2022年中考数学复习训练题（含解析）----数与式

这是一份2022年中考数学复习训练题（含解析）----数与式，共30页。试卷主要包含了有效数字等内容，欢迎下载使用。
2022年中考数学复习新题速递之数与式（2022年5月）
一．选择题（共10小题）
1．（2022春•长沙期中）下列四个实数中，最小的数是（　　）
A．﹣1 B． C．π D．
2．（2022•新都区模拟）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中不正确的是（　　）

A．﹣b＜a B．﹣a＜b C．a+b＜0 D．|a|﹣b＜0
3．（2022•西青区一模）计算2+（﹣3）的结果等于（　　）
A．﹣6 B．﹣1 C．1 D．6
4．（2022春•包河区期中）下列说法正确的是（　　）
A．27的立方根是±3 B．﹣8的立方根是﹣2
C．的算术平方根是± D．81的算术平方根是﹣9
5．（2022春•杨浦区校级期中）在近似数0.0270中，共有（　　）有效数字．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
6．（2022春•北仑区期中）据悉新冠病毒其直径约为0.00012毫米，这个数用科学记数法表示正确的是（　　）
A．1.2×104 B．0.12×10﹣5 C．0.12×105 D．1.2×10﹣4
7．（2022春•南岸区校级期中）下列从左到右的变形属于因式分解的是（　　）
A．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9 B．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3
C．（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6 D．x2+3x＝x（x+3）
8．（2022春•杨浦区校级期中）下列说法正确的是（　　）
A．有理数都可以化成有限小数
B．若a+b＝0，则a与b互为相反数
C．在数轴上表示数的点离原点越远，这个数越大
D．两个数中，较大的那个数的绝对值较大
9．（2022•禅城区二模）把“3.16亿”用科学记数法表示为（　　）
A．0.316×109 B．31.6×107 C．3.16×109 D．3.16×108
10．（2022•西青区一模）计算的结果是（　　）
A． B．
C．﹣1 D．1
二．填空题（共10小题）
11．（2022•西青区一模）计算2a2•a的结果等于 　 　．
12．（2022春•包河区期中）比较大小：﹣2 　 　3（填“＞”、“＜”或“＝”）．
13．（2022春•杨浦区校级期中）比较大小：﹣|﹣|　 　﹣（﹣5.25）．（用“＞”或“＜”填空）
14．（2022春•杨浦区校级期中）如果把收入1200元记作+1200元，那么﹣1000元表示 　 　．
15．（2022春•杨浦区校级期中）比较大小：﹣5 　 　﹣﹣2．（填＞、＝或＜）
16．（2022春•闵行区校级期中）若a＜0，且|a|＝4，则a+1＝　 　．
17．（2022春•卫辉市期中）计算：（﹣2022）0+（）﹣1＝　 　．
18．（2022春•杨浦区校级期中）计算：÷×＝　 　．
19．（2022•禅城区二模）（3﹣π）0+（﹣）﹣2＝　 　．
20．（2022•龙泉驿区模拟）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数；……
请根据上面的规律直接写出（a+b）5的展开式 　 　．

三．解答题（共10小题）
21．（2022春•蜀山区校级期中）计算：
（1）；
（2）．
22．（2022春•碑林区校级期中）计算．
（1）（2022﹣π）0+（﹣）﹣3﹣（﹣1）2020；
（2）20222﹣2021×2023；
（3）（﹣2x2y）2•3xy+（﹣4x3y）；
（4）（x+5）（﹣2x+1）．
23．（2022•秦淮区一模）计算：（a+）÷．
24．（2022•枣庄一模）计算：．
25．（2022•越秀区一模）已知A＝÷．
（1）化简A；
（2）若点P（m，n）是直线y＝﹣2x+5与y＝x﹣1的交点，求A的值．
26．（2022春•杨浦区校级期中）如图：已知在数轴上点A表示﹣，点B表示；
（1）求出A、B两点间的距离；
（2）点C在数轴上满足AC＝2AB，写出点C所表示的数．


27．（2022春•常德期中）化简：（﹣）÷，其中﹣2≤x≤2，选一个恰当的整数代入求值．
28．（2022•禅城区二模）已知x﹣y＝，求代数式（x+1）2﹣2x+y（y﹣2x）的值．
29．（2022•鼓楼区一模）已知a是一个正整数，且a除以3余1．判断a2+4a+4是否一定能被9整除，并说明理由．
30．（2022•富阳区一模）圆圆解答“先化简，再求值：，其中．”的过程如图，请指出解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：
＝①
＝（x+1）+2②
＝x+3③
当时，原式＝x+3
＝x+1+3④
＝x+4⑤

2022年中考数学复习新题速递之数与式（2022年5月）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2022春•长沙期中）下列四个实数中，最小的数是（　　）
A．﹣1 B． C．π D．
【考点】实数大小比较；算术平方根．菁优网版权所有
【专题】实数；数感．
【分析】根据正数比负数大排除C和D选项，再根据判断﹣﹣1即可．
【解答】解：∵正数大于负数，且，
∴﹣﹣1，
故选：B．
【点评】本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握正数和负数的大小比较是解题的关键．
2．（2022•新都区模拟）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中不正确的是（　　）

A．﹣b＜a B．﹣a＜b C．a+b＜0 D．|a|﹣b＜0
【考点】实数与数轴；绝对值．菁优网版权所有
【专题】实数；推理能力．
【分析】利用数轴上数的位置判断大小，然后分别进行判断即可．
【解答】解：∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，
∴A、﹣3＜﹣b＜﹣2，所以﹣b＜a，此选项正确；
B、1＜﹣a＜2，所以﹣a＜b，此选项正确；
C、异号两数和即绝对值大的数的符号，所以a+b＞0，此选项错误；
D、1＜|a|＜2，2＜b＜3，所以|a|﹣b＜0，此选项正确．
故选：C．
【点评】本题考查的是有理数的大小比较，解题的关键是会利用数轴进行判断．
3．（2022•西青区一模）计算2+（﹣3）的结果等于（　　）
A．﹣6 B．﹣1 C．1 D．6
【考点】有理数的加法．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据有理数的加法法则计算即可．
【解答】解：2+（﹣3）
＝﹣（3﹣2）
＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的加法，掌握绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值是解题的关键．
4．（2022春•包河区期中）下列说法正确的是（　　）
A．27的立方根是±3 B．﹣8的立方根是﹣2
C．的算术平方根是± D．81的算术平方根是﹣9
【考点】立方根；算术平方根．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据平方根，算术平方根，立方根的意义判断即可．
【解答】解：27的立方根是3，故A错误，不符合题意；
﹣8的立方根是﹣2，故B正确，符合题意；
的算术平方根是，故C错误，不符合题意；
81的算术平方根是9，故D错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握平方根，算术平方根，立方根的意义是解题的关键．
5．（2022春•杨浦区校级期中）在近似数0.0270中，共有（　　）有效数字．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【考点】近似数和有效数字．菁优网版权所有
【专题】实数；数感．
【分析】根据有效数字的定义求解．
【解答】解：近似数0.0270中，有效数字为：2，7，0，共有3个有效数字．
故选：C．
【点评】本题考查了有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
6．（2022春•北仑区期中）据悉新冠病毒其直径约为0.00012毫米，这个数用科学记数法表示正确的是（　　）
A．1.2×104 B．0.12×10﹣5 C．0.12×105 D．1.2×10﹣4
【考点】科学记数法—表示较小的数；科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.00012＝1.2×10﹣4．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
7．（2022春•南岸区校级期中）下列从左到右的变形属于因式分解的是（　　）
A．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9 B．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3
C．（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6 D．x2+3x＝x（x+3）
【考点】因式分解的意义；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣十字相乘法等．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．从左到右的变形属于整式乘法，故本选项不符合题意；
D．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
8．（2022春•杨浦区校级期中）下列说法正确的是（　　）
A．有理数都可以化成有限小数
B．若a+b＝0，则a与b互为相反数
C．在数轴上表示数的点离原点越远，这个数越大
D．两个数中，较大的那个数的绝对值较大
【考点】数轴；相反数；绝对值．菁优网版权所有
【专题】实数．
【分析】利用有理数的大小比较方法进行判断即可．
【解答】解：A、有理数是有限小数和无限循环小数，所以此选项错误；
B、a+b＝0，两个数的和为零，则这两个数互为相反数，此选项正确；
C、在数轴上右边的数离原点越远，这个数越大，左边的数离原点越远，这个数越小，此选项错误；
D、特殊值法，2＞﹣3，但|2|＜|﹣3|，此选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是选择题，解题关键是分别判断，选择正确选项．
9．（2022•禅城区二模）把“3.16亿”用科学记数法表示为（　　）
A．0.316×109 B．31.6×107 C．3.16×109 D．3.16×108
【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【专题】实数；数感．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：3.16亿＝316000000＝3.16×108．
故选：D．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
10．（2022•西青区一模）计算的结果是（　　）
A． B．
C．﹣1 D．1
【考点】分式的加减法．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】先进行通分，再进行减法运算，最后化简即可．
【解答】解：
＝
＝
＝1，
故选：D．
【点评】本题主要考查分式的减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
二．填空题（共10小题）
11．（2022•西青区一模）计算2a2•a的结果等于 　2a3　．
【考点】单项式乘单项式．菁优网版权所有
【专题】计算题；运算能力．
【分析】根据指数幂的运算法则计算即可．
【解答】解：2a2•a＝2a3，
故答案为：2a3．
【点评】本题主要考查单项式乘单项式，熟练掌握指数幂的运算法则是解题的关键．
12．（2022春•包河区期中）比较大小：﹣2 　＜　3（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【考点】实数大小比较．菁优网版权所有
【专题】实数；数感．
【分析】根据，则，即可得出结论．
【解答】解：∵，
∴，
即，
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键．
13．（2022春•杨浦区校级期中）比较大小：﹣|﹣|　＜　﹣（﹣5.25）．（用“＞”或“＜”填空）
【考点】有理数大小比较；相反数；绝对值．菁优网版权所有
【专题】实数；数感．
【分析】先化简再比较大小即可．
【解答】解：∵﹣|﹣|＝﹣，﹣（﹣5.25）＝5.25，
∴﹣＜5.25，
即：﹣|﹣|＜﹣（﹣5.25），
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查有理数大小的比较，熟练根据绝对值和有理数的运算将原式进行化简是解题的关键．
14．（2022春•杨浦区校级期中）如果把收入1200元记作+1200元，那么﹣1000元表示 　支出1000元　．
【考点】正数和负数．菁优网版权所有
【专题】实数；数感．
【分析】根据正数和负数的概念即可得出结论．
【解答】解：∵收入1200元记作+1200元，
∴﹣1000元表示支出1000元，
故答案为：支出1000元．
【点评】本题主要考查正数和负数的知识，熟练掌握正数和负数的意义是解题的关键．
15．（2022春•杨浦区校级期中）比较大小：﹣5 　＜　﹣﹣2．（填＞、＝或＜）
【考点】实数大小比较．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据＜3，则+2＜5，再判断负数即可．
【解答】解：∵＜3，则+2＜5，
∴﹣5＜﹣﹣2，
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查实数大小比较，熟练根据正数的大小比较其相反数大小是解题的关键．
16．（2022春•闵行区校级期中）若a＜0，且|a|＝4，则a+1＝　﹣3　．
【考点】绝对值．菁优网版权所有
【专题】实数；数感；运算能力．
【分析】根据绝对值的定义求出a的值，再代入计算a+1的值即可．
【解答】解：若a＜0，且|a|＝4，
所以a＝﹣4，
所以a+1＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提，求出a的值是解决问题的关键．
17．（2022春•卫辉市期中）计算：（﹣2022）0+（）﹣1＝　7　．
【考点】负整数指数幂；零指数幂．菁优网版权所有
【专题】计算题；实数；运算能力．
【分析】化简零指数幂，负整数指数幂，然后再计算．
【解答】解：原式＝1+6
＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查负整数指数幂，零指数幂，理解a0＝1（a≠0），a﹣p＝（a≠0）是解题关键．
18．（2022春•杨浦区校级期中）计算：÷×＝　　．
【考点】分母有理化；二次根式的乘除法．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝××
＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确运用二次根式的乘除运算法则是解题关键．
19．（2022•禅城区二模）（3﹣π）0+（﹣）﹣2＝　5．　．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（3﹣π）0+（﹣）﹣2
＝1+4
＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．
20．（2022•龙泉驿区模拟）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数；……
请根据上面的规律直接写出（a+b）5的展开式 　a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5　．

【考点】因式分解的应用；数学常识．菁优网版权所有
【专题】整式；推理能力．
【分析】根据展开式的系数规律写出（a+b）5即可．
【解答】解：由杨辉三角的系数规律可得，
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．
故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．
【点评】本题考查完全平方公式，根据题中所给式子找到规律是解题关键．
三．解答题（共10小题）
21．（2022春•蜀山区校级期中）计算：
（1）；
（2）．
【考点】二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则即可求出答案．
（2）根据二次根式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝+2
＝．
（2）原式＝3﹣2+7
＝8．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
22．（2022春•碑林区校级期中）计算．
（1）（2022﹣π）0+（﹣）﹣3﹣（﹣1）2020；
（2）20222﹣2021×2023；
（3）（﹣2x2y）2•3xy+（﹣4x3y）；
（4）（x+5）（﹣2x+1）．
【考点】平方差公式；零指数幂；负整数指数幂；实数的运算；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式；多项式乘多项式；完全平方公式．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方计算；
（2）根据平方差公式计算；
（3）根据积的乘方计算乘方，根据单项式乘单项式化简即可；
（4）根据多项式乘多项式化简．
【解答】解：（1）原式＝1+（﹣8）﹣1
＝﹣8；
（2）原式＝20222﹣（2022﹣1）×（2022+1）
＝20222﹣（20222﹣1）
＝20222﹣20222+1
＝1；
（3）原式＝4x4y2•3xy﹣4x3y
＝12x5y3﹣4x3y；
（4）原式＝﹣2x2+x﹣10x+5
＝﹣2x2﹣9x+5．
【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，实数的运算，平方差公式，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式，多项式乘多项式，掌握（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解题的关键．
23．（2022•秦淮区一模）计算：（a+）÷．
【考点】分式的混合运算．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】先通分算括号内的，将除化为乘，再分解因式约分．
【解答】解：原式＝（+）÷
＝•
＝．
【点评】本题考查分式化简，解题的关键是掌握分式的基本性质，将分式通分和约分．
24．（2022•枣庄一模）计算：．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、开立方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：
＝﹣1+3﹣2×+（﹣3）﹣1
＝﹣1+3﹣﹣3﹣1
＝﹣2．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
25．（2022•越秀区一模）已知A＝÷．
（1）化简A；
（2）若点P（m，n）是直线y＝﹣2x+5与y＝x﹣1的交点，求A的值．
【考点】分式的化简求值；两条直线相交或平行问题．菁优网版权所有
【专题】分式；一次函数及其应用；运算能力．
【分析】（1）将分子、分母分解因式，除化为乘，约分即可；
（2）求出m、n的值，代入即可得A的值．
【解答】解：（1）A＝•＝；
（2）由得，
∵P（m，n）是直线y＝﹣2x+5与y＝x﹣1的交点，
∴m＝2，n＝1，
∴A＝＝5．
【点评】本题考查分式化简求值及一次函数图象交点，解题的关键是掌握分式基本性质，将分式化简．
26．（2022春•杨浦区校级期中）如图：已知在数轴上点A表示﹣，点B表示；
（1）求出A、B两点间的距离；
（2）点C在数轴上满足AC＝2AB，写出点C所表示的数．


【考点】实数与数轴．菁优网版权所有
【专题】实数；数感；运算能力．
【分析】（1）利用两点间的距离公式计算即可；
（2）利用两点间的距离公式计算即可；
【解答】解：（1）
＝；
（2）设点C表示的数是x，
∵AC＝2AB，
∴|x﹣（﹣）|＝2（），
∴x+＝，
∴x1＝2，x2＝﹣3．
所以点C表示的数是2或﹣3．
【点评】本题考查的是两点间的距离，解题的关键是会用两点间的距离公式．
27．（2022春•常德期中）化简：（﹣）÷，其中﹣2≤x≤2，选一个恰当的整数代入求值．
【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
【专题】分式．
【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，再分解因式约分，化简后将原式有意义的x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
∵﹣2≤x≤2，x＝0、x＝2时原式无意义，
∴将x＝1代入，
原式＝
＝﹣1．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，将分式化简．
28．（2022•禅城区二模）已知x﹣y＝，求代数式（x+1）2﹣2x+y（y﹣2x）的值．
【考点】整式的混合运算—化简求值．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x﹣y＝代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：（x+1）2﹣2x+y（y﹣2x）
＝x2+2x+1﹣2x+y2﹣2xy
＝x2﹣2xy+y2+1，
当x﹣y＝时，原式＝（x﹣y）2+1
＝（）2+1
＝5+1
＝6．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
29．（2022•鼓楼区一模）已知a是一个正整数，且a除以3余1．判断a2+4a+4是否一定能被9整除，并说明理由．
【考点】因式分解的应用．菁优网版权所有
【专题】因式分解；运算能力．
【分析】设a除以3余1的商为b，则a＝3b+1，根据因式分解化简即可得出答案．
【解答】解：一定能被9整除．理由如下：
设a除以3余1的商为b，则a＝3b+1，
a2+4a+4
＝（a+2）2
＝（3b+3）2
＝[3（b+1）]2
＝9（b+1）2，
∴a2+4a+4一定能被9整除．
【点评】本题考查了因式分解的应用，掌握a2±2ab+b2＝（a±b）2是解题的关键．
30．（2022•富阳区一模）圆圆解答“先化简，再求值：，其中．”的过程如图，请指出解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：
＝①
＝（x+1）+2②
＝x+3③
当时，原式＝x+3
＝x+1+3④
＝x+4⑤
【考点】整式的加减—化简求值；分式的化简求值．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据整式的加减的解答方法进行分析即可求解．
【解答】解：步骤①、②有误，
原式＝
当时，
原式＝．
【点评】本题主要考查整式的加减，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
3．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
4．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
5．有理数大小比较
（1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
3．作差比较：
若a﹣b＞0，则a＞b；
若a﹣b＜0，则a＜b；
若a﹣b＝0，则a＝b．
6．有理数的加法
（1）有理数加法法则：
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．
③一个数同0相加，仍得这个数．
（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）
（2）相关运算律
交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．
7．近似数和有效数字
（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
8．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
9．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围
表示方法
a的取值
n的取值
|x|≥10
a×10n
1≤|a|
＜10
整数的位数﹣1
|x|＜1
a×10﹣n
第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
10．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
11．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
12．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
13．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
14．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
15．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
16．整式的加减—化简求值
给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
17．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
18．单项式乘单项式
运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
19．多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
20．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
21．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
22．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
23．因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：

3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
24．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
　　（1）找出公因式；
　　（2）提公因式并确定另一个因式：
　　①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
　　②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
　　③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
25．因式分解-十字相乘法等
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的
方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）

②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，
把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一
次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
26．因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
27．分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
28．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
29．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
30．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
31．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
32．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）

规律方法总结：
在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
33．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①＝＝；②＝＝．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．
34．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
35．两条直线相交或平行问题
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．
（1）两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．
36．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．