2021-2022学年湖南省郴州市某校高一（下）月考数学试卷

这是一份2021-2022学年湖南省郴州市某校高一（下）月考数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 若集合A={−1,−14,0,1,4}，B={y|y=4x}，则A∩B=（ ）
A.1,4B.0,1,4
C.−14,0,1,4D.{−1, −14,0,1,4}

2. “|a→|=|b→|”是“a→=b→”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3. 已知AB→=12,5，BC→=2,m，且A，B，C三点共线，则m=（ ）
A.10B.15C.20D.25

4. 下列各式的结果一定为零向量的是（ ）
A.CA→+AB→−BC→B.MB→+NM→−NB→
C.CA→−BA→−DC→+BD→D.BO→+CO→+OA→+OC→

5. 已知a>0,b>0且2a+5b=10，则ab的最大值为（ ）
A.2B.5C.32D.52

6. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=π3，E为BC的中点，若AF→=λAB→，且AE⊥DF，则λ=（ ）

A.45B.35C.34D.12

7. 某生态公园有一块圆心角为π3的扇形土地，打算种植花草供游人欣赏，如图所示，其半径OA=100米．若要在弧AB⌢上找一点C，沿线段AC和BC铺设一条观光道路，则四边形OACB面积的最大值为（ ）

A.2500平方米B.25003平方米
C.5000平方米D.50003平方米

8. 已知函数fx=3x−2+3−x+2+acsπx只有一个零点，则a=（ ）
A.0B.1C.−1D.−2
二、多选题

在△ABC中，AC=23，BC=2，A=π6，则C的值可能为（ ）
A.π6B.π3C.π2D.2π3

已知a→，b→，c→均为非零向量，下列命题错误的是（ ）
A.∃λ∈R，λa→+b→=a→⋅b→
B.a→⋅b→⋅c→=a→⋅b→⋅c→可能成立
C.若a→⋅b→=b→⋅c→，则a→=c→
D.若a→⋅b→=1，则|a→|=1或|b→|=1

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinB+sinC=2sinA（ ）
A.若A=π3,c=1，则a=1
B.若A=π3,c=1，则△ABC的面积为π
C.若b=2，则A的最大值为π3
D.若b=2，则△ABC周长的取值范围为4,12

已知函数fx=ln1+sinx1−sinx，则（ ）
A.fx的最小正周期为πB.fx的图象关于直线x=π2对称
C.fx在π2,3π2上单调递减D.fx的值域为R
三、填空题

在△ABC中，已知AC=2，AB=3，A=45∘，则BC=_________.

已知向量a→，b→的夹角为π6，且|a→|=|a→−b→|，则向量a→与a→−b→的夹角为________.

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c−bcsA=acsB，a=2，则△ABC外接圆的面积为________.

飞镖运动于十五世纪兴起于英格兰，二十世纪初，成为酒吧常见的日常休闲活动．某热爱飞镖的小朋友用纸片折出如图所示的十字飞镖ABCDEFGH，该十字飞镖由四个全等的三角形和一个正方形组成．在△ABC中，AB=13,AC=5,BC=4，边DE上有4个不同的点P1,P2,P3,P4，且P1P2=P2P3=P3P4=2EP1=2DP4．记ai=BC→⋅BPi→i=1,2,3,4，则a1+a2+a3+a4=________.

四、解答题

如图，在△ABC中，AC→=3AE→,BC→=3BD→.

(1)设BE→=xAB→+yAC→，求x+y的值；

(2)若AD→=a→,BE→=b→，试用a→，b→表示AB→.

在①bc=a+cb，②bc=sinBcsC两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题．
问题：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且________，a=4 ，B=π2，若在边AC上存在点D，使得AD→=34AC→，求BD的长．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

已知函数fx=2ax2+4x+2
(1)当a=1时，求fx的值域；

(2)若fx有最大值16，求a的值．

如图，在海岸边A点的观测站发现南偏西30∘方向上，距离A点20海里的C处有一艘走私船，立刻通知了停在A的正东方向上，且距离A点103−1海里的B 处的缉私艇，缉私艇立刻奉命以103海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/时的速度从C处沿南偏东15∘方向逃窜．

(1)刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多远，在缉私艇的什么方向？

(2)缉私艇至少需要多长时间追上走私船？

如图，在△ABC中，AB=8,AC=BC=5.

(1)若点D为线段AB上一动点，求BD→⋅CD→的最小值；

(2)若点E满足AE→=12AC→+16AB→，直线AE与BC交于点F，求|CF→||CB→|的值．

已知函数fx=43sin22x+4sin2xcs2x−23−2cs4x+π6
(1)求fx的值域；

(2)讨论函数gx=13fx+|fx|−a2−1在0,19π24上的零点个数．
参考答案与试题解析
2021-2022学年湖南省郴州市某校高一（下）月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为B=0,+∞，所以A∩B=1,4
2.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
“|a→|=|b→|”，则向量a→，b→的方向不一定相同；若a→=b→，则|a→|=|b→|．故“|a→|=|b→|“是a→=b→的必要不充分条件．
3.
【答案】
C
【考点】
向量的共线定理
平面向量共线（平行）的坐标表示
三点共线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为A，B，C三点共线，所以2×5−12m=0，解得m=20.
4.
【答案】
B
【考点】
向量加减混合运算及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：CA→+AB→−BC→=2CB→，不一定为零向量；
MB→+NM→−NB→=0→；
CA→−BA→−DC→+BD→=2CD→，不一定为零向量；
BO→+CO→+OA→+OC→=BA→，不一定为零向量．
5.
【答案】
D
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为2a+5b=10≥22a⋅5b，所以ab≤52，当且仅当2a=5b=5时，等号成立．
6.
【答案】
A
【考点】
向量在几何中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设菱形ABCD的边长为a．因为AE⊥DF，所以AE→⋅DF→=AB→+12AD→⋅DA→+λAB→
=−AB→⋅AD→+λ|AB→|2−12|AD→|2+12λAB→⋅AD→=−a22+λa2−a22+λa24=0．解得λ=45.
7.
【答案】
C
【考点】
函数模型的选择与应用
在实际问题中建立三角函数模型
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：S四边形OACB=S△OAC+S△OCB=12OA2⋅sin∠AOC+12OA2⋅sin∠BOC
=12OA2⋅sin∠AOC+sinπ3−∠AOC
=5000sin∠AOC+π3≤5000，当∠AOC=π6时，等号成立．
8.
【答案】
D
【考点】
函数的零点
由函数零点求参数取值范围问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：令函数gx=fx+2=3x+3−x+acsπx．因为gx=g−x，所以gx为偶函数，即fx+2为偶函数，所以函数fx的图象关于直线x=2对称．若fx只有一个零点，则f2=2+a=0，解得a=−2.
二、多选题
【答案】
A,C
【考点】
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由正弦定理可得BCsinA=ACsinB，解得sinB=32，所以B=π3或B=2π3，故C=π6或C=π2.
【答案】
A,C,D
【考点】
平面向量数量积的运算
平面向量数量积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
λa→+b→仍是向量，a→⋅b→不是向量，A错误．
若a→⋅b→=b→⋅c→=0，则a→⋅b→⋅c→=a→⋅b→⋅c→，B正确．
若b→=1,0，a→=3,2，c→=3,3，则a→⋅b→=b→⋅c→=3，但a→≠c→，C错误．
若a→⋅b→=1，则|a→|，|b→|均可能大于1，D错误．
【答案】
A,C,D
【考点】
正弦定理
余弦定理
解三角形
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为sinB+sinC=2sinA，所以b+c=2a，若c=1，则b=2a−1，csA=b2+c2−a22bc=3a2−4a+24a−2=12，解得a=1，
△ABC的面积S=12bcsinA=34，A正确，B错误．
若b=2，则c=2a−2，csA=b2+c2−a22bc=3a2−8a+88a−8=38a−1+1a−1+2−1≥382a−1⋅1a−1+2−1=12，
当且仅当a=2时，等号成立，所以A的最大值为π3，C正确．
若b=2，则根据三边关系可得a+c>ba+b>c即a+2a−2>2a+2>2a−2解得43，则4<3a<12，
△ABC的周长为a+b+c=3a，故△ABC周长的取值范围为4,12，D正确．
【答案】
B,C,D
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
同角三角函数间的基本关系
三角函数的定义域
正切函数的单调性
正切函数的值域
正切函数的定义域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：f(x)=ln1+sinx1−sinx=ln(sinx2+csx2)2(sinx2−csx2)2=2ln|tanx2+1tanx2−1|=2ln|tan(x2+π4)|
因为函数y=tanx2+π4的最小正周期为2π，且fx+2π=fx，所以fx的最小正周期为2π，A错误．
令|tanx2+π4|>0,解得−π2+kπ故fx的定义域为−π2+kπ,π2+kπk∈Z,
因为fπ2+x=ln1+sinπ2+x1−sinπ2+x=ln1+csx1−csx,
fπ2−x=ln1+sinπ2−x1−sinπ2−x=ln1+csx1−csx，
所以f(π2+x)=f(π2−x),f(x)的图象关于直线x=π2对称，B正确．
当π2+2kπ所以fx在π2+2kπ,3π2+2kπk∈Z上单调递减，C正确．
因为函数y=|tan(x2+π4)|在−π2+kπ,π2+kπk∈Z上的值域为0,+∞，所以fx的值域为R，D正确．
三、填空题
【答案】
5
【考点】
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由余弦定理得BC=AC2+AB2−2AC⋅ABcsA=5
【答案】
2π3
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
平面向量数量积的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图，
设a→=OA→，b→=OB→，依题意可得|OA→|=|BA→|，则∠AOB=∠ABO=π6，故所求夹角为∠OAB=2π3.
【答案】
4π3
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为2c−bcsA=acsB，所以2sinC−sinBcsA=sinAcsB，
2sinCcsA=sinAcsB+sinBcsA=sinA+B=sinC，
因为sinC≠0，
所以csA=12,A=π3，
因为2R=asinA=433，所以R=233,πR2=4π3.
【答案】
96
【考点】
向量在几何中的应用
余弦定理
三角形的面积公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：延长BC交DE于点Q，
因为∠CQE=∠CEQ+∠ECQ=∠ACB+∠ECQ=π2，所以BQ⊥DE，
在△ABC中，cs∠BAC=AB2+AC2−BC22AB⋅AC=6565，sin∠BAC=86565．
设BC边上的高为h，S△ABC=12AB⋅AC⋅sin∠BAC=12BC⋅h，解得h=2，
即CQ=2，ai=BC⋅BPi→=BC→⋅(BQ→+QPi→)=BC→⋅BQ→=24，
故a1+a2+a3+a4=4×24=96.
四、解答题
【答案】
解：（1）BE→=BA→+AE→=−AB→+13AC→
所以x=−1,y=13，
故x+y=−23．
（2）因为a→=AD→=AB→+13BC→，
b→=BE→=BA→+13AC→．
所以a→−b→=AB→+13BC→−BA→−13AC→
=2AB→+13BC→+CA→=2AB→+13BA→=53AB→
故AB→=35a→−35b→
【考点】
向量加减法的应用
向量在几何中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）BE→=BA→+AE→=−AB→+13AC→
所以x=−1,y=13，
故x+y=−23．
（2）因为a→=AD→=AB→+13BC→，
b→=BE→=BA→+13AC→．
所以a→−b→=AB→+13BC→−BA→−13AC→
=2AB→+13BC→+CA→=2AB→+13BA→=53AB→
故AB→=35a→−35b→
【答案】
解：选择条件①
由bc=a+cb，可得b2=c2+ac
因为B=π2，所以b2=c2+a2，则ac=a2．
因为a≠0，所以c=a=4,b=c2+a2=42,A=C=π4
因为AD→=34AC→，所以AD=32．
在△ABD中，BD=AB2+AD2−2AB⋅AD⋅csA=10
选择条件②
由bc=sinBcsC，可得sinBcsC=sinBsinC．
因为sinB≠0，所以tanC=1．
因为C∈0,π，所以C=π4
则A=π4,c=a=4,b=c2+a2=42．
因为AD→=34AC→，所以AD=32．
在△ABD中，BD=AB2+AD2−2AB⋅AD⋅csA=10
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：选择条件①
由bc=a+cb，可得b2=c2+ac
因为B=π2，所以b2=c2+a2，则ac=a2．
因为a≠0，所以c=a=4,b=c2+a2=42,A=C=π4
因为AD→=34AC→，所以AD=32．
在△ABD中，BD=AB2+AD2−2AB⋅AD⋅csA=10
选择条件②
由bc=sinBcsC，可得sinBcsC=sinBsinC．
因为sinB≠0，所以tanC=1．
因为C∈0,π，所以C=π4
则A=π4,c=a=4,b=c2+a2=42．
因为AD→=34AC→，所以AD=32．
在△ABD中，BD=AB2+AD2−2AB⋅AD⋅csA=10
【答案】
解：（1）当a=1时，fx=2x2+4x+2．
因为y=x2+4x+2=x+22−2≥−2，所以fx≥2−2=14
故fx的值域为[14,+∞） ．
（2）令t=ax2+4x+2
因为函数y=2t在其定义域内单调递增，
所以要使函数fx有最大值16，
则t=ax2+4x+2的最大值为4
故 a<0,a−42a2+4×−42a+2=4
解得a=−2
故a的值为−2．
【考点】
函数的值域及其求法
函数最值的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）当a=1时，fx=2x2+4x+2．
因为y=x2+4x+2=x+22−2≥−2，所以fx≥2−2=14
故fx的值域为[14,+∞） ．
（2）令t=ax2+4x+2
因为函数y=2t在其定义域内单调递增，
所以要使函数fx有最大值16，
则t=ax2+4x+2的最大值为4
故 a<0,a−42a2+4×−42a+2=4
解得a=−2
故a的值为−2．
【答案】
解：（1）由题意可知AB=103−1,AC=20,∠BAC=120∘．
在△ABC中，由正弦定理得BC=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cs120∘=120∘=106
由正弦定理得ACsin∠ABC=BCsin∠BAC，解得sin∠ABC=22，
所以∠ABC=45∘
故刚发现走私船时，走私船距缉私艇106海里，在缉私艇的西南方向上．
（2）如图，设t小时后缉私艇在D处追上走私船，
则CD=10t,BD=103t.
∠BCD=45∘+75∘=120∘．
在△BCD中，由正弦定理得103tsin120∘=10tsin∠CBD，
解得sin∠CBD=12，则∠CBD=30∘，
所以△BCD是等腰三角形．
10t=106，即t=6
故缉私艇至少需要6小时追上走私船．
【考点】
余弦定理
正弦定理
正弦定理的应用
余弦定理的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）由题意可知AB=103−1,AC=20,∠BAC=120∘．
在△ABC中，由正弦定理得BC=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cs120∘=120∘=106
由正弦定理得ACsin∠ABC=BCsin∠BAC，解得sin∠ABC=22，
所以∠ABC=45∘
故刚发现走私船时，走私船距缉私艇106海里，在缉私艇的西南方向上．
（2）如图，设t小时后缉私艇在D处追上走私船，
则CD=10t,BD=103t.
∠BCD=45∘+75∘=120∘．
在△BCD中，由正弦定理得103tsin120∘=10tsin∠CBD，
解得sin∠CBD=12，则∠CBD=30∘，
所以△BCD是等腰三角形．
10t=106，即t=6
故缉私艇至少需要6小时追上走私船．
【答案】
解：（1）如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，
则A0,0,B8,0,C4,3．
设Dt,00≤t≤8,BD→=t−8,0,CD→=t−4,−3
BD→⋅CD→=t−8t−4=t−62−4≥−4
故当t=6时，BD→⋅CD→取得最小值，且最小值为−4．
（2）设AF→=xAC→+yAB→，
因为C,B,F三点共线，所以x+y=1
设AF→=AE→，则AF→=u2AC→+u6AB→，
所以u2=x，u6=y，x+y=1， 解得u=32，x=34，y=14，
所以AF→=34AC→+14AB→
因为AB→=8,0,AC→=4,3，
所以AF→=34AC→+14AB→=5,94,CF→=AF→−AC→=1,−34
所以|CF→|=1+−342=54
故|CF→||CB→|=545=14
【考点】
平面向量的坐标运算
向量在几何中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，
则A0,0,B8,0,C4,3．
设Dt,00≤t≤8,BD→=t−8,0,CD→=t−4,−3
BD→⋅CD→=t−8t−4=t−62−4≥−4
故当t=6时，BD→⋅CD→取得最小值，且最小值为−4．
（2）设AF→=xAC→+yAB→，
因为C,B,F三点共线，所以x+y=1
设AF→=AE→，则AF→=u2AC→+u6AB→，
所以u2=x，u6=y，x+y=1， 解得u=32，x=34，y=14，
所以AF→=34AC→+14AB→
因为AB→=8,0,AC→=4,3，
所以AF→=34AC→+14AB→=5,94,CF→=AF→−AC→=1,−34
所以|CF→|=1+−342=54
故|CF→||CB→|=545=14
【答案】
解：（1）fx=43⋅1−cs4x2+2sin4x−23−232cs4x−12sin4x
=3sin4x−33cs4x=6sin4x−π3，
故了f(x)的值域为[− 6,6]．
（2）令t=4x−π3，则t∈−π3,17π6,gx在[0,19π24）]上的零点个数等于函数ht=136sint+|6sint|的图象与直线y=a2+1的交点个数．
当t∈−π3,0∪π,2π时，ht=0
当t∈(0,π)∪(2π,17π6]时，ht=4sint
所以h(t)=0,t∈[−π3,0]∪[π,2π]，4sint,t∈0,π∪2π,17π6，
ht的图象如图所示，a2+1≥1．
当1≤a2+1<2，即−1ht的图象与直线y=a2+1的交点个数为3，
故gx在0,19π24上的零点个数为3．
当2≤a2+1<4，即−3ht的图象与直线y=a2+1的交点个数为4，
故gx在0,19π24上的零点个数为4.
当a2+1=4，即a=±3时，ht的图象与直线y=a2+1的交点个数为2，
故gx在0,19π24上的零点个数为2．
当a2+1>4，即a<−3或a>3时，,ht的图象与直线y=a2+1没有交点，
故gx在0,19π24上的零点个数为0．
【考点】
正弦函数的定义域和值域
三角函数的恒等变换及化简求值
函数零点的判定定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）fx=43⋅1−cs4x2+2sin4x−23−232cs4x−12sin4x
=3sin4x−33cs4x=6sin4x−π3，
故了f(x)的值域为[− 6,6]．
（2）令t=4x−π3，则t∈−π3,17π6,gx在[0,19π24）]上的零点个数等于函数ht=136sint+|6sint|的图象与直线y=a2+1的交点个数．
当t∈−π3,0∪π,2π时，ht=0
当t∈(0,π)∪(2π,17π6]时，ht=4sint
所以h(t)=0,t∈[−π3,0]∪[π,2π]，4sint,t∈0,π∪2π,17π6，
ht的图象如图所示，a2+1≥1．
当1≤a2+1<2，即−1ht的图象与直线y=a2+1的交点个数为3，
故gx在0,19π24上的零点个数为3．
当2≤a2+1<4，即−3ht的图象与直线y=a2+1的交点个数为4，
故gx在0,19π24上的零点个数为4.
当a2+1=4，即a=±3时，ht的图象与直线y=a2+1的交点个数为2，
故gx在0,19π24上的零点个数为2．
当a2+1>4，即a<−3或a>3时，,ht的图象与直线y=a2+1没有交点，
故gx在0,19π24上的零点个数为0．