故t=−2
    3.
    【答案】
    B
    【考点】
    等差数列的前n项和
    等差数列的性质
    【解析】
    此题暂无解析
    【解答】
    设数列an的公差为d,
    由题意知, 7a1+7×62d=5a1+5d,解得a1=2d
    所以a9=a1+8d=10d,S10=10a1+10×92d=65d,
    则S10a9=6510=132
    故选:B
    4.
    【答案】
    B
    【考点】
    异面直线及其所成的角
    【解析】
    此题暂无解析
    【解答】
    如图,以B为坐标原点,以过点B作BC的垂线为x轴,以BC为y轴,BA为z轴,建立空间直角坐标系,
    则B0,0,0,A0,0,2,C0,3,0,D4,3,0
    故AD→=4,3,−2,BC→=0,3,0
    则csAD→,BC→=AD→⋅BC→|AD→||BC→|=9329=32929
    故直线AD与直线BC所成角的余弦值为32929
    故选:B.
    5.
    【答案】
    B
    【考点】
    抛物线的性质
    直线与抛物线结合的最值问题
    【解析】
    此题暂无解析
    【解答】
    由题可得4p=16,即p=4,
    抛物线为C:y2=8x,准线1的方程为x=−2 .
    设A到准线的距离为d,则由抛物线的定义可知|AF|=d,
    所以|AF|+|AB|=d+|AB|≥3−−2=5
    故选:B
    6.
    【答案】
    D
    【考点】
    分类加法计数原理
    【解析】
    选出的4人中恰有1名女同学的不同选法,1名女同学来自甲组和乙组两类型.
    【解答】
    解:一名女生来自甲组有C51⋅C31⋅C62=225种选法,
    一名女生来自乙组有C52⋅C61⋅C21=120种选法,
    故共有225+120=345种选法.
    故选D.
    7.
    【答案】
    A
    【考点】
    利用导数研究函数的最值
    利用导数研究函数的单调性
    【解析】
    此题暂无解析
    【解答】
    因为lnm=2n,所以hm=mn=12mlnm,m>0,h′m=121+lnm.
    当m>1e时,h′m>0,此时hm单调递增;
    当m0在0,+∞上恒成立.
    设gx=ex−2x,则g′x=ex−2,令g′x=0,解得x=ln2.
    则gx在0,ln2上单调递减,在ln2.+∞上单调递增.
    ∵ gxmin=gln2=eln2−2ln2=2−2ln2=21−ln2>0,
    ∴ gx≥gln2>0,
    ∴ ex>2x,可得ex>2sinx,命题得证.
    【考点】
    利用导数研究函数的单调性
    余弦函数的定义域和值域
    利用导数研究不等式恒成立问题
    【解析】
    此题暂无解析
    【解答】
    (1)解:f′x=a−csx,
    若函数fx为增函数,则f′x=a−csx≥0恒成立,
    即a≥csx在R上恒成立.
    ∵ y=csx∈−1,1.∴ a≥1.
    即实数a的取值范围是[1,+∞).
    (2)由(1)知当a=1时,fx为增函数.
    又∵ f0=0,∴ 当x>0时,fx>f0=0,即当x>0时,x>sinx.
    要证当x>0时,ex>2sinx,只需证当x>0时,ex>2x.
    即证明ex−2x>0在0,+∞上恒成立.
    设gx=ex−2x,则g′x=ex−2,令g′x=0,解得x=ln2.
    则gx在0,ln2上单调递减,在ln2.+∞上单调递增.
    ∵ gxmin=gln2=eln2−2ln2=2−2ln2=21−ln2>0,
    ∴ gx≥gln2>0,
    ∴ ex>2x,可得ex>2sinx,命题得证.
    【答案】
    解:(1)设AC的中点为O,因为AB=BC,所以BO⊥AC
    因为AD=CD,所以DO⊥AC,所以B,O,D三点共线,
    所以BD⊥AC,因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
    所以BD⊥PA,因为PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊆平面PAC,
    所以BD⊥平面PAC,因为BD⊆平面PBD,所以平面PAC⊥平面PBD
    (2) 由(1)可得OC⊥OD,以OC,OD所在的直线分别建立x轴和y轴,
    过O点作平行于AP的直线为二轴建立空间直角坐标系,
    则C3,0,0,P−3,0,2,B0,−1,0
    因为M为PB的中点,所以M−32,−12,1
    设 P→N=λP→C0≤λ≤1,所以N23λ−3,0,2−2λ
    所以MN→=23λ−32,12,1−2λ
    由(1)知BD⊥平面PAC,所以平面PAC的一个法向量为n→=0,1,0
    设直线MN与平面PAC所成角为θ
    则sinθ=csMN→,n→=1216λ2−10λ+2
    由y=16λ2−10λ+2的对称轴为λ=516,
    当λ=516时, ymin=716,当λ=1时, ymax=8
    即当0≤λ≤1时, 74≤16λ2−10λ+2≤22,
    所以28≤1216−10λ+2≤277
    所以28≤sinθ≤277
    即直线MN与平面PAC所成角的正弦值的取值范围为28,277
    【考点】
    平面与平面垂直的判定
    二面角的平面角及求法
    直线与平面所成的角
    【解析】
    此题暂无解析
    【解答】
    解:(1)设AC的中点为O,因为AB=BC,所以BO⊥AC
    因为AD=CD,所以DO⊥AC,所以B,O,D三点共线,
    所以BD⊥AC,因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
    所以BD⊥PA,因为PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊆平面PAC,
    所以BD⊥平面PAC,因为BD⊆平面PBD,所以平面PAC⊥平面PBD
    (2) 由(1)可得OC⊥OD,以OC,OD所在的直线分别建立x轴和y轴,
    过O点作平行于AP的直线为二轴建立空间直角坐标系,
    则C3,0,0,P−3,0,2,B0,−1,0
    因为M为PB的中点,所以M−32,−12,1
    设 P→N=λP→C0≤λ≤1,所以N23λ−3,0,2−2λ
    所以MN→=23λ−32,12,1−2λ
    由(1)知BD⊥平面PAC,所以平面PAC的一个法向量为n→=0,1,0
    设直线MN与平面PAC所成角为θ
    则sinθ=csMN→,n→=1216λ2−10λ+2
    由y=16λ2−10λ+2的对称轴为λ=516,
    当λ=516时, ymin=716,当λ=1时, ymax=8
    即当0≤λ≤1时, 74≤16λ2−10λ+2≤22,
    所以28≤1216−10λ+2≤277
    所以28≤sinθ≤277
    即直线MN与平面PAC所成角的正弦值的取值范围为28,277
    【答案】
    解:(I)设椭圆C的方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0).
    由题意a2=b2+c2a:b=2:1c=2.,解得a2=4,b2=2.
    所以,椭圆C的方程为y24+x22=1.
    (II)由题意知,点P(1, 2),两直线PA,PB的斜率必存在,
    设PB的斜率为k,则PB的直线方程为y−2=k(x−1).
    由y−2=k(x−1)y24+x22=1. 得,(2+k2)x2+2k(2−k)x+(2−k)2−4=0.
    设A(xA, yA),B(xB, yB),则xB=1⋅xB=k2−22k−22+k2,同理可得xA=k2+22k−22+k2.
    则xA−xB=42k2+k2,yA−yB=−k(xA−1)−k(xB−1)=8k2+k2.
    所以直线AB的斜率kAB=yA−yBxA−xB=2为定值.
    (III)设AB的直线方程为y=2x+m,由y=2x+my24+x22=1.得4x2+22mx+m2−4=0.
    由△=(22m)2−16(m2−4)>0,得m2b>0).
    由题意a2=b2+c2a:b=2:1c=2.,解得a2=4,b2=2.
    所以,椭圆C的方程为y24+x22=1.
    (II)由题意知,点P(1, 2),两直线PA,PB的斜率必存在,
    设PB的斜率为k,则PB的直线方程为y−2=k(x−1).
    由y−2=k(x−1)y24+x22=1. 得,(2+k2)x2+2k(2−k)x+(2−k)2−4=0.
    设A(xA, yA),B(xB, yB),则xB=1⋅xB=k2−22k−22+k2,同理可得xA=k2+22k−22+k2.
    则xA−xB=42k2+k2,yA−yB=−k(xA−1)−k(xB−1)=8k2+k2.
    所以直线AB的斜率kAB=yA−yBxA−xB=2为定值.
    (III)设AB的直线方程为y=2x+m,由y=2x+my24+x22=1.得4x2+22mx+m2−4=0.
    由△=(22m)2−16(m2−4)>0,得m2

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