人教版八年级下册第十八章 平行四边形综合与测试教学设计

三角形的中位线

教学目标：

1．理解三角形中位线的概念，把握它的性质．

2．能较娴熟地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．

3．经受探究、猜想、证明的过程，进一步进展推理论证的力量．

4．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．

重点、难点

1．重点：把握和运用三角形中位线的性质．

2．难点：三角形中位线性质的证明（帮助线的添加方法）．

3．难点的突破方法：

（1）本教材三角形中位线的内容是由一道例题从而引出其概念和性质的，新教材与老教材在这个学问的讲解挨次支配上是不同的，它这种支配是要降低难度，但由于同学在前面的学习中，添加帮助线的练习很少，因此无论讲解挨次怎么支配，证明三角形中位线的性质（例1）时，题中帮助线的添加都是一大难点，因此老师肯定要重点分析帮助线的作法的思考过程．让同学理解：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的学问，可添加帮助线构造平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等来证明结论成立的思路与方法．

（2）强调三角形的中位线与中线的区分：

中位线：中点与中点的连线；

中 线：顶点与对边中点的连线．

（3）要把三角形中位线性质的特点、条件、结论及作用交代清楚：

特点：在同一个题设下，有两个结论．一个结论表明位置关系，另一个结论表明数量关系；

条件（题设）：连接两边中点得到中位线；

结论：有两个，一个表明中位线与第三边的位置关系，另一个表明中位线与第三边的数量关系（在应用时，可依据需要选用其中的结论）；

作用：在已知两边中点的条件下，证明线段的平行关系及线段的倍分关系．

（4）可通过题组练习，让同学把握其性质．

例题的意图分析

     例1是教材P98的例4，这是三角形中位线性质的证明题，教材接受的是先证明后引出概念与性质的方法，它一是要练习巩固平行四边形的性质与判定，二是为了降低难度，因此老师们在教学中要把握好度．

建议讲完例1，引出三角形中位线的概念和性质后，马上做一组练习，以巩固三角形中位线的性质，然后再讲例2．

例2是一道补充题，选自老教材的一个例题，它是三角形中位线性质与平行四边形的判定的混合应用题，题型挺好，添加帮助线的方法也很巧，结论以后也会经常用到，可依据同学状况适当的选讲例2．教学中，要把帮助线的添加方法讲清楚，可以借助与多媒体或教具．

教学过程

一、课堂引入

1．平行四边形的性质；平行四边形的判定；它们之间有什么联系？

2．你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？

（答：平行四边形学问的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题．）

3．创设情境

试验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？（答案如图）

图中有几个平行四边形？你是如何推断的？

二、例习题分析

    例1（教材P98例4） 如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE=BC．

    分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的学问，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的帮助线来构造平行四边形．

    方法1：如图（1），延长DE到F，使EF=DE，连接CF，由△ADE≌△CFE，可得AD∥FC，且AD=FC，因此有BD∥FC，BD=FC，所以四边形BCFD是平行四边形．所以DF∥BC，DF=BC，由于DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．

（也可以过点C作CF∥AB交DE的延长线于F点，证明方法与上面大体相同）

    方法2：如图（2），延长DE到F，使EF=DE，连接CF、CD和AF，又AE=EC，所以四边形ADCF是平行四边形．所以AD∥FC，且AD=FC．由于AD=BD，所以BD∥FC，且BD=FC．所以四边形ADCF是平行四边形．所以DF∥BC，且DF=BC，由于DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．

定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

【思考】：

（1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区分？

（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？

（答：（1）一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区分主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线． （2）三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．）

三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．

〖拓展〗利用这肯定理，你能证明出在设情境中分割出来的四个小三角形全等吗？（让同学口述理由）

例2（补充）已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点．

求证：四边形EFGH是平行四边形．

分析：由于已知点E、F、G、H分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加帮助线，连接AC或BD，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证．

证明：连结AC（图（2）），△DAG中，

∵  AH=HD，CG=GD，

∴  HG∥AC，HG=AC（三角形中位线性质）．

同理EF∥AC，EF=AC．

∴  HG∥EF，且HG=EF．

∴  四边形EFGH是平行四边形．

此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．

三、课堂练习

1．（填空）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，假如测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是      m，理由是                               ．

2．已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长．

3．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，

（1）若EF=5cm，则AB=     cm；若BC=9cm，则DE=      cm；

（2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想．

四、课后练习

1．（填空）一个三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是             cm．

2．（填空）已知：△ABC中，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，假如△DEF的周长是12cm，那么△ABC的周长是      cm．

3．已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．