初中数学沪科版九年级上册21.3 二次函数与一元二次方程第1课时教案设计

21.3　二次函数与一元二次方程

第1课时　二次函数与一元二次方程

◇教学目标◇

【知识与技能】

1.理解二次函数与一元二次方程之间的关系.

2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程根的个数之间的关系,以及方程根的情况.

3.会利用二次函数图象求一元二次方程的近似解.

【过程与方法】

经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,培养学生的探索能力和创新精神,并体会数形结合的思想.

【情感、态度与价值观】

经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体验数学活动充满探索与创造的乐趣,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.

◇教学重难点◇

【教学重点】

一元二次方程与二次函数之间的关系,用图象法解一元二次方程.

【教学难点】

进一步理解方程与函数的对应关系,即数形结合的思想.

◇教学过程◇

一、情境导入

在校运动会上,某运动员掷铅球.他以40 m/s的速度将铅球沿与地面成30°角的方向掷出,球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系h=20t-5t2.问球从飞出到落地需要多少时间?你有几种解法?

二、合作探究

探究点1　一元二次方程与二次函数的关系

典例1　已知二次函数y=3x2-8x+4.

(1)该函数图象与x轴有几个交点?

(2)试说明一元二次方程3x2-8x+4=7的根与二次函数y=3x2-8x+4的图象之间的关系.

(3)试问x为何值时,函数y的值为-1.

[解析]　(1)对于二次函数y=3x2-8x+4,令y=0,有3x2-8x+4=0.而b2-4ac=(-8)2-4×3×4=16>0,所以该函数图象与x轴有两个交点.

(2)一元二次方程3x2-8x+4=7的根,可看作二次函数y=3x2-8x+4在y的值为7时x的值.

(3)直接解方程3x2-8x+4=-1,得x1=1,x2=,即x的值为1或时,y的值为-1.

判断抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的个数,根据b2-4ac的符号确定.一元二次方程ax2+bx+c=0的解就是y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标,反之也成立.

变式训练　已知关于x的二次函数y=x2-(2m-1)x+m2+3m+4.

探究二次函数y的图象与x轴的交点的个数.

[解析]　令y=0,得x2-(2m-1)x+m2+3m+4=0,Δ=(2m-1)2-4(m2+3m+4)=-16m-15.

当Δ>0时,即-16m-15>0,

∴m<-,此时,y的图象与x轴有两个交点.

当Δ=0时,即-16m-15=0,

∴m=-,此时,y的图象与x轴只有一个交点.

当Δ<0时,即-16m-15<0,

∴m>-,此时,y的图象与x轴没有交点.

探究点2　用图象法解一元二次方程

典例2　用图象法求方程x2-4x=-3的解.

[解析]　解法一:如图,画出函数y=x2-4x+3的图象.它与x轴的交点A,B的横坐标为1,3,故方程x2-4x=-3的解是x1=1,x2=3.

解法二:如图,作出函数y=x2-4x与函数y=-3的图象,这两个图象交点的横坐标为1,3,故方程x2-4x=-3的解是x1=1,x2=3.

变式训练　已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么关于x的方程ax2+bx+c+2=0的根的情况是 (　　)

A.无实数根

B.有两个相等的实数根

C.有两个异号的实数根

D.有两个同号不相等的实数根

[答案]　D

三、板书设计

二次函数与一元二次方程

1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的关系.

有两个交点⇔方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根;

有一个交点⇔方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根;

无交点⇔方程ax2+bx+c=0没有实数根.

当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解.

2.用图象法解一元二次方程

(1)ax2+bx+c=0(a≠0),作出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,解为图象与x轴交点的横坐标.

(2)ax2+bx+c=h,作出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象及直线y=h的图象,两图象交点的横坐标就是方程的解.

◇教学反思◇

　　本节主要内容是用函数的观点看一元二次方程.通过一个具体实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系,然后介绍了用图象法求一元二次方程的近似解.这一节主要是渗透数形结合的思想.在教学过程中,要注意让学生通过自主探究、合作学习来主动发现问题、提出问题并解决问题.