2021-2022学年河北省张家口市某校高二（下）月考数学试卷

这是一份2021-2022学年河北省张家口市某校高二（下）月考数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 过两点A1,2,B4,11的直线的斜率为（ ）
A.2B.−2C.3D.−3

2. 已知数列an满足：an+1=2an，若a2=2，则a6=（ ）
A.16B.32C.36D.48

3. 已知直线l1:3x+4y+11=0,l2:ax+2y+38=0，若l1//l2，则a=（ ）
A.52B.2C.32D.1

4. 双曲线C：x228−y27=1的渐近线方程为（ ）
A.y=±12xB.y=±2xC.y=±14xD.y=±4x

5. 已知圆M:x2+y2=25，圆N:x2+y2−6x−8y+24=0，则两圆的位置关系为（ ）
A.外切B.内切C.相交D.外离

6. 已知圆 C:x2+y2=4，过点P4,0作圆C的切线，切点为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A.x=52B.x=2C.x=32D.x=1

7. 已知等差数列an的前n项和为Sn，若a1+a2+a3+a4=2,a9+a10+a11+a12=6，则S16=（ ）
A.16B.18C.20D.24

8. 定义x表示不超过．的最大整数，例如：0.3=0，2.5=2,−1.3=−2．若数列an的通项公式为an=2n−110，前n项和为Sn，则满足不等式Sn≥126的最小的n为（ ）
A.39B.38C.37D.36
二、多选题

已知抛物线x2=4y的焦点F是椭圆C的一个焦点，椭圆C的中心在坐标原点，离心率为12，过F的直线l与椭圆C交于A，B，则下列说法正确的有（ ）
A.F点的坐标为0,1
B.椭圆C的方程为x24+y23=1
C.椭圆C的长轴长为4
D.椭圆C的另一个焦点为Q，则△ABQ的周长为9

下列说法中正确的是（ ）
A.AB→+BC→+CD→+DA→=0
B.两条异面直线l1,l2的方向向量a→，b→一定不共面
C.向量a→，b→，c→两两共面，但a→，b→，c→不一定共面
D.直线l的方向向量为a→，平面α→的法向量为m→，若a→⊥m→，则l⊥α

2013年9月7日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山．”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基．现有甲、乙两座城市为了改善当地生态环境，分别制定投人资金政策如下：甲市2014年年初投入资金100万元，以后每年年初投人资金比上一年年初增加25万元；乙市2014年年初投入资金100万元，以后每年年初投入资金比上一年年初增加20%，则下列结论中正确的有（ ）
参考数据：1.24≈2.07,1.25≈2.49,1.26≈2.99,1.29≈1.16,1.210≈6.19.
A.甲市在2023年年初投入资金325万元
B.乙市在2023年年初投入资金约为516万元
C.甲市在2018年年初投入资金比乙市在2018年年初投入资金多
D.到2019年年底，甲市投入资金总额比乙市投入资金总额少

如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1 中，P为线段B1D1上一动点（包括端点），则以下结论正确的有（ ）

A.存在点P，使得A1P⊥BC1
B.三棱锥P−A1BD的体积为定值
C.存在点P，使得直线DP与B1C所成角为π3
D.平面A1BD与平面PBD的夹角的余弦值为63
三、填空题

已知直线l1:x+y−2022=0，直线l2:x+ay+8=0，若l1⊥l2，则a=________.

已知等差数列an的前n项和为Sn，且a1=−2,S2=S22，则当n=_______时，Sn最小．

已知正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，F点在DE上，且DF→=FE→，则|AF→|=________.

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2，过点F2作直线l与双曲线C交于A，D两点，其中D点在第四象限，AF1→⋅AF2→=0．若5AF2→=3F2D→，则双曲线的离心率为________.
四、解答题

已知直线l1:x+y−2=0，直线l2:x−y+8=0，圆C的圆心为C2,2，并且l2与圆C相切．
(1)求圆C的标准方程；

(2)若直线l1与圆C交于A，B两点，求|AB|.

已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=n2+7n2.
(1)求an；

(2)若bn=1anan+1，求数列bn的前n项和Tn.

在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB//DC,AB⊥AD,PD=CD=AD=12AB=3，G在线段AB上，且满足CG⊥BD.

(1)若AG→=λAB→，求λ的值；

(2)求直线DP与平面PGC所成角的正弦值．

已知抛物线C:x2=2pyp>0的焦点为F，过F作与x轴平行的直线交抛物线C于A，B两点，|AB|=4.
(1)求抛物线C的焦点F的坐标及准线方程；

(2)过抛物线C的焦点F作倾斜角为120∘的直线l，与抛物线C交于M，N两点，求|MN|.

如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1 中，底面ABCD为正方形，AB=2,AA1=4，E，F分别为棱BC，CD的中点．

(1)求证：直线D1F//平面A1EC1;

(2)求平面A1EC1 与平面FA1D1夹角的余弦值．

已知点M在椭圆x2+y23=1 上运动，过点M作y轴的垂线，垂足为N，动点C满足NC→=2NM→,D−2,−1.
(1)求动点C的轨迹E的方程；

(2)过点1,0作x轴的垂线与轨迹E交于P，Q两点，点P在点Q上方，点H为线段PQ上一点，过D．H作直线l与轨迹E交于A，B两点，且满足∠APQ=∠BPQ，求直线l的方程．
参考答案与试题解析
2021-2022学年河北省张家口市某校高二（下）月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
直线的斜率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
kAB=11−24−1=3，故选C．
2.
【答案】
B
【考点】
等比数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
an为等比数列，q=2，∵ a2=2，∴ a1=1，∴ an=2n−1，∴ a6=25=32．故选B．
3.
【答案】
C
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由l1//l2，得3a=42≠1138，∴ a=32，故选C．
4.
【答案】
A
【考点】
双曲线的渐近线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
a=27,b=7，∴ y=±bax=±12x．故选A．
5.
【答案】
C
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：圆N化为x−32+y−42=1，圆心N3,4，半径为1，∴ |MN|=5，∴ 4<|MN|<6，两圆相交，C正确．故选C．
6.
【答案】
D
【考点】
直线与圆相交的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
AB为圆C与圆x−22+y2=4的公共弦，两圆方程相减得x=1．故选D．
7.
【答案】
C
【考点】
等差数列的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：S4,S8−S4,S12−S8,S16−S12成等差数列，∴ S8−S4=4,S16−S12=8，∴ S16=20．故选C.
8.
【答案】
B
【考点】
数列的求和
数列的函数特性
数列的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】因为an=2n−110=n5−110
所以当1≤n≤5,n∈N*时，an=0；当6≤n≤10,n∈N*时，an=1
当11≤n≤15,n∈N*时，an=2；当16≤n≤20,n∈N*时，an=3
当21≤n≤25,n∈N*时，an=4；当26≤n≤30,n∈N*时，an=5
当31≤n≤35,n∈N*时，an=6；当36≤n≤40,n∈N*时，an=7
因为5×0+1+2+3+4+5+6+3×7=126，所以nmin=38．故选B．
二、多选题
【答案】
A,C
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：F0,1，A正确；
e=ca=12，∴ a=2,b=3，焦点在y轴上，∴ 椭圆C的方程为y24+x23=1，B错误；2a=4，C正确；
△ABQ的周长为4a=8,D错误．故选AC．
【答案】
A,C
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】AB→+BC→+CD→+DA→=0，A正确；
两向量a→，b→一定是共面向量，B错误；
由空间直角坐标系可知，a→，b→，c→不一定共面，C正确；
当a→⊥m→时，l//α或l⊂α，D错误．故选AC．
【答案】
A,B,D
【考点】
数列的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】记甲市从2014年年初开始，每年年初投入资金构成等差数列an,Sn为其前n项和，且a1=100,d=25,an=25n+75,Sn=25n2+175n2,
记乙市从2014年年初开始，每年年初投入资金构成等比数列bn,Tn为其前n项和，且b1=100，q=1.2,bn=100×1.2n−1,Tn=5001.2n−1，
对于A，a10=325，A正确；
对于B，b10≈516，B正确；
对于C,a5=200,b5≈207,a5对于D，S6=975,T6≈995,S6【答案】
A,B,D
【考点】
棱柱的结构特征
向量在几何中的应用
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
ABD正确，C选项错误，
故选ABD.
三、填空题
【答案】
−1
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
∵l1⊥l2，∴ 1+a=0，∴ a=−1
【答案】
12
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的性质
等差数列
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由 S2=S22，∴ a3+a4+⋯+a22=0，∴ a12+a13=0，
又∵ a1=−2，∴ a12<0,a13>0，∴ S12最小，∴ n=12.
【答案】
11
【考点】
向量在几何中的应用
棱柱的结构特征
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】设AB→=a,AC→=b,AD→=c
则AF→=12AE→+AD→=1212AB→+12AC→+AD→=14a+14b+12c，
∴ |AF→|2=116a2+116b2+14c2+18a⋅b+14a⋅c+14b⋅c=1+1+4+1+2+2=11，
∴ |AF→|=11.
【答案】
264
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】根据题意，得AF1⊥AF2
设|AF2|=3tt>0,|DF2|=5t，则|AF1|=2a+3t,|DF1|=2a+5t,|AD|=8t，
又∠F1AD=90∘，
∴ 2a+3t2+8t2=2a+5t2，
∴ t=a6，∴ |AF2|=a2,|AF1|=5a2,|F1F2|=2c.
又∠F1AF2=90∘，∴ a22+5a22=4c2，得c2a2=2616，∴ e=ca=264.
四、解答题
【答案】
解：（1）l2与圆C相切，所以r=|2−2+8|2=42，
所以圆C的标准方程为x−22+y−22=32.
（2）圆心C到直线l1的距离为d=|4−2|2=2，
所以|AB|=2422−22=230.
【考点】
直线与圆的位置关系
圆的标准方程
直线与圆相交的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）l2与圆C相切，所以r=|2−2+8|2=42，
所以圆C的标准方程为x−22+y−22=32.
（2）圆心C到直线l1的距离为d=|4−2|2=2，
所以|AB|=2422−22=230.
【答案】
解：（1）当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n+3，
又当n=1时，S1=a1=4，满足an=n+3，∴ an=n+3．
（2）bn=1n+3n+4=1n+3−1n+4
∴ Tn=b1+b2+⋯+bn=14−15+15−16+⋯+1n+3−1n+4
=14−1n+1=n4n+16.
【考点】
数列递推式
等差数列
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n+3，
又当n=1时，S1=a1=4，满足an=n+3，∴ an=n+3．
（2）bn=1n+3n+4=1n+3−1n+4
∴ Tn=b1+b2+⋯+bn=14−15+15−16+⋯+1n+3−1n+4
=14−1n+1=n4n+16.
【答案】
解：（1）∵ PD⊥平面ABCD，∴ PD⊥AD,PD⊥DC，
又AB//DC,AB⊥AD，∴ AD⊥DC，
以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D−xyz，如图所示，
则D0,0,0,A3,0,0,C0,3,0,B3,6,0，
∵ AG→=λAB→=λ0,6,00≤λ≤1
∴ G3,6λ,0，∴ CG→=3,6λ−3,0
又DB→=3,6,0，∴ CG→⋅DB→=9+66λ−3=0，∴ λ=14．
（2）由（1）得G3,32,0，∴ GC→=−3,32,0，
又P0,0,3，∴ CP→=0,−3,3．
设平面PGC的法向量为m→=x,y,z，则−3x+32y=0−3y+3z=0,∴ y=2xy=z.
取x=1，得m→=1,2,2．
又DP→=0,0,3 ，
设直线DP与平面PGC所成角为α
则sinα=|cs⟨m→,DP→>|=|m→⋅DP→||m→→||DP→|=63×3=23．
【考点】
向量在几何中的应用
二面角的平面角及求法
与二面角有关的立体几何综合题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）∵ PD⊥平面ABCD，∴ PD⊥AD,PD⊥DC，
又AB//DC,AB⊥AD，∴ AD⊥DC，
以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D−xyz，如图所示，
则D0,0,0,A3,0,0,C0,3,0,B3,6,0，
∵ AG→=λAB→=λ0,6,00≤λ≤1
∴ G3,6λ,0，∴ CG→=3,6λ−3,0
又DB→=3,6,0，∴ CG→⋅DB→=9+66λ−3=0，∴ λ=14．
（2）由（1）得G3,32,0，∴ GC→=−3,32,0，
又P0,0,3，∴ CP→=0,−3,3．
设平面PGC的法向量为m→=x,y,z，则−3x+32y=0−3y+3z=0,∴ y=2xy=z.
取x=1，得m→=1,2,2．
又DP→=0,0,3 ，
设直线DP与平面PGC所成角为α
则sinα=|cs⟨m→,DP→>|=|m→⋅DP→||m→→||DP→|=63×3=23．
【答案】
解：（1）由题意，得2p=4，∴ 抛物线C的方程为x2=4y，
∴ F0,1，准线方程为y=−1.
（2）易得直线l的斜率为−3，方程为y=−3x+1，
代人抛物线C的方程，得x2+43x−4=0，Δ=432+16=64>0，
设Mx1,y1,Nx2,y2，则x1+x2=−43,x1x2=−4，
∴ |MN|=1+−32x1+x22−4x1x2=2−432+16=16.
【考点】
抛物线的标准方程
直线与抛物线的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）由题意，得2p=4，∴ 抛物线C的方程为x2=4y，
∴ F0,1，准线方程为y=−1.
（2）易得直线l的斜率为−3，方程为y=−3x+1，
代人抛物线C的方程，得x2+43x−4=0，Δ=432+16=64>0，
设Mx1,y1,Nx2,y2，则x1+x2=−43,x1x2=−4，
∴ |MN|=1+−32x1+x22−4x1x2=2−432+16=16.
【答案】
（1）证明：∵ AB⊥AD,AA1⊥AB,AD⊥AA1，
∴ 以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A−xyz，
如图所示，
则A10,0,4,C12,2,4,D10,2,4,E2,1,0,F1,2,0，
A1C1→=2,2,0,A1E→=2,1,−4．
设平面A1EC1的法向量为m→=x1,y1,z1，则2x1+2y1=0,2x1+y1−4z1=0
∴ y1=−x1,x1=4z1取z1=1，得m→=4,−4,1．
又D1F→=1,0,−4，∴ D1F→⋅m→=0，∴ D1F//平面A1EC1．
（2）解：A1D1→=0,2,0,D1F→=1,0,−4
设平面FA1D1的法向量为n→=x2,y2,z2，则2y2=0,x2−4z2=0
∴ y2=0,x2=4z
取z2=1，得n→=4,0,1 ．
设平面A1EC1与平面FA1D1的夹角为α
则csα=|m→⋅n→||m→||n→|=1733×17=56133 ．
【考点】
直线与平面平行的判定
二面角的平面角及求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）证明：∵ AB⊥AD,AA1⊥AB,AD⊥AA1，
∴ 以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A−xyz，
如图所示，
则A10,0,4,C12,2,4,D10,2,4,E2,1,0,F1,2,0，
A1C1→=2,2,0,A1E→=2,1,−4．
设平面A1EC1的法向量为m→=x1,y1,z1，则2x1+2y1=0,2x1+y1−4z1=0
∴ y1=−x1,x1=4z1取z1=1，得m→=4,−4,1．
又D1F→=1,0,−4，∴ D1F→⋅m→=0，∴ D1F//平面A1EC1．
（2）解：A1D1→=0,2,0,D1F→=1,0,−4
设平面FA1D1的法向量为n→=x2,y2,z2，则2y2=0,x2−4z2=0
∴ y2=0,x2=4z
取z2=1，得n→=4,0,1 ．
设平面A1EC1与平面FA1D1的夹角为α
则csα=|m→⋅n→||m→||n→|=1733×17=56133 ．
【答案】
解：（1）设Cx,y,Mx0,y0，则N0,y0,NC→=x,y−y0=2x0,0，
∴ x=2x0y=y0即 x0=12xy0=y.
又x02+y023=1
∴ x24+y23=1
即轨迹E的方程为x24+y23=1．
（2）P1,32,Q1,−32
∵ ∠APQ=∠BPQ，
∴ 直线PA与直线PB的斜率之和为0．
设Ax1,y1,Bx2,y2，直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为−k，
则直线AP的方程为y=kx−1+32，
又A，P都在轨迹E上，故 y=kx−1+32x24+y23=1,
消去y，整理得4k2+3x2−8k2−12kx+4k2−12k−3=0，
则x1+1=8k2−12k4k2+3，
同理得x2+1=8k2+12k4k2+3 ，
则x1+x2=8k2−64k2+3,x1−x2=−24k4k2+3
又y1=kx1−1+32,y2=−kx2−1+32，
则kAB=y1−y2x1−x2
=kx1−1+32−[−kx2−1+32]x1−x2
=kx1+x2−2kx1−x2
=k⋅8k2−64k2+3−2k−24k4k2+3
=12，
得直线AB的方程为y+1=12x+2，即x−2y=0，
此时 x−2y=0,x24+y23=1,
得4y2=3，方程有两个不相等的实数解；
x−2y=0x=1, 得 x=1,y=12
∴ 直线l与线段PQ有交点．
∴ 直线l的方程为x−2y=0 ．
【考点】
轨迹方程
椭圆的标准方程
直线与椭圆结合的最值问题
圆锥曲线的综合问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）设Cx,y,Mx0,y0，则N0,y0,NC→=x,y−y0=2x0,0，
∴ x=2x0y=y0即 x0=12xy0=y.
又x02+y023=1
∴ x24+y23=1
即轨迹E的方程为x24+y23=1．
（2）P1,32,Q1,−32
∵ ∠APQ=∠BPQ，
∴ 直线PA与直线PB的斜率之和为0．
设Ax1,y1,Bx2,y2，直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为−k，
则直线AP的方程为y=kx−1+32，
又A，P都在轨迹E上，故 y=kx−1+32x24+y23=1,
消去y，整理得4k2+3x2−8k2−12kx+4k2−12k−3=0，
则x1+1=8k2−12k4k2+3，
同理得x2+1=8k2+12k4k2+3 ，
则x1+x2=8k2−64k2+3,x1−x2=−24k4k2+3
又y1=kx1−1+32,y2=−kx2−1+32，
则kAB=y1−y2x1−x2
=kx1−1+32−[−kx2−1+32]x1−x2
=kx1+x2−2kx1−x2
=k⋅8k2−64k2+3−2k−24k4k2+3
=12，
得直线AB的方程为y+1=12x+2，即x−2y=0，
此时 x−2y=0,x24+y23=1,
得4y2=3，方程有两个不相等的实数解；
x−2y=0x=1, 得 x=1,y=12
∴ 直线l与线段PQ有交点．
∴ 直线l的方程为x−2y=0 ．