2021-2022学年安徽省宣城市某校高一（下）月考数学试卷

这是一份2021-2022学年安徽省宣城市某校高一（下）月考数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知复数z满足(i−1)z＝−i（i为虚数单位），则|z|＝（ ）
A.2B.−22C.22D.1

2. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A:B:C=1:2:3，则a:b:c= ( )
A.1:2:3B.3:2:1C.2:3:1D.1:3:2

3. 在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→=( )
A.34AB→−14AC→B.14AB→−34AC→
C.34AB→+14AC→D.14AB→+34AC→

4. 设x，y∈R，向量a→=x,1，b→=1,y，c→=2,−4且a→⊥c→，b→//c→，则|a→+b→|=( )
A.5B.25C.10D.10

5. 若向量a→，b→满足|a→|=2,|b→|=3,|a→−b→|=7，则a→⋅a→+b→=（ ）
A.5B.6C.7D.8

6. 已知向量a→，b→是两个非零向量，且|a→|=|b→|=|a→+b→|，则a→与b→夹角为( )
A.5π6B.2π3C.π6D.π3

7. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2=b2−c2+2ac，则角B的大小是（ ）
A.45∘B.60∘C.90∘D.135∘

8. 在△ABC中，如果sinA=3sinC，B=30∘，b=2，则△ABC的面积为( )
A.1B.3C.2D.4
二、多选题

已知复数z满足(1−i)z＝2i，则下列关于复数z的结论正确的是（ ）
A.|z|=2
B.复数z的共轭复数为z＝−1+i
C.复平面内表示复数z的点位于第二象限
D.复数z是方程x2+2x+2＝0的一个根

下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A.e1→=0,0,e2→=1,1
B.e1→=1,2,e2→=−2,1
C.e1→=−3,4, e2→=35,−45
D.e1→=2,6,e2→=−1,−3

对于△ABC，有如下命题，其中错误的是（ ）
A.若sin2A+sin2B+cs2C<1，则△ABC为锐角三角形
B.若AB=3,AC=1,B=30∘，则△ABC的面积为32
C.P在△ABC所在平面内，若PA→+PB→+PC→=0→，则P是△ABC的重心
D.若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形

在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，3a=2csinA，且0A.C=π3
B.若c=72，则csB=17
C.若sinA=2csBsinC，则△ABC是等边三角形
D.若△ABC的面积是23，则该三角形外接圆半径为4
三、填空题

已知向量a→，b→的夹角为30∘，且|a→|=2，|b→|=3，则|a→+2b→|=________．

如图，P为△ABC内一点，且AP→=13AB→+15AC→，延长BP交AC于点E，若AE→=λAC→，则实数λ的值为________.


在△ABC中，若满足C=π6，c=5，a=x的三角形有两个，则实数x的取值范围为________．

设角A，B，C是△ABC的三个内角，已知向量m→=sinA+sinC,sinB−sinA,n→=sinA−sinC,sinB，且m→⊥n→．则角C的大小为________.
四、解答题

已知 |a→|=2，|b→|=1，(2a→−3b→)⋅(2a→+b→)=17.

(1)求a→与b→的夹角和|a→+b→|的值；

(2)设c→=ma→+2b→，d→=2a→−b→，若c→与d→共线，求实数m的值.

已知复数z=m−3m+3+m2−2m−15i （i是虚数单位）.
(1)复数z是纯虚数，求实数m的值；

(2)若z对应复平面上的点在第四象限，求m的取值范围.

如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45∘方向，距A有9海里的B处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15∘方向行驶，若甲船沿南偏东θ度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船．问用多少小时追上乙船，并求sinθ的值．(结果保留根号，无需求近似值)


如图，在菱形ABCD中， BE→=12BC→，CF→=2FD→．

(1)若EF→=xAB→+yAD→，求3x+2y的值；

(2)若|AB→|=6，∠BAD=60∘，求AC→⋅EF→.

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinBcsC+csinBcsA=12b，且c>b .
(1)求角B的值；

(2)若A=π6，且△ABC的面积为43，求BC边上的中线AM的长．

设a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若b−acsC=33asinC．
(1)求角A；

(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求△ABC的周长．
参考答案与试题解析
2021-2022学年安徽省宣城市某校高一（下）月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
复数的模
【解析】
根据复数的基本运算法则进行化简即可．
【解答】
因为z=i1−i=−1+i2，
∴ |z|=(12)2+(12)2=22，
2.
【答案】
D
【考点】
正弦定理
【解析】
求出三角形的内角，利用正弦定理直接求解即可．
【解答】
解：在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，
若A:B:C=1:2:3，
又A+B+C=π，
∴ A=π6，B=π3，C=π2．
由正弦定理可得
a:b:c=sinA:sinB:sinC
=12：32：1=1:3:2．
故选D．
3.
【答案】
A
【考点】
向量加减混合运算及其几何意义
向量在几何中的应用
【解析】
答案未提供解析．
【解答】
解：如图，
则EB→=ED→+DB→=12AD→+12CB→
=12×12AB→+AC→+12AB→−AC→
=34AB→−14AC→．
故选A．
4.
【答案】
C
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
数量积判断两个平面向量的垂直关系
向量的模
【解析】
首先利用向量垂直和平行，构造方程，求出x，y，再代入求模即可.
【解答】
解：∵ a→⊥c→，且b→//c→，
a→=x,1，b→=1,y，c→=2,−4，
∴ 2x−4=0,−4−2y=0,
解得x=2,y=−2.
∴ a→+b→=3,−1，
∴ |a→+b→|=9+1=10.
故选C．
5.
【答案】
C
【考点】
平面向量数量积的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
C
6.
【答案】
B
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
将|a→|=|b→|=|a→+b→|各项平方，再根据向量的夹角公式求解即可．
【解答】
解：设a→与b→的夹角为θ,
由|a→|=|b→|=|a→+b→|，
得a→2=b→2=a→2+b→2+2a→⋅b→
∴ a→2=b→2=−2a→⋅b→
∴ csθ=a→⋅b→|a→|⋅|b→|=−12，
∵θ∈0,π
∴θ=2π3.
故选B.
7.
【答案】
A
【考点】
余弦定理
【解析】
左侧图片未给出解析
【解答】
解：△ABC中 , ∵a2=b2−c2+2ac，可得 : a2+c2−b2=2ac，
∴由余弦定理可得 : csB=a2+c2−b22ac=2ac2ac=22，
∵B∈(0,π)，∴B=45∘ ，
故选A．
8.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
余弦定理
解三角形
【解析】
在△ABC中，由正弦定理得到a=3c，结合余弦定理，我们易求出b与c的关系，进而得到B与C的关系，然后根据三角形内角和为180∘，即可求出A角的大小，再由△ABC的面积为12bc⋅sinA，运算求得结果．
【解答】
解：在△ABC中，由sinA=3sinC，可得a=3c，
又∵ B=30∘，由余弦定理，可得：csB=cs30∘=32=a2+c2−b22ac=4c2−423c2，解得c=2．
故△ABC是等腰三角形，C=B=30∘，A=120∘．
故△ABC的面积为12bc⋅sinA=3.
故选B．
二、多选题
【答案】
A,C,D
【考点】
复数的运算
复数的基本概念
复数代数形式的乘除运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为1−iz=2t，所以z=2i1−i=2i1+i1−i1+i=−2+2i2=−1+i，所以|z|=1+1=2，故A正确；
所以z=−1−i，故B错误；
由z=−1+i知，复数z对应的点为−1,1，它在第二象限，故C正确；
因为−1+i2+2−1+i+2=−2i−2+2i+2=0，所以D正确．
故选：ACD．
【答案】
A,C,D
【考点】
平面向量的基本定理及其意义
向量的共线定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
ACD
【答案】
A,B,D
【考点】
正弦定理
命题的真假判断与应用
三角形的面积公式
同角三角函数间的基本关系
向量在几何中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
ABD
【答案】
A,C
【考点】
解三角形
余弦定理
正弦定理
同角三角函数间的基本关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A，由正弦定理可知，
3sinA=2sinCsinA，
故sinC=32.
又因为0故C=π3，A正确；
B，由正弦定理，得csinC=bsinB，
解得sinB=437，
故cs2B=1−sin2B=149.
又因为c所以无法确定角B余弦值的正负性，B错误；
C，由sinA=2csBsinC，
故a=2csB⋅c，
由余弦定理得，
a=2⋅a2+c2−b22ac⋅c
整理得：c2−b2=0，
故c=b.
又因为C=π3，
故△ABC是等边三角形，C正确；
D，由12absinC=23得，a=2，
又由余弦定理可知，
csC=a2+b2−c22ab=12，
解得，c=23，
故由正弦定理知，2R=csinC=4，
则R=2，D错误.
故选AC.
三、填空题
【答案】
27
【考点】
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意可得，
a→+2b→2=a→2+4a→⋅b→+4b→2
=4+4×2×3×32+4×3=28，
则|a→+2b→|=28=27．
故答案为：27．
【答案】
310
【考点】
向量在几何中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
310
【答案】
5,10
【考点】
正弦定理的应用
【解析】
利用正弦定理得得sinA=x10，因为满足条件的三角形有两个，所以sinπ6【解答】
由正弦定理得asinA=csinC得sinA=x10
因为满足条件的三角形有两个，所以sinπ6故答案为：5,10
【答案】
π3
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
π3
四、解答题
【答案】
解：(1)设a→与b→ 的夹角为 θ，
∵(2a→−3b→)⋅(2a→+b→)=17，
∴4a→2−4a→⋅b→−3b→2=17，
即4×22−4×2×1×csθ−3×12=17，csθ=−12，
又∵0≤θ<π，
∴θ=2π3，
∴ a→与b→的夹角2π3.
∵|a→+b→|=(a→+b→)2=a→2+2a→⋅b→+b→2
=22+2×2×1×cs2π3+12=3，
∴|a→+b→|=3.
(2)因为c→与d→共线，所以存在λ，使λd→=c→,
λ(2a→−b→)=ma→+2b→，(m−2λ)a→+(λ+2)b→=0，
因为a→与b→ 不共线，
所以m=2λ,λ=−2,
所以，m=−4.
【考点】
共线向量与共面向量
数量积表示两个向量的夹角
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设a→与b→ 的夹角为 θ，
∵(2a→−3b→)⋅(2a→+b→)=17，
∴4a→2−4a→⋅b→−3b→2=17，
即4×22−4×2×1×csθ−3×12=17，csθ=−12，
又∵0≤θ<π，
∴θ=2π3，
∴ a→与b→的夹角2π3.
∵|a→+b→|=(a→+b→)2=a→2+2a→⋅b→+b→2
=22+2×2×1×cs2π3+12=3，
∴|a→+b→|=3.
(2)因为c→与d→共线，所以存在λ，使λd→=c→,
λ(2a→−b→)=ma→+2b→，(m−2λ)a→+(λ+2)b→=0，
因为a→与b→ 不共线，
所以m=2λ,λ=−2,
所以，m=−4.
【答案】
解：(1)m−3m+3=0且m2−2m−15≠0⇒m=3.
(2)m−3m+3>0且m2−2m−15<0⇒3【考点】
复数的基本概念
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)m−3m+3=0且m2−2m−15≠0⇒m=3.
(2)m−3m+3>0且m2−2m−15<0⇒3【答案】
解：设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，
则在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，
∠ABC=180∘−15∘−45∘=120∘，
由余弦定理得，28t2=81+20t2−2×9×20t×−12，
即128t2−60t−27=0，
解得t=34或t=−932（舍去），
∴ AC=21（海里）,BC=15（海里）．
根据正弦定理．
得sin∠BAC=BC⋅sin∠ABCAC=5314，
则cs∠BAC=1−75142=1114，又∠ABC=120∘,∠BAC为锐角，
∴ θ=45∘−∠BAC，
sinθ=sin45∘−∠BAC=sin45∘cs∠BAC−cs45∘sin∠BAC=112−5628.
【考点】
解三角形的实际应用
在实际问题中建立三角函数模型
已知三角函数模型的应用问题
余弦定理的应用
正弦定理的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，
则在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，
∠ABC=180∘−15∘−45∘=120∘，
由余弦定理得，28t2=81+20t2−2×9×20t×−12，
即128t2−60t−27=0，
解得t=34或t=−932（舍去），
∴ AC=21（海里）,BC=15（海里）．
根据正弦定理．
得sin∠BAC=BC⋅sin∠ABCAC=5314，
则cs∠BAC=1−75142=1114，又∠ABC=120∘,∠BAC为锐角，
∴ θ=45∘−∠BAC，
sinθ=sin45∘−∠BAC=sin45∘cs∠BAC−cs45∘sin∠BAC=112−5628.
【答案】
解：(1)∵BE→=12BC→，CF→=2FD→，
∴EF→=EC→+CF→
=12BC→−23DC→
=12AD→−23AB→ ，
∴x=−23，y=12，
故3x+2y=3×−23+2×12=−1．
(2)∵AC→=AB→+AD→，
∴AC→⋅EF→=(AB→+AD→)⋅12AD→−23AB→
=12AD→2−23AB→2−16AB→⋅AD→，
∵ 四边形ABCD为菱形，
∴|AD→|=|AB→|=6，
∴AC→⋅EF→=−16|AB→|2−16|AB→|2cs∠BAD
=−16×36−16×36×12=−9，
即AC→⋅EF→=−9．
【考点】
向量加减混合运算及其几何意义
平面向量数量积
【解析】
(1)由向量线性运算即可求得x、y值；
(2)先化AC→=AB→+AD→ ，再结合(1)中关系即可求解AC→⋅EF→
【解答】
解：(1)∵BE→=12BC→，CF→=2FD→，
∴EF→=EC→+CF→
=12BC→−23DC→
=12AD→−23AB→ ，
∴x=−23，y=12，
故3x+2y=3×−23+2×12=−1．
(2)∵AC→=AB→+AD→，
∴AC→⋅EF→=(AB→+AD→)⋅12AD→−23AB→
=12AD→2−23AB→2−16AB→⋅AD→，
∵ 四边形ABCD为菱形，
∴|AD→|=|AB→|=6，
∴AC→⋅EF→=−16|AB→|2−16|AB→|2cs∠BAD
=−16×36−16×36×12=−9，
即AC→⋅EF→=−9．
【答案】
解：(1)∵ asinBcsC+csinBcsA=12b，
由正弦定理得sinAsinBcsC+sinCsinBcsA=12sinB，
∵ B∈0,π，sinB≠0，
∴ sinAcsC+sinCcsA=12，即sinA+C=12，得sinB=12 .
又c>b，
∴ 0∴ B=π6 .
(2)由(1)知B=π6，若A=π6，故a=b，
则S△ABC=12absinC=12a2sin2π3=43，
∴ a=4，a=−4（舍），
又在△AMC中， AM2=AC2+MC2−2AC⋅MCcs2π3，
∴ AM2=AC2+12AC2−2⋅AC⋅12AC⋅cs2π3
=42+22−2×4×2×−12=28，
∴ AM=27 .
【考点】
两角和与差的正弦公式
正弦定理
余弦定理
解三角形
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ asinBcsC+csinBcsA=12b，
由正弦定理得sinAsinBcsC+sinCsinBcsA=12sinB，
∵ B∈0,π，sinB≠0，
∴ sinAcsC+sinCcsA=12，即sinA+C=12，得sinB=12 .
又c>b，
∴ 0∴ B=π6 .
(2)由(1)知B=π6，若A=π6，故a=b，
则S△ABC=12absinC=12a2sin2π3=43，
∴ a=4，a=−4（舍），
又在△AMC中， AM2=AC2+MC2−2AC⋅MCcs2π3，
∴ AM2=AC2+12AC2−2⋅AC⋅12AC⋅cs2π3
=42+22−2×4×2×−12=28，
∴ AM=27 .
【答案】
解：（1）在△ABC中，∵ b−acsC=33asinC，
∴ b＝a×a2+b2−c22ab+33asinC．
即b2+c2−a2=233absinC．
又∵ b2+c2−a2＝2bccsA，
∴ 33asinC＝ccsA，
∴ 33sinAsinC＝sinCcsA，
∴ tanA=3．
∴ A=π3．
（2）∵ △ABC的面积为3，
∴ 12bcsinA=3，得bc=4
由a2=b2+c2−2bccsA，
可得4=b2+c2−bc
即b2+c2=8,b+c2−2bc=8，
解得b+c=4
所以求△ABC的周长为6.
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）在△ABC中，∵ b−acsC=33asinC，
∴ b＝a×a2+b2−c22ab+33asinC．
即b2+c2−a2=233absinC．
又∵ b2+c2−a2＝2bccsA，
∴ 33asinC＝ccsA，
∴ 33sinAsinC＝sinCcsA，
∴ tanA=3．
∴ A=π3．
（2）∵ △ABC的面积为3，
∴ 12bcsinA=3，得bc=4
由a2=b2+c2−2bccsA，
可得4=b2+c2−bc
即b2+c2=8,b+c2−2bc=8，
解得b+c=4
所以求△ABC的周长为6.