2021-2022学年甘肃省陇南市某校高二（下）月考数学试卷

这是一份2021-2022学年甘肃省陇南市某校高二（下）月考数学试卷，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知一个三角形的三边长依次是2，3，4，则这个三角形的最大内角的余弦值为( )
A.12B.−14C.13D.−13

2. 等差数列12,32，…的第4项为（ ）
A.−72B.72C.−92D.−32

3. 已知向量a→=1,2,3,b→=0,−1,4，则2a→+3b→等于（ ）
A.−4,6,14B.−4,0,6C.−4,3,6D.2,1,18

4. 若方程x23+m−y24−m=1表示双曲线，则实数m的取值范围为（ ）
A.−∞,−2B.−3,4
C.2,+∞D.−∞,−2∪2,+∞

5. 设数列an满足2an=an+1n∈N+，且前n项和为Sn，则S4a5的值为（ ）
A.1516B.152C.154D.312

6. 设a>0，b>0，且a+2b=1，则ab的最大值为（ ）
A.2B.18C.42D.6

7. 已知p:lg3x<1,q:x2−2x−3<0，那么p是q的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8. 在△ABC中，若a=43b,A=2B，则csB等于（ ）
A.34B.74C.23D.54

9. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccs2A2=b+c，则△ABC的形状是（ ）
A.等边三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等腰直角三角形

10. 已知直线l过抛物线y2=x的焦点，且与抛物线分别交于A，B两点，则OA→⋅OB→（0为坐标原点）的值为（ ）
A.0B.−1C.−2D.−316

11. 已知函数fx=−2x2−ax+3满足对任意x∈a−2,a，恒有fx>0，则实数a的取值范围是（ ）
A.−1,1B.−1,5+103C.5−103,1D.1,5+103

12. 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l:2x−y=0交椭圆E于A，B两点．若|AF|+|BF|=6，点M到直线l的距离不小于1，则椭圆E的离心率的取值范围是（ ）
A.(0,23]B.(0,34]C.[32,1）D.[34,1）
二、填空题

在△ABC中，若BC=2,AC=1,A=30∘，则sinB=

在等比数列an中，已知a3=4,a7−2a5=32，则a1=

变量x，y满足条件 x+2y−1≥0x−y+2≥0,2x+y−5≤0 则z=3x−2y的最小值为________.

在正方体ABCD−A1B1C1D1中，二面角A1−BD−C1 的余弦值等于________.
三、解答题

已知p：方程x2+2ax+4=0无实数根，q：函数fx=1+ax是增函数．
(1)当a=0时，判断p∧q的真假；

(2)若p∨q为假命题，求实数a的取值范围．

已知在前n项和为Sn的正项等比数列an中，a3=16,S2=12
(1)求数列an的通项公式；

(2)令bn=lg2an，求数列1bnbn+1的前n项和Tn

已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ab=2sinA.
(1)求csB；
(2)若a=42,c=4，求b的值．

在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，E在线段CC1上.

(1)若A1C⊥平面BDE，求CE的长；

(2)在(1)的条件下，求直线D1E与平面BDE所成角的正弦值.

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为2，且过点P−2,−3
(1)求双曲线C的方程；

(2)已知直线y=x+m与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点为Mx0,y0当x0≠0时，求y0+2m3x0−m的值．

已知M，N是椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的上顶点和右顶点，且直线MN的斜率为−53
(1)求椭圆E的离心率；

(2)设A为椭圆E的左顶点，B为椭圆E上一点，C为椭圆E上位于第一象限内的一点，O为坐标原点，且AB→=12OC→，求直线AB的斜率．
参考答案与试题解析
2021-2022学年甘肃省陇南市某校高二（下）月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
解三角形
余弦定理
【解析】
根据大边对大角得到长度为4的边对应的角最大，再用余弦定理求解
【解答】
三角形的三边长依次是2，3，4，设最大角为α
则α角所对的边长为4.
由余弦定理有：csα=22+32−422×2×3=−14
故选：A
2.
【答案】
B
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
本题考查等差数列的项．由a1=12,d=32−12=1得a4=a1+3d=12+3=72
3.
【答案】
D
【考点】
空间向量运算的坐标表示
【解析】
本题考查向量的坐标运算．
【解答】
2a→+3b→=21,2,3+30,−1,4=2,4−3,6+12=2,1,18
4.
【答案】
B
【考点】
双曲线的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
若方程x23+m−y24−m=1表示双曲线，则3+m4−m>0，解得−35.
【答案】
A
【考点】
等比数列的前n项和
等比数列的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由题意知，数列{an}是以2为公比的等比数列，故S4a5=a11−241−2a1×24=1516
6.
【答案】
B
【考点】
基本不等式
【解析】
利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】
解：∵ 设a>0，b>0，
∴ a+2b=1≥22ab，化为ab≤18，当且仅当a=2b=12时取等号．
∴ ab的最大值为18．
7.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由x2−2x−3<0得x+1x−3<0，解得−1≤x<3，而lg3x<1，得x∈0,3，0,3⫋−1,3，所以p是q的充分不必要条件．
8.
【答案】
C
【考点】
正弦定理
二倍角的正弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由正弦定理得ab=sinAsinB，所以a=43b可转化为sinAsinB=43．
又A=2B，所以sin2BsinB=43，所以csB=23
9.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
两角和与差的余弦公式
三角形的形状判断
【解析】
首先根据二倍角公式化简所给的式子，然后余弦定理可知csA=b2+c2−a22bc代入化简后的式子，即可得出答案．
【解答】
解：∵ 2ccs2A2=2c(1+csA2)=c+ccsA=b+c
∴ csA=bc
∵ 在△ABC中，csA=b2+c2−a22bc
∴ bc=b2+c2−a22bc
整理得：c2=a2+b2
故△ABC为直角三角形．
故选：B．
10.
【答案】
D
【考点】
抛物线的应用
抛物线的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由题意得p=12，焦点F14,0，设Ax1,y1,Bx2,y2，直线l的方程为x=ty+14，代入y2=x，得y2−ty−14=0，所以y1y2=−14，又A、B两点在抛物线上，所以x1x2=y12⋅y22=116，所以OA→⋅OB→=x1x2+y1y2=116−14=−316
11.
【答案】
C
【考点】
函数恒成立问题
函数的最值及其几何意义
函数与方程的综合运用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
fx>0）等价于不等式−2x2−ax+3>0对任意的x∈a−2,a恒成立，
而这只需满足 fa−2>0，且 fa>0,
故2a−22−aa−2+3>0且−2a2−a2+3>0，
即5−103解得5−10312.
【答案】
A
【考点】
圆锥曲线中的范围与最值问题
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
设左焦点为F0，连接F0A,F0B，则四边形AFBF0 为平行四边形．
∵ |AF|+|BF| =6,∴ |AF|+|AF0|=6,∴ a=3
不妨设M0,b，则M到直线L的距离d=b5≥1，∴ 5≤b<3
离心率e=ca=c2a2=a2−b2a2=9−b29∈(0,23]
二、填空题
【答案】
14
【考点】
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
在△ABC中，因为BC=2,AC=1,A=30∘所以sinB=ACsinABC=1×122=14
【答案】
1
【考点】
等比数列的性质
等比数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
a7a3−2a3a3=324,q4−2q2=8,q2=4,q2=−2（舍）∴ a1q2=a3=4,a1=1
【答案】
−5
【考点】
简单线性规划
求线性目标函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
画出不等式组表示的可行域，它是以A3,−1,B−1,1,C1,3为顶点的△ABC的内部（包括边界），在可行域内平移直线3x−2y=z，当经过点B−1,1时，直线在y轴上的截距最大，此时3x−2y的最小值为3×−1−2×1=−5
【答案】
13
【考点】
二面角的平面角及求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
设正方体棱长为1，以DA→、DC→,DD1→为单位正交基底，建立如图所示的坐标系D=xyz，
求出平面A1BD与平面C1BD的法向量n1→=1,−1,1,n2→=1,−1,−1
∴ 二面角的余弦值cs=n1→⋅n2→|n1→||n2→|=13
三、解答题
【答案】
解：若p为真命题，则Δ=4a2−16<0⇒−21⇒a>0
（1）当a=0时，p为真命题，q为假命题，故p∧q为假命题．
（2）若p∨q为假命题，则p为假命题．q为假命题，
a≤−2或a≥2a≤0⇒a≤−2，故p∨q为假命题时，实数a的取值范围是(−∞,−2]
【考点】
复合命题及其真假判断
命题的真假判断与应用
函数的零点
类比推理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：若p为真命题，则Δ=4a2−16<0⇒−21⇒a>0
（1）当a=0时，p为真命题，q为假命题，故p∧q为假命题．
（2）若p∨q为假命题，则p为假命题．q为假命题，
a≤−2或a≥2a≤0⇒a≤−2，故p∨q为假命题时，实数a的取值范围是(−∞,−2]
【答案】
解：（1）因为a3=16S2=12 ,所以a1q2=16a1+a1q=12
∴ q1=2, q2=−23（舍）,a1=4，an=2n+1．
（2）bn=lg22n+1=n+1，
Tn=1b1b2+1b2b3+…+1bnbn+1
=12×3+13×4+…+1(n+1)(n+2)
=12−13+13−14+…+1n+1−1n+2
=12−1n+2=n2n+4
【考点】
等比数列的通项公式
等比数列的性质
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）因为a3=16S2=12 ,所以a1q2=16a1+a1q=12
∴ q1=2, q2=−23（舍）,a1=4，an=2n+1．
（2）bn=lg22n+1=n+1，
Tn=1b1b2+1b2b3+…+1bnbn+1
=12×3+13×4+…+1(n+1)(n+2)
=12−13+13−14+…+1n+1−1n+2
=12−1n+2=n2n+4
【答案】
（1）因为ab=2sinA，所以由正弦定理可得sinA=2sinBsinA，
因为0（2）由（1）知csB=22，故由余弦定理可得b=a2+c2−2accsB=32+16−2×42×4×22=16=4.
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）因为ab=2sinA，所以由正弦定理可得sinA=2sinBsinA，
因为0（2）由（1）知csB=22，故由余弦定理可得b=a2+c2−2accsB=32+16−2×42×4×22=16=4.
【答案】
解：(1)由已知可得，DA，DC，DD1两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，
可得D(0,0,0)，A11,0,0，B1,1,0，C0,1,0，
D10,0,2，A11,0,2，B11,1,2，C10,1,2，
设CE=a（0≤a≤2），则E0,1,a，
DE→=0,1,a，DB→=1,1,0，A1C→=−1,1,−2，
∴ A1C→⋅DB→=−1+1=0，
∴ A1C⊥DB.
由A1C⊥平面DBE得，A1C→⋅DE→=1−2a=0，
解得a=12，即CE的长为12.
(2)由(1)得D1E→=0,1,−32，
A1C→为平面DBE的一个法向量，
∴ cs⟨D1E→,A1C→⟩=1+3132⋅6=47839，
∴ D1E与平面DBE所成角的正弦值为47839.
【考点】
直线与平面垂直的性质
空间向量的数量积运算
用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由已知可得，DA，DC，DD1两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，
可得D(0,0,0)，A11,0,0，B1,1,0，C0,1,0，
D10,0,2，A11,0,2，B11,1,2，C10,1,2，
设CE=a（0≤a≤2），则E0,1,a，
DE→=0,1,a，DB→=1,1,0，A1C→=−1,1,−2，
∴ A1C→⋅DB→=−1+1=0，
∴ A1C⊥DB.
由A1C⊥平面DBE得，A1C→⋅DE→=1−2a=0，
解得a=12，即CE的长为12.
(2)由(1)得D1E→=0,1,−32，
A1C→为平面DBE的一个法向量，
∴ cs⟨D1E→,A1C→⟩=1+3132⋅6=47839，
∴ D1E与平面DBE所成角的正弦值为47839.
【答案】
解：（1）∵ 由题意得a2+b2=c2，ca=2，4a2−9b2=1，解得a=1，b=3，c=2，
故双曲线的方程为x2−y23=1．
（2）联立直线方程和双曲线方程得到 y=x+m,x2−y23=1 消去y，得2x2−2mx−m2−3=0
则Δ=4m2+8m2+3>0，设Ax1,y1,Bx2,y2,x1+x2=m
则中点M的横坐标为x0=m2,y0=x0+m=3m2，所以 y0+2m3x0−m=32m+2m32m−m=7
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的离心率
与双曲线有关的中点弦及弦长问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）∵ 由题意得a2+b2=c2，ca=2，4a2−9b2=1，解得a=1，b=3，c=2，
故双曲线的方程为x2−y23=1．
（2）联立直线方程和双曲线方程得到 y=x+m,x2−y23=1 消去y，得2x2−2mx−m2−3=0
则Δ=4m2+8m2+3>0，设Ax1,y1,Bx2,y2,x1+x2=m
则中点M的横坐标为x0=m2,y0=x0+m=3m2，所以 y0+2m3x0−m=32m+2m32m−m=7
【答案】
解：根据题意得，上顶点M0,b，右顶点Na,0
（1）kMN=b−a=−53
由−ba=−53, a2=b2+c2 ，得9c2=4a2，
∴ e=23
（2）由（1）可知b2=59a2，∴ 椭圆E的方程为x2a2+9y25a2=1
即5x2+9y2=5a2∴ 点A−a,0．
设直线OC的方程为x=mym>0,Bx1,y1,Cx2,y2
由x=my,5x2+9y2=5a2解得y2=5a25m2+9，∵ y2>0，∴ y2=5a5m2+9
∵ AB→=12OC→，∴ AB//OC，于是设直线AB的方程为x=my−am>0
由x=my−a,5x2+9y2=5a2 消去x整理得5m2+9y2−10amy=0 ，
解得y=10am5m2+9或y=0（舍去）∴ y1=10am5m2+9， AB→=12OC→
∴ x1+a,y1=12x2,12y2，∴ y1=12y2，即y2=2y1
∴ 5a5m2+9=20am5m2+9m>0，解得m=35，
∴ 1m=533，即直线AB的斜率为533
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
椭圆的定义和性质
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据题意得，上顶点M0,b，右顶点Na,0
（1）kMN=b−a=−53
由−ba=−53, a2=b2+c2 ，得9c2=4a2，
∴ e=23
（2）由（1）可知b2=59a2，∴ 椭圆E的方程为x2a2+9y25a2=1
即5x2+9y2=5a2∴ 点A−a,0．
设直线OC的方程为x=mym>0,Bx1,y1,Cx2,y2
由x=my,5x2+9y2=5a2解得y2=5a25m2+9，∵ y2>0，∴ y2=5a5m2+9
∵ AB→=12OC→，∴ AB//OC，于是设直线AB的方程为x=my−am>0
由x=my−a,5x2+9y2=5a2 消去x整理得5m2+9y2−10amy=0 ，
解得y=10am5m2+9或y=0（舍去）∴ y1=10am5m2+9， AB→=12OC→
∴ x1+a,y1=12x2,12y2，∴ y1=12y2，即y2=2y1
∴ 5a5m2+9=20am5m2+9m>0，解得m=35，
∴ 1m=533，即直线AB的斜率为533