2021-2022学年云南省昭通市某校高三（下）3月月考数学试卷

这是一份2021-2022学年云南省昭通市某校高三（下）3月月考数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 设集合S=−2,−1, T=−1,2，则S∩T=（ ）
A.−1B.−2,2
C.−2,−1,1 D.−2,−1,−1,1

2. 设i为虚数单位，则复数21+i=（ ）
A.54−14iB.−1−iC.1−iD.1+i

3. 已知函数 fx=x+12,x≤0,sinπx2,x>0 则ff0=（ ）
A.12B.33C.22D.32

4. 为得到函数y=2sin(3x−π3)的图象，只需将函数y=2sin3x的图象( )
A.向左平移π3个单位B.向左平移π9个单位
C.向右平移π3个单位D.向右平移π9个单位

5. 已知双曲线C:x23−y2b2=1b>0的右焦点为F，圆F的半径为2，双曲线C的一条渐近线与圆下相交于A、B两点．若|AB|=23，则双曲线C的离心率为（ ）
A.23B.233C.2D.332

6. 某中学为提高学生的健康水平，增设了每天40分钟的体育锻炼课程，学生可以在跳绳、羽毛球、乒乓球、篮球、排球等课程中选择一门．为了解该校学生参与乒乓球运动的情况，在全校班级中随机抽取了7个班（将其编号为1；2，⋯ ,7），下表是这7个班参与乒乓球运动的人数统计表：
若从这7个班中随机选取2个进行调查研究，则选出的2个班中至少有1个班参与乒乓2球运动的人数超过12人的概率为（ ）
A.47 B.23 C.56 D.67

7. 已知平面向量a→=1,−3,b→=2,m．若a→+b→⊥a→−b→，则m=（ ）
A.−1B.0C.23D.−23

8. 若4a=0.8b=π，则（ ）
A.ab<0
9. 下列图形是某几何体的三视图（正视图也称主视图，侧视图也称左视图），其中正视图与侧视图是两个全等的等腰三角形，俯视图是面积等于4π的圆．若该几何体的侧面展开图是个半圆，则这个几何体的体积等于（ ）

正视图 侧视图
俯视图
A.83π3B.43π3C.83πD.43π

10. 经过抛物线C:y=x24的焦点作直线与抛物线C相交于A、B两点．若|AB|=8，则线段AB的中点的纵坐标为（ ）
A.32B.3C.72D.4

11. 在△ABC中，D是直线AB上的点．若3BD→=2CB→+λCA→，则λ=（ ）
A.13B.1C.−23D.−2

12. 已知△ABC的三个内角分别为A、B、C．若sin2C=2sin2A−3sin2B，则tan B的最大值为（ ）
A.53B.52C.11520D.355
二、填空题

若实数x，y满足约束条件 y≥x−1,2x+y−4≤0,x≥1, 则z=6x+4y 的最大值等于________.

一个志愿者组织有男、女成员84人．其中48名男成员中，45岁以上的有12人；36名女成员中，45岁以上的有18人．根据需要，按照年龄进行分层抽样，要从这个志愿者组织成员中抽取28人开展活动，则45岁以上的成员应抽取_________人．

在三棱锥P−ABC中， PA=PC=AC=AB, AB⊥平面PAC，三棱锥P−ABC的顶点都在球O的球面上．若三棱锥P−ABC的体积为934，则球O的表面积为________.

若曲线y=x−3x−2x−1xx+1x+2x2+lnx−3+9lnx在点1,0处的切线与直线2x=ay−2平行，则a= .
三、解答题

下表是某高校2017年至2021年的毕业生中，从事大学生村官工作的人数：
经过相关系数的计算和绘制散点图分析，我们发现y与x的线性相关程度很高．
请建立y关于x的回归方程y=bx+a，并据此回归方程预测该校2023年的毕业生中，
去从事大学生村官工作的人数．
附： b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2,a=y−bx.

数列an与bn满足：a1=1，an是an+1与−3n的等差中项， bn=an−3n.
(1)求数列bn的通项公式：

(2)设cn=bn+lg2|bn|，求数列c2n−1的前n项和Tn.

如图，在直三棱柱A1B1C1−ABC中， AB⊥BC，E是A1C的中点，D是线段AC上的点， A1C⊥ED ，A1A=AB=22BC.

(1)求证： A1C⊥平面EBD；

(2)求直线CD与平面BCE所成角的正弦值．

已知函数fx=2a+1x2−2x2lnx−4，e是自然对数的底数， ∀x>0,ex>x+1.
(1)求fx的单调区间；

(2)记p:fx有两个零点； q:a>ln2．求证：p是q的充要条件，
要求：先证充分性，再证必要性．

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆C的离心率等于23，抛物线y2=−8x的准线经过椭圆C的一个焦点F．椭圆C与x轴交于A，B两点，A的横坐标小于B的横坐标，M是椭圆C上异于A，B的动点，直线AM与直线x=3交于E点，设直线AM的斜率为k，BE的中点为T，点M关于直线FT的对称点为P．
(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在k，使P的纵坐标为0？若存在，求出使P的纵坐标为0的所有k的值；若不存在，请说明理由．

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2csα,y=2+2sinα(α为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知β∈0,π2，射线l1的极坐标方程为θ=β，射线l2的极坐标方程为θ=β+π3.
(1)直接写出曲线C的极坐标方程；

(2)若l1与C交于O、A两点，l2与C交于O、B两点，求|OA|+|OB|的取值范围．

[选修4−5：不等式选讲]
已知函数fx=|x+1|+|x−2|， gx=|x+2|−|x−1|
(1)求证： ∀x∈−∞,+∞， fx−gx≥0；

(2)已知a为常数， fx≤a≤gx有实数解．若m>0, n≥0，且2m+n=a，求1m+1m+n的最小值．
参考答案与试题解析
2021-2022学年云南省宣威市某校高三（下）月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
A
2.
【答案】
C
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的基本概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
C
3.
【答案】
C
【考点】
函数的求值
分段函数的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
C
4.
【答案】
D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：y=2sin(3x−π3)=2sin3(x−π9)，
故要得到y=2sin(3x−π3)的图象，
只需将函数y=2sin3x的图象向右平移π9个单位，
故选D．
5.
【答案】
B
【考点】
双曲线的特性
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
B
6.
【答案】
D
【考点】
对立事件的概率公式及运用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
D
7.
【答案】
B
【考点】
平面向量数量积的运算
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
B
8.
【答案】
C
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
此题暂无解析
【解答】
C
9.
【答案】
A
【考点】
由三视图求体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
A
10.
【答案】
B
【考点】
抛物线的求解
抛物线的性质
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
B
11.
【答案】
D
【考点】
向量的加法及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
D
12.
【答案】
B
【考点】
余弦定理
正弦定理
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
B
二、填空题
【答案】
14
【考点】
简单线性规划
求线性目标函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
14
【答案】
10
【考点】
分层抽样方法
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
10
【答案】
21π
【考点】
球的表面积和体积
球内接多面体
【解析】
此题暂无解析
【解答】
21π
【答案】
2
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
2
三、解答题
【答案】
解：依据题意得：
x=1+2+3+4+55=3
y=2+4+4+7+85=5，
i=15xi−x2=−22+−12+02+12+22=10
i=15xi−xyi−y=−2×−3+−1×−1+0×−1+1×2+2×3
=15，
b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2=1510=32,a=y−bx=5−32×3=12,
∴ 所求回归方程为y=32x+12．
当x=7时， y=32×7+12=11.
所以预测该校2023年的毕业生中，去从事大学生村官工作的人数大约为11人．
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：依据题意得：
x=1+2+3+4+55=3
y=2+4+4+7+85=5，
i=15xi−x2=−22+−12+02+12+22=10
i=15xi−xyi−y=−2×−3+−1×−1+0×−1+1×2+2×3
=15，
b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2=1510=32,a=y−bx=5−32×3=12,
∴ 所求回归方程为y=32x+12．
当x=7时， y=32×7+12=11.
所以预测该校2023年的毕业生中，去从事大学生村官工作的人数大约为11人．
【答案】
解：（1）∵ an是an+1与−3n的等差中项，
∴ 2an=an+1−3n ，∴ an+1=2an+3n．
∴ an+1−3n+1=2an−3n，即bn+1=2bn，
∴ bn=b12n−1=a1−3×2n−1=−2n,
∴ 数列bn的通项公式为bn=−2n．
（2）由（1）知： bn=−2n
∴ cn=n−2n，
∴ c2n−1=2n−1−22n−1，
∴ Tn=1+3+⋯+2n−1−2+23+25+⋯+22n−1
=1+2n−1n2−21−22n1−22
=n2+23−22n+13．
【考点】
数列递推式
等比数列的通项公式
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）∵ an是an+1与−3n的等差中项，
∴ 2an=an+1−3n ，∴ an+1=2an+3n．
∴ an+1−3n+1=2an−3n，即bn+1=2bn，
∴ bn=b12n−1=a1−3×2n−1=−2n,
∴ 数列bn的通项公式为bn=−2n．
（2）由（1）知： bn=−2n
∴ cn=n−2n，
∴ c2n−1=2n−1−22n−1，
∴ Tn=1+3+⋯+2n−1−2+23+25+⋯+22n−1
=1+2n−1n2−21−22n1−22
=n2+23−22n+13．
【答案】
（1）证明：连接A1B．设AB=a，由A1A=AB=22BC得A1A=a，BC=2a，
由三棱柱A1B1C1−ABC是直三棱柱得A1B=A1A2+AB2=2a，
∴ A1B=BC，
∵ E是A1C的中点，
∴ A1C⊥EB．
又∵ A1C⊥ED，EB∩ED=E, EB⊂平面EBD， ED⊂平面EBD，
∴ A1C⊥平面EBD．
（2）解：根据题意知直线CD与平面BCE所成的角与直线CA与平面A1BC所成的角相同．
设A1B的中点为H，连接AH、CH．由A1A=AB得AH⊥A1B
∴ AH=22AB=22a
∵ 三棱柱A1B1C1−ABC是直三棱柱，∴ 侧棱B1B⊥底面ABC．
∵ BC⊂底面ABC，∴ B1B⊥BC，
又∵ AB⊥BC，AB∩B1B=B，AB⊂平面ABB1A1,B1B⊂平面ABB1A1，
∴ BC⊥平面ABB1A1，
由BC⊂平面A1BC得平面A1BC⊥平面ABB1A1，
再由平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B，AH⊂平面A1BC，
AH⊥A1B得AH⊥平面A1BC，
∴ CH是CA在平面A1BC内的射影．
∴ ∠ACH是CA与平面A1BC所成的角．
由已知得 sin∠ACH=AHAC=22a3a=223=66.
【考点】
直线与平面垂直的判定
直线与平面所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）证明：连接A1B．设AB=a，由A1A=AB=22BC得A1A=a，BC=2a，
由三棱柱A1B1C1−ABC是直三棱柱得A1B=A1A2+AB2=2a，
∴ A1B=BC，
∵ E是A1C的中点，
∴ A1C⊥EB．
又∵ A1C⊥ED，EB∩ED=E, EB⊂平面EBD， ED⊂平面EBD，
∴ A1C⊥平面EBD．
（2）解：根据题意知直线CD与平面BCE所成的角与直线CA与平面A1BC所成的角相同．
设A1B的中点为H，连接AH、CH．由A1A=AB得AH⊥A1B
∴ AH=22AB=22a
∵ 三棱柱A1B1C1−ABC是直三棱柱，∴ 侧棱B1B⊥底面ABC．
∵ BC⊂底面ABC，∴ B1B⊥BC，
又∵ AB⊥BC，AB∩B1B=B，AB⊂平面ABB1A1,B1B⊂平面ABB1A1，
∴ BC⊥平面ABB1A1，
由BC⊂平面A1BC得平面A1BC⊥平面ABB1A1，
再由平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B，AH⊂平面A1BC，
AH⊥A1B得AH⊥平面A1BC，
∴ CH是CA在平面A1BC内的射影．
∴ ∠ACH是CA与平面A1BC所成的角．
由已知得 sin∠ACH=AHAC=22a3a=223=66.
【答案】
（1）解：∵ fx=2a+1x2−2x2lnx−4，
∴ fx的定义域为0,+∞,f′x=4xa−lnx．
∵ 当00，
∴ fx在0,ea上是增函数；
∵ 当x>ea时， f′x<0，
∴ fx在ea,+∞上是减函数．
∴ fx的单调递增区间为（0,ea]；单调递减区间为[ea,+∞）.
（2）证明：充分性．
由（1）知，当x=ea时，fx取得最大值，
即fx的最大值为fea=e2a−4．
由fx有两个零点，得e2a−4>0，解得a>ln2，
∴ a>ln2 ．
下面证必要性．
∵ a>ln2，∴ e2a>4．∴ fea=e2a−4>0，
∵ a>ln2>0，∀x>0,ex>x+1，∴ e2a>2a+1>2a，
∴ fe−a=e−2a4a+1−4=4a+1e2a−4<4a+12a−4=12a−2<12ln2−2=1ln4−2<0，
∴ ∃x1∈e−a,ea，使fx1=0；
又∵ fea+1=−e2a+2−4<0，
∴ ∃x2∈ea,ea+1，使fx2=0，
∵ fx在（0,ea]上单调递增，在[ea,+∞）上单调递减，
∴ ∀x，x≠x1且x≠x2，易得fx≠0，
∴ 当a>ln2时，fx有两个零点．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）解：∵ fx=2a+1x2−2x2lnx−4，
∴ fx的定义域为0,+∞,f′x=4xa−lnx．
∵ 当00，
∴ fx在0,ea上是增函数；
∵ 当x>ea时， f′x<0，
∴ fx在ea,+∞上是减函数．
∴ fx的单调递增区间为（0,ea]；单调递减区间为[ea,+∞）.
（2）证明：充分性．
由（1）知，当x=ea时，fx取得最大值，
即fx的最大值为fea=e2a−4．
由fx有两个零点，得e2a−4>0，解得a>ln2，
∴ a>ln2 ．
下面证必要性．
∵ a>ln2，∴ e2a>4．∴ fea=e2a−4>0，
∵ a>ln2>0，∀x>0,ex>x+1，∴ e2a>2a+1>2a，
∴ fe−a=e−2a4a+1−4=4a+1e2a−4<4a+12a−4=12a−2<12ln2−2=1ln4−2<0，
∴ ∃x1∈e−a,ea，使fx1=0；
又∵ fea+1=−e2a+2−4<0，
∴ ∃x2∈ea,ea+1，使fx2=0，
∵ fx在（0,ea]上单调递增，在[ea,+∞）上单调递减，
∴ ∀x，x≠x1且x≠x2，易得fx≠0，
∴ 当a>ln2时，fx有两个零点．
【答案】
解：（1）设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，由抛物线y2=−8x的准线经过椭圆C的一个焦点F得F2,0，
根据已知得 c=2，ca=23，a2=b2+c2，
解方程组得 c=2,b=5,a=3.
∴ 椭圆C的方程为x29+y25=1．
（2）存在k，使P的纵坐标为0，且k的取值范围为−∞,0∪0,+∞，
由已知得A−3,0,B3,0，k≠0，直线AM的方程为y=kx+3，
由 y=kx+3,x29+y25=1 得5+9k2x2+54k2x+81k2−45=0，
∴ Δ=54k22−45+9k281k2−45=900>0．
由已知得−3xM=81k2−455+9k2，解得xM=15−27k25+9k2，
∴ yM=k15−27k25+9k2+3=30k5+9k2．
∴ M15−27k25+9k2,30k5+9k2，
解y=kx+3,x=3,得x=3,y=6k.∴ E3,6k，
由BE的中点为T，得T3,3k．
∴ FB→=1,0,FT→=1,3k，FM→=5−45k25+9k2,30k5+9k2=55+9k21−9k2,6k.
∵ cs=FB→⋅FT→|FB→||FT→|=11+9k2,
cs=FM→⋅FT→FM→FT→=1−9k2+18k21+9k2×1−9k22+36k2=11+9k2,
∴ cs又∵ 0≤≤π，0≤≤π，
∴ =，
∴ ∠MFT=∠BFT，即FT平分∠MFB,
∴ 直线FM与直线FB关于直线FT对称,
∴ 点P在直线FB上，即点P在x轴上．
∴ ∀k≠0，P的纵坐标为0．
【考点】
椭圆的标准方程
圆锥曲线的综合问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，由抛物线y2=−8x的准线经过椭圆C的一个焦点F得F2,0，
根据已知得 c=2，ca=23，a2=b2+c2，
解方程组得 c=2,b=5,a=3.
∴ 椭圆C的方程为x29+y25=1．
（2）存在k，使P的纵坐标为0，且k的取值范围为−∞,0∪0,+∞，
由已知得A−3,0,B3,0，k≠0，直线AM的方程为y=kx+3，
由 y=kx+3,x29+y25=1 得5+9k2x2+54k2x+81k2−45=0，
∴ Δ=54k22−45+9k281k2−45=900>0．
由已知得−3xM=81k2−455+9k2，解得xM=15−27k25+9k2，
∴ yM=k15−27k25+9k2+3=30k5+9k2．
∴ M15−27k25+9k2,30k5+9k2，
解y=kx+3,x=3,得x=3,y=6k.∴ E3,6k，
由BE的中点为T，得T3,3k．
∴ FB→=1,0,FT→=1,3k，FM→=5−45k25+9k2,30k5+9k2=55+9k21−9k2,6k.
∵ cs=FB→⋅FT→|FB→||FT→|=11+9k2,
cs=FM→⋅FT→FM→FT→=1−9k2+18k21+9k2×1−9k22+36k2=11+9k2,
∴ cs又∵ 0≤≤π，0≤≤π，
∴ =，
∴ ∠MFT=∠BFT，即FT平分∠MFB,
∴ 直线FM与直线FB关于直线FT对称,
∴ 点P在直线FB上，即点P在x轴上．
∴ ∀k≠0，P的纵坐标为0．
【答案】
解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．
（2）当β∈0,π2时，
将θ=β代入ρ=4sinθ得ρ=4sinβ，即|OA|=4sinβ,
将θ=β+π3代入ρ=4sinθ得ρ=4sinβ+π3=2sinβ+23csβ,
即|OB|=2sinβ+23csβ，
∴ |OA|+|OB|=6sinβ+23csβ=43sinβ+π6．
∵ β∈0,π2，
∴ π6<β+π6<2π3，
∴ 12∴ |OA|+|OB|的取值范围为（23,43]．
【考点】
圆的极坐标方程
圆的参数方程
正弦函数的定义域和值域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．
（2）当β∈0,π2时，
将θ=β代入ρ=4sinθ得ρ=4sinβ，即|OA|=4sinβ,
将θ=β+π3代入ρ=4sinθ得ρ=4sinβ+π3=2sinβ+23csβ,
即|OB|=2sinβ+23csβ，
∴ |OA|+|OB|=6sinβ+23csβ=43sinβ+π6．
∵ β∈0,π2，
∴ π6<β+π6<2π3，
∴ 12∴ |OA|+|OB|的取值范围为（23,43]．
【答案】
（1）证明：∵ fx=|x+1|+|x−2|≥|x+1−x−2|=3，且f2=3，
∴ fx的最小值为3．
∵ gx=|x+2|=|x−1|≤|x+2−x−1|=3，且g2=3
∴ gx的最大值为3.
∴ ∀x∈−∞,+∞, fx≥gx，即fx−gx≥0．
（2）解：由（1）知： ∀x∈−∞,+∞ fx的最小值为3， gx的最大值为3
根据已知设x0是fx≤a≤gx的一个解，则3≤fx0≤a≤gx0≤3
∴ a=3,2m+n=3
∵ m>0,n≥0， m+m+n≥2mm+n， 1m+1m+n≥21m×1m+n
∴ 1m+1m+n=13×(2m+n)(1m+1m+n)=13m+m+n1m+1m+n≥43．
当m=32， n=0时，1m+1m+n=43
∴ 1m+1m+n的最小值为43．
【考点】
绝对值不等式的解法与证明
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）证明：∵ fx=|x+1|+|x−2|≥|x+1−x−2|=3，且f2=3，
∴ fx的最小值为3．
∵ gx=|x+2|=|x−1|≤|x+2−x−1|=3，且g2=3
∴ gx的最大值为3.
∴ ∀x∈−∞,+∞, fx≥gx，即fx−gx≥0．
（2）解：由（1）知： ∀x∈−∞,+∞ fx的最小值为3， gx的最大值为3
根据已知设x0是fx≤a≤gx的一个解，则3≤fx0≤a≤gx0≤3
∴ a=3,2m+n=3
∵ m>0,n≥0， m+m+n≥2mm+n， 1m+1m+n≥21m×1m+n
∴ 1m+1m+n=13×(2m+n)(1m+1m+n)=13m+m+n1m+1m+n≥43．
当m=32， n=0时，1m+1m+n=43
∴ 1m+1m+n的最小值为43．