江苏省南京市五年（2017-2021）中考数学真题解答题知识点分类汇编（含答案）

这是一份江苏省南京市五年（2017-2021）中考数学真题解答题知识点分类汇编（含答案），共55页。试卷主要包含了计算，解方程，某地计划对矩形广场进行扩建改造等内容，欢迎下载使用。

江苏省南京市五年（2017-2021）中考数学真题解答题知识点分类汇编（含答案）

一．多项式乘多项式（共1小题）
1．（2019•南京）计算（x+y）（x2﹣xy+y2）
二．分式的混合运算（共4小题）
2．（2021•南京）计算．
3．（2020•南京）计算（a﹣1+）÷．
4．（2018•南京）计算（m+2﹣）÷．
5．（2017•南京）计算（a+2+）÷（a﹣）．
三．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
6．（2020•南京）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
四．一元二次方程的应用（共1小题）
7．（2019•南京）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m，宽40m，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元

五．解分式方程（共2小题）
8．（2021•南京）解方程．
9．（2019•南京）解方程：﹣1＝．
六．分式方程的应用（共1小题）
10．（2018•南京）刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买，用了105元，遇上这种大米8折出售，她用140元又买了一些
七．解一元一次不等式（共2小题）
11．（2021•南京）解不等式1+2（x﹣1）≤3，并在数轴上表示解集．
12．（2018•南京）如图，在数轴上，点A、B分别表示数1、﹣2x+3．
（1）求x的取值范围；
（2）数轴上表示数﹣x+2的点应落在 　 　．
A．点A的左边
B．线段AB上
C．点B的右边

八．解一元一次不等式组（共1小题）
13．（2017•南京）解不等式组
请结合题意，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得　 　，依据是：　 　．
（2）解不等式③，得　 　．
（3）把不等式①、②和③的解集在数轴上表示出来．

（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集　 　．
九．一次函数与一元一次不等式（共1小题）
14．（2019•南京）已知一次函数y1＝kx+2（k为常数，k≠0）和y2＝x﹣3．
（1）当k＝﹣2时，若y1＞y2，求x的取值范围．
（2）当x＜1时，y1＞y2．结合图象，直接写出k的取值范围．
一十．一次函数的应用（共3小题）
15．（2021•南京）甲、乙两人沿同一直道从A地去B地．甲比乙早1min出发，乙的速度是甲的2倍．在整个行程中，甲离A地的距离y1（单位：m）与时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示．
（1）在图中画出乙离A地的距离y2（单位：m）与时间x之间的函数图象；
（2）若甲比乙晚5min到达B地，求甲整个行程所用的时间．

16．（2018•南京）小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，离家的距离为sm，v与t之间的函数关系如图所示（图中的空心圈表示不包含这一点）．
（1）小明出发第2min时离家的距离为　 　m；
（2）当2＜t≤5时，求s与t之间的函数表达式；
（3）画出s与t之间的函数图象．

17．（2017•南京）张老师计划到超市购买甲种文具100个，他到超市后发现还有乙种文具可供选择．如果调整文具的购买品种，每减少购买1个甲种文具，需购买y个乙种文具．
（1）①当减少购买1个甲种文具时，x＝　 　，y＝　 　；
②求y与x之间的函数表达式．
（2）已知甲种文具每个5元，乙种文具每个3元，张老师购买这两种文具共用去540元．甲、乙两种文具各购买了多少个？
一十一．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
18．（2020•南京）已知反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，﹣1）．
（1）求k的值．
（2）完成下面的解答．
解不等式组
解：解不等式①，得　 　．
根据函数y＝的图象，得不等式②的解集　 　．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．

从图中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集　 　．
一十二．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
19．（2021•南京）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣2，1），（2，﹣3）两点．
（1）求b的值；
（2）当c＞﹣1时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 　 　．
（3）设（m，0）是该函数的图象与x轴的一个公共点．当﹣1＜m＜3时，结合函数的图象
一十三．抛物线与x轴的交点（共2小题）
20．（2018•南京）已知二次函数y＝2（x﹣1）（x﹣m﹣3）（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？
21．（2017•南京）已知函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．
（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是　 　．
A.0 B.1 C.2 D.1或2
（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝（x+1）2的图象上．
（3）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．
一十四．二次函数的应用（共1小题）
22．（2020•南京）小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地．设小丽出发第xmin时，小丽、小明离B地的距离分别为y1m、y2m．y1与x之间的函数表达式是y1＝﹣180x+2250，y2与x之间的函数表达式是y2＝﹣10x2﹣100x+2000．
（1）小丽出发时，小明离A地的距离为　 　m．
（2）小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
一十五．二次函数综合题（共1小题）
23．（2019•南京）【概念认识】
城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．

【数学理解】
（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝　 　．
②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B），则点B的坐标是　 　．
（2）函数y＝（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）
（3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点（O，D）的最小值及对应的点D的坐标．
【问题解决】
（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）
一十六．全等三角形的判定（共1小题）
24．（2019•南京）如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，AC与DE相交于点F．求证：△ADF≌△CEF．

一十七．全等三角形的判定与性质（共2小题）
25．（2021•南京）如图，AC与BD交于点O，OA＝OD，E为BC延长线上一点，过点E作EF∥CD
（1）求证△AOB≌△DOC；
（2）若AB＝2，BC＝3，CE＝1

26．（2021•泸州）如图，点D在AB上，点E在AC上，∠B＝∠C，求证：BD＝CE．

一十八．平行四边形的性质（共1小题）
27．（2017•南京）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，EF、BD相交于点O，求证：OE＝OF．

一十九．菱形的判定（共1小题）
28．（2018•南京）如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，且OA＝OB＝OD．求证：
（1）∠BOD＝∠C；
（2）四边形OBCD是菱形．

二十．圆周角定理（共2小题）
29．（2020•南京）如图，在△ABC中，AC＝BC，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，交⊙O于点F．
求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）AF＝EF．

30．（2019•南京）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：PA＝PC．

二十一．切线的性质（共1小题）
31．（2017•南京）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，交⊙O于点D．
（1）求证：PO平分∠APC；
（2）连接DB，若∠C＝30°，求证：DB∥AC．

二十二．圆的综合题（共2小题）
32．（2021•南京）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
（1）如图①，圆锥的母线长为12cm，B为母线OC的中点，的长为4πcm．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．

（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上，设圆锥的母线长为l
①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为 　 　（用含l，h的代数式表示）．
②设的长为a，点B在母线OC上，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．

33．（2018•南京）结果如此巧合!
下面是小颖对一道题目的解答．
题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝3，求△ABC的面积．
解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x．
根据切线长定理，得AE＝AD＝3，BF＝BD＝4
根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2＝（3+4）2．
整理，得x2+7x＝12．
所以S△ABC＝AC•BC
＝（x+3）（x+4）
＝（x2+7x+12）
＝×（12+12）
＝12．
小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？
请你帮她完成下面的探索．
已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD＝m，BD＝n．
可以一般化吗？
（1）若∠C＝90°，求证：△ABC的面积等于mn．
倒过来思考呢？
（2）若AC•BC＝2mn，求证∠C＝90°．
改变一下条件……
（3）若∠C＝60°，用m、n表示△ABC的面积．

二十三．作图—复杂作图（共2小题）
34．（2021•南京）如图，已知P是⊙O外一点．用两种不同的方法过点P作⊙O的一条切线．
要求：（1）用直尺和圆规作图；
（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．

35．（2017•南京）“直角”在初中几何学习中无处不在．
如图，已知∠AOB，请仿照小丽的方式（仅限用直尺和圆规）．

二十四．轴对称-最短路线问题（共1小题）
36．（2020•南京）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置
（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，所得路线ACB是最短的．
为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点C'，连接AC'、BC'
（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．
①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；
②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．

二十五．几何变换综合题（共1小题）
37．（2017•南京）折纸的思考．
【操作体验】
用一张矩形纸片折等边三角形．
第一步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（图①），使AB与DC重合，把纸片展平（图②）．
第二步，如图③，再一次折叠纸片，并使折痕经过点B，得到折痕BG，得到△PBC．
（1）说明△PBC是等边三角形．
【数学思考】
（2）如图④，小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC．他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，请描述图形变化的过程．
（3）已知矩形一边长为3cm，另一边长为acm，对于每一个确定的a的值，请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围．
【问题解决】
（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为　 　cm．

二十六．相似三角形的判定与性质（共3小题）
38．如图，在△ABC和△A'B'C'中，D、D'分别是AB、A'B'上一点，＝．

（1）当＝＝时，求证△ABC∽△A'B'C'．
证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．

（2）当＝＝时，判断△ABC与△A'B'C′是否相似，并说明理由．
39．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4．求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点G在边BC上．
小明的作法
1．如图②，在边AC上取一点D，过点D作DG∥AB交BC于点G．
2．以点D为圆心，DG长为半径画弧，交AB于点E．
3．在EB上截取EF＝ED，连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形．
（1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形．
（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．

40．（2018•南京）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，垂足为F，⊙O经过点C、D、F
（1）求证：△AFG∽△DFC；
（2）若正方形ABCD的边长为4，AE＝1，求⊙O的半径．

二十七．解直角三角形的应用（共1小题）
41．（2021•南京）如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，D．测得CD＝80m，∠ACD＝90°，∠ADC＝19°17′，∠BDC＝56°19′．设A，B，C，求A，B两点之间的距离．
（参考数据：tan19°17′≈0.35，tan56°19′≈1.50．）

二十八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
42．（2019•南京）如图，山顶有一塔AB，塔高33m．计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF．从与E点相距80m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°
（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51．）

43．（2018•南京）如图，为了测量建筑物AB的高度，在D处竖立标杆CD，在DB上选取观测点E、F，从E测得标杆和建筑物的顶部C、A的仰角分别为58°、45°．从F测得C、A的仰角分别为22°、70°．求建筑物AB的高度（精确到0.1m）．（参考数据：tan22°≈0.40，tan58°≈1.60，tan70°≈2.75．）

二十九．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题）
44．（2020•南京）如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C．一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）

45．（2017•南京）如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处．一艘海轮位于港口A的正南方向，它沿正北方向航行5km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，E处距离港口A有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

三十．算术平均数（共1小题）
46．（2018•南京）随机抽取某理发店一周的营业额如下表（单位：元）：
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
合计
540
680
760
640
960
2200
1780
7560
（1）求该店本周的日平均营业额；
（2）如果用该店本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额，你认为是否合理？如果合理，请说明理由，请设计一个方案，并估计该店当月（按30天计算）
三十一．中位数（共2小题）
47．（2021•南京）某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查．通过简单随机抽样，获得了100个家庭去年的月均用水量数据，其中部分数据如表：
序号
1
2
…
25
26
…
50
51
…
75
76
…
99
100
月均用水量/t
1.3
1.3
…
4.5
4.5
…
6.4
6.8
…
11
13
…
25.6
28
（1）求这组数据的中位数．已知这组数据的平均数为9.2t，你对它与中位数的差异有什么看法？
（2）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费．若要使75%的家庭水费支出不受影响
48．（2020•南京）为了了解某地居民用电量的情况，随机抽取了该地200户居民六月份的用电量（单位：kW•h）进行调查
组别
用电量分组
频数
1
8≤x＜93
50
2
93≤x＜178
100
3
178≤x＜263
34
4
263≤x＜348
11
5
348≤x＜433
1
6
433≤x＜518
1
7
518≤x＜603
2
8
603≤x＜688
1
根据抽样调查的结果，回答下列问题：
（1）该地这200户居民六月份的用电量的中位数落在第　 　组内；
（2）估计该地1万户居民六月份的用电量低于178kW•h的大约有多少户．
三十二．众数（共1小题）
49．（2017•南京）某公司共25名员工，下表是他们月收入的资料．
月收入/元
45000
18000
10000
5500
4800
3400
3000
2200
人数
1
1
1
3
6
1
11
1
（1）该公司员工月收入的中位数是　 　元，众数是　 　元．
（2）根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为6276元．你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由．
三十三．方差（共1小题）
50．（2019•南京）如图是某市连续5天的天气情况．

（1）利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大；
（2）根据如图提供的信息，请再写出两个不同类型的结论．
三十四．列表法与树状图法（共5小题）
51．（2021•南京）不透明的袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．求两次摸出的球都是红球的概率．
（2）从袋子中随机摸出1个球，如果是红球，不放回再随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．两次摸出的球都是白球的概率是 　 　．
52．（2020•南京）甲、乙两人分别从A、B、C这3个景点中随机选择2个景点游览．
（1）求甲选择的2个景点是A、B的概率；
（2）甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的概率是　 　．
53．（2019•南京）某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．
（1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？
（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是　 　．
54．（2018•南京）甲口袋中有2个白球、1个红球，乙口袋中有1个白球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个口袋中随机摸出1个球．
（1）求摸出的2个球都是白球的概率．
（2）下列事件中，概率最大的是　 　．
A．摸出的2个球颜色相同
B．摸出的2个球颜色不相同
C．摸出的2个球中至少有1个红球
D．摸出的2个球中至少有1个白球
55．（2017•南京）全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划，假定生男生女的概率相同
（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是　 　；
（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率．

参考答案与试题解析
一．多项式乘多项式（共1小题）
1．（2019•南京）计算（x+y）（x2﹣xy+y2）
【详解】解：（x+y）（x2﹣xy+y2），
＝x7﹣x2y+xy2+x6y﹣xy2+y3，
＝x4+y3．
【答案】x3+y4．
二．分式的混合运算（共4小题）
2．（2021•南京）计算．
【详解】解：
＝[﹣+]
＝
＝
＝．
3．（2020•南京）计算（a﹣1+）÷．
【详解】解：原式＝（+）÷
＝•
＝．
4．（2018•南京）计算（m+2﹣）÷．
【详解】解：原式＝（﹣）÷
＝•
＝4（m+3）
＝2m+3．
5．（2017•南京）计算（a+2+）÷（a﹣）．
【详解】解：（a+2+）÷（a﹣）
＝
＝
＝．
三．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
6．（2020•南京）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
【详解】解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝3
x﹣3＝0，x+4＝0
∴x1＝5，x2＝﹣1．
四．一元二次方程的应用（共1小题）
7．（2019•南京）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m，宽40m，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元

【详解】解：设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，
依题意得：4x•2x•100+30（3x•8x﹣50×40）＝642000
解得x1＝30，x2＝﹣30（舍去）．
所以7x＝90，2x＝60，
【答案】扩充后广场的长为90m，宽为60m．
五．解分式方程（共2小题）
8．（2021•南京）解方程．
【详解】解：方程两边同乘（x+1）（x﹣1），得
4（x﹣1）+x2﹣5＝x（x+1），
解得x＝3．
经检验x＝2是原方程的根，
∴原方程的解x＝3．
9．（2019•南京）解方程：﹣1＝．
【详解】解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）去分母得，
x（x+7）﹣（x2﹣1）＝7，
即x2+x﹣x2+2＝3，
解得x＝2
检验：当x＝6时，（x+1）（x﹣1）＝（6+1）（2﹣2）＝3≠0，
∴x＝8是原方程的解，
故原分式方程的解是x＝2．
六．分式方程的应用（共1小题）
10．（2018•南京）刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买，用了105元，遇上这种大米8折出售，她用140元又买了一些
【详解】解：设这种大米的原价是每千克x元，
根据题意，得+＝40，
解得：x＝2．
经检验，x＝7是原方程的解．
【答案】这种大米的原价是每千克7元．
七．解一元一次不等式（共2小题）
11．（2021•南京）解不等式1+2（x﹣1）≤3，并在数轴上表示解集．
【详解】解：1+2（x﹣4）≤3，
去括号，得1+7x﹣2≤3．
移项、合并同类项．
化系数为6，得x≤2．
表示在数轴上为：
．
12．（2018•南京）如图，在数轴上，点A、B分别表示数1、﹣2x+3．
（1）求x的取值范围；
（2）数轴上表示数﹣x+2的点应落在 　B　．
A．点A的左边
B．线段AB上
C．点B的右边

【详解】解：（1）由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得
﹣2x+3＞4，
解得x＜1；
（2）由x＜1，得
﹣x＞﹣7．
﹣x+2＞﹣1+5，
解得﹣x+2＞1．
数轴上表示数﹣x+2的点在A点的右边；
作差，得
﹣2x+3﹣（﹣x+2）＝﹣x+1，
由x＜1，得
﹣x＞﹣5，
﹣x+1＞0，
﹣4x+3﹣（﹣x+2）＞5，
∴﹣2x+3＞﹣x+5，
数轴上表示数﹣x+2的点在B点的左边．
故选：B．
八．解一元一次不等式组（共1小题）
13．（2017•南京）解不等式组
请结合题意，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得　x≥﹣3　，依据是：　不等式的基本性质　．
（2）解不等式③，得　x＜2　．
（3）把不等式①、②和③的解集在数轴上表示出来．

（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集　﹣2＜x＜2　．
【详解】解：（1）解不等式①，得x≥﹣3．
（2）解不等式③，得x＜2．
（3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来．

（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为：﹣6＜x＜2，
【答案】（1）x≥﹣3、不等式的性质8；（3）﹣2＜x＜2．
九．一次函数与一元一次不等式（共1小题）
14．（2019•南京）已知一次函数y1＝kx+2（k为常数，k≠0）和y2＝x﹣3．
（1）当k＝﹣2时，若y1＞y2，求x的取值范围．
（2）当x＜1时，y1＞y2．结合图象，直接写出k的取值范围．
【详解】解：（1）k＝﹣2时，y1＝﹣8x+2，
根据题意得﹣2x+2＞x﹣3，
解得x＜；
（2）当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣7，﹣2）代入y1＝kx+7得k+2＝﹣2，解得k＝﹣5，
当﹣4≤k＜0时，y7＞y2；
当0＜k≤3时，y1＞y2．
综上所述，k的范围为﹣5≤k≤1且k≠0．

一十．一次函数的应用（共3小题）
15．（2021•南京）甲、乙两人沿同一直道从A地去B地．甲比乙早1min出发，乙的速度是甲的2倍．在整个行程中，甲离A地的距离y1（单位：m）与时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示．
（1）在图中画出乙离A地的距离y2（单位：m）与时间x之间的函数图象；
（2）若甲比乙晚5min到达B地，求甲整个行程所用的时间．

【详解】解：（1）如图：

（2）设甲的速度是vm/min，乙整个行程所用的时间为tmin，
由题意得：2v•t＝（t+1+3）v，
解得：t＝6，
6+3+5＝12（min），
【答案】甲整个行程所用的时间为12min．
16．（2018•南京）小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，离家的距离为sm，v与t之间的函数关系如图所示（图中的空心圈表示不包含这一点）．
（1）小明出发第2min时离家的距离为　200　m；
（2）当2＜t≤5时，求s与t之间的函数表达式；
（3）画出s与t之间的函数图象．

【详解】解：（1）100×2＝200（m）．
故小明出发第2min时离家的距离为200m；
【答案】200．
（2）当6＜t≤5时，s＝100×2+160（t﹣5）＝160t﹣120．
故s与t之间的函数表达式为s＝160t﹣120；
（3）s与t之间的函数关系式为，
如图所示：

17．（2017•南京）张老师计划到超市购买甲种文具100个，他到超市后发现还有乙种文具可供选择．如果调整文具的购买品种，每减少购买1个甲种文具，需购买y个乙种文具．
（1）①当减少购买1个甲种文具时，x＝　99　，y＝　2　；
②求y与x之间的函数表达式．
（2）已知甲种文具每个5元，乙种文具每个3元，张老师购买这两种文具共用去540元．甲、乙两种文具各购买了多少个？
【详解】解：（1）①∵100﹣1＝99，
∴x＝99，y＝2，
故答案为99，5．
②由题意y＝2（100﹣x）＝﹣2x+200，
∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣7x+200．

（2）由题意，
解得，
【答案】甲、乙两种文具各购买了60个和80个．
一十一．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
18．（2020•南京）已知反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，﹣1）．
（1）求k的值．
（2）完成下面的解答．
解不等式组
解：解不等式①，得　x＜1　．
根据函数y＝的图象，得不等式②的解集　0＜x＜2　．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．

从图中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集　0＜x＜1　．
【详解】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，
∴k＝（﹣2）×（﹣3）＝2；
（2）解不等式组
解：解不等式①，得x＜1．
根据函数y＝的图象．
把不等式①和②的解集在数轴上表示为：

∴不等式组的解集为5＜x＜1，
【答案】x＜1，5＜x＜2．
一十二．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
19．（2021•南京）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣2，1），（2，﹣3）两点．
（1）求b的值；
（2）当c＞﹣1时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 　1　．
（3）设（m，0）是该函数的图象与x轴的一个公共点．当﹣1＜m＜3时，结合函数的图象
【详解】解：（1）把（﹣2，1），﹣2）代入y＝ax2+bx+c中，
得：，
两式相减得﹣4＝8b，
∴b＝﹣1；
（2）把b＝﹣1代入①得：4＝4a+2+c，
∴a＝，
∴顶点的纵坐标，
∵c＞﹣1，
∴c+3＞0，
下面证明对于任意的正数，a，b，都有a+b≥，
∵，
∴a+b，当a＝b时取等号，
∴＝1，
∴该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 1．
（3）方法一、由题意得：am3﹣m+c＝0，
且c＝﹣1﹣4a，
∴am2﹣m﹣1﹣8a＝0，
△＝1﹣2a（﹣1﹣4a）＝6+4a+16a2，
若﹣3＜m＜2，
则经过（﹣2，6），﹣3），0）的二次函数的图象开口向下，
∴a＜7，且，
解得a＜0，
∴a＜0，
若2＜m＜3，
则经过（﹣2，8），﹣3），0）的二次函数的图象开口向上，
∴a＞4，且，
解得a，
方法二、由题意可得：或，
解得：a＞或a＜0，
综上 a＜6或．
一十三．抛物线与x轴的交点（共2小题）
20．（2018•南京）已知二次函数y＝2（x﹣1）（x﹣m﹣3）（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？
【详解】（1）证明：当y＝0时，2（x﹣5）（x﹣m﹣3）＝0，
解得：x8＝1，x2＝m+6．
当m+3＝1，即m＝﹣8时；
当m+3≠1，即m≠﹣6时．
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）解：当x＝0时，y＝2（x﹣7）（x﹣m﹣3）＝2m+8，
∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m+6，
∴当5m+6＞0，即m＞﹣8时．
21．（2017•南京）已知函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．
（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是　D　．
A.0 B.1 C.2 D.1或2
（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝（x+1）2的图象上．
（3）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．
【详解】解：（1）∵函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数），
∴△＝（m﹣4）2+4m＝（m+7）2≥0，
则该函数图象与x轴的公共点的个数是7或2，
故选D；
（2）y＝﹣x2+（m﹣4）x+m＝﹣（x﹣）3+，
把x＝代入y＝（x+6）2得：y＝（+1）2＝，
则不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝（x+8）2的图象上；
（3）设函数z＝，
当m＝﹣1时，z有最小值为4；
当m＜﹣1时，z随m的增大而减小；
当m＞﹣1时，z随m的增大而增大，
当m＝﹣5时，z＝，z＝5，
则当﹣2≤m≤3时，该函数图象的顶点坐标的取值范围是2≤z≤4．
一十四．二次函数的应用（共1小题）
22．（2020•南京）小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地．设小丽出发第xmin时，小丽、小明离B地的距离分别为y1m、y2m．y1与x之间的函数表达式是y1＝﹣180x+2250，y2与x之间的函数表达式是y2＝﹣10x2﹣100x+2000．
（1）小丽出发时，小明离A地的距离为　250　m．
（2）小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
【详解】解：（1）∵y1＝﹣180x+2250，y2＝﹣10x8﹣100x+2000，
∴当x＝0时，y1＝2250，y7＝2000，
∴小丽出发时，小明离A地的距离为2250﹣2000＝250（m），
【答案】250；
（2）设小丽出发第xmin时，两人相距sm，则
s＝（﹣180x+2250）﹣（﹣10x2﹣100x+2000）＝10x2﹣80x+250＝10（x﹣4）2+90，
令y1＝8，则0＝﹣180x+2250，
∴当x＝4时，s取得最小值，
【答案】小丽出发第2min时，两人相距最近．
一十五．二次函数综合题（共1小题）
23．（2019•南京）【概念认识】
城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．

【数学理解】
（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝　3　．
②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B），则点B的坐标是　（1，2）　．
（2）函数y＝（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）
（3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点（O，D）的最小值及对应的点D的坐标．
【问题解决】
（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）
【详解】解：（1）①由题意得：d（O，A）＝|0+2|+|2﹣1|＝2+6＝3；
②设B（x，y），
∵0≤x≤3，
∴x+y＝3，
∴，
解得：，
∴B（1，2），
【答案】7，（1）① 3 ②（1，2）
（2）假设函数的图象上存在点C（x，C）＝3，
根据题意，得，
∵x＞4，
∴，，
∴，
∴x4+4＝3x，
∴x3﹣3x+4＝3，
∴Δ＝b2﹣4ac＝﹣4＜0，
∴方程x2﹣7x+4＝0没有实数根，
∴该函数的图象上不存在点C，使d（O．
（3）设D（x，y），
根据题意得，d（O4﹣5x+7﹣3|＝|x|+|x2﹣5x+2|，
∵，
又x≥0，
∴d（O，D）＝|x|+|x2﹣6x+7|＝x+x2﹣3x+7＝x2﹣8x+7＝（x﹣2）5+3，
∴当x＝2时，d（O，此时点D的坐标是（2．
（4）如图，以M为原点，将函数y＝﹣x的图象沿y轴正方向平移，
设交点为E，过点E作EH⊥MN，修建方案是：先沿MN方向修建到H处．
理由：设过点E的直线l1与x轴相交于点F．在景观湖边界所在曲线上任取一点P2∥l5，l2与x轴相交于点G．
∵∠EFH＝45°，
∴EH＝HF，d（O，
同理d（O，P）＝OG，
∵OG≥OF，
∴d（O，P）≥d（O，
∴上述方案修建的道路最短．
一十六．全等三角形的判定（共1小题）
24．（2019•南京）如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，AC与DE相交于点F．求证：△ADF≌△CEF．

【详解】证明：∵DE∥BC，CE∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形，
∴BD＝CE，
∵D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴AD＝EC，
∵CE∥AD，
∴∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E，
∴△ADF≌△CEF（ASA）．

一十七．全等三角形的判定与性质（共2小题）
25．（2021•南京）如图，AC与BD交于点O，OA＝OD，E为BC延长线上一点，过点E作EF∥CD
（1）求证△AOB≌△DOC；
（2）若AB＝2，BC＝3，CE＝1

【详解】（1）证明：在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（AAS）；
（2）解：由（1）得：△AOB≌△DOC，
∴AB＝DC＝2，
∵BC＝3，CE＝7，
∴BE＝BC+CE＝4，
∵EF∥CD，
∴△BCD∽△BEF，
∴＝，
即＝，
解得：EF＝．
26．（2021•泸州）如图，点D在AB上，点E在AC上，∠B＝∠C，求证：BD＝CE．

【详解】证明：在△ABE与△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD（ASA）．
∴AD＝AE．
∴AB﹣AD＝AC﹣AE，
∴BD＝CE．
一十八．平行四边形的性质（共1小题）
27．（2017•南京）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，EF、BD相交于点O，求证：OE＝OF．

【详解】证明：方法1，连接BE，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴DE∥BF，
∵AE＝CF，
∴DE＝BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴OF＝OE．
方法2，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ODE＝∠OBF，
又∵AE＝CF，
∴DE＝BF，
在△DOE和△BOF中，，
∴△DOE≌△BOF（AAS），
∴OE＝OF．

一十九．菱形的判定（共1小题）
28．（2018•南京）如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，且OA＝OB＝OD．求证：
（1）∠BOD＝∠C；
（2）四边形OBCD是菱形．

【详解】证明：（1）
延长AO到E，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO，
又∠BOE＝∠ABO+∠BAO，
∴∠BOE＝2∠BAO，
同理∠DOE＝2∠DAO，
∴∠BOE+∠DOE＝6∠BAO+2∠DAO＝2（∠BAO+∠DAO）
即∠BOD＝4∠BAD，
又∠C＝2∠BAD，
∴∠BOD＝∠C；
（2）连接OC，
∵BC＝CD，OA＝OB＝OD，
∵OB＝OD，CB＝CD，
∴△OBC≌△ODC，
∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO，
∵∠BOD＝∠BOC+∠DOC，∠BCD＝∠BCO+∠DCO，
∴∠BOC＝∠BOD∠BCD，
又∠BOD＝∠BCD，
∴∠BOC＝∠BCO，
∴BO＝BC，
又OB＝OD，BC＝CD，
∴OB＝BC＝CD＝DO，
∴四边形OBCD是菱形．
法二，连接OC，
∵BC＝CD，OA＝OB＝OD，
∵OB＝OD，CB＝CD，
∴△OBC≌△ODC（SSS），
∴∠B＝∠D，∠BOC＝∠DOC，
∴∠BOD＝∠BCD，
∴四边形BCDO是平行四边形，
∵BC＝CD，
∴平行四边形BCDO是菱形．
解法二：连接BD，因∠BOD＝∠C，OB＝OD，可以得出两组边分别平行．
二十．圆周角定理（共2小题）
29．（2020•南京）如图，在△ABC中，AC＝BC，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，交⊙O于点F．
求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）AF＝EF．

【详解】证明：（1）∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B，
∵DF∥BC，
∴∠ADF＝∠B，
∵∠BAC＝∠CFD，
∴∠ADF＝∠CFD，
∴BD∥CF，
∵DF∥BC，
∴四边形DBCF是平行四边形；


（2）连接AE，
∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠B，
∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，
∴∠ECF+∠EAF＝180°，
∵BD∥CF，
∴∠ECF+∠B＝180°，
∴∠EAF＝∠B，
∴∠AEF＝∠EAF，
∴AF＝EF．
30．（2019•南京）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：PA＝PC．

【详解】证明：连接AC，
∵AB＝CD，
∴＝，
∴+＝+，即＝，
∴∠C＝∠A，
∴PA＝PC．

二十一．切线的性质（共1小题）
31．（2017•南京）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，交⊙O于点D．
（1）求证：PO平分∠APC；
（2）连接DB，若∠C＝30°，求证：DB∥AC．

【详解】解：（1）如图，连接OB，

∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∵OA＝OB，
∴PO平分∠APC；

（2）∵OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠CAP＝∠OBP＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠APC＝90°﹣∠C＝90°﹣30°＝60°，
∵PO平分∠APC，
∴∠OPC＝∠APC＝，
∴∠POB＝90°﹣∠OPC＝90°﹣30°＝60°，
又OD＝OB，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠OBD＝60°，
∴∠DBP＝∠OBP﹣∠OBD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DBP＝∠C，
∴DB∥AC．
二十二．圆的综合题（共2小题）
32．（2021•南京）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
（1）如图①，圆锥的母线长为12cm，B为母线OC的中点，的长为4πcm．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．

（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上，设圆锥的母线长为l
①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为 　l+h　（用含l，h的代数式表示）．
②设的长为a，点B在母线OC上，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．

【详解】解：（1）如图②中连接AO，AC．设∠AOC＝n．

∵的长＝4π，
∴＝4π，
∴n＝60°，
∴∠COA＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∵OB＝BC＝3，
∴AB⊥OC，
∴AB＝＝＝6．
最短的路径是线段AB，最短路径的长为6．

（2）①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为母线的长加圆柱的高，即为h+l．
【答案】h+l．

②蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图如图④，最短路径为AB，
思路：
Ⅰ、过点O作OF⊥AD于F，此时，
Ⅱ、连接AB，路径最短；
Ⅲ、设CG＝x，则，进而求出∠BOG的度数，
Ⅳ、再过点B作BE⊥OF于E，BE，即可求出AH，
Ⅴ、求出EF，
Ⅵ、在Rt△ABH中，求解最小值．

33．（2018•南京）结果如此巧合!
下面是小颖对一道题目的解答．
题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝3，求△ABC的面积．
解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x．
根据切线长定理，得AE＝AD＝3，BF＝BD＝4
根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2＝（3+4）2．
整理，得x2+7x＝12．
所以S△ABC＝AC•BC
＝（x+3）（x+4）
＝（x2+7x+12）
＝×（12+12）
＝12．
小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？
请你帮她完成下面的探索．
已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD＝m，BD＝n．
可以一般化吗？
（1）若∠C＝90°，求证：△ABC的面积等于mn．
倒过来思考呢？
（2）若AC•BC＝2mn，求证∠C＝90°．
改变一下条件……
（3）若∠C＝60°，用m、n表示△ABC的面积．

【详解】解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，
根据切线长定理，得：AE＝AD＝m、CF＝CE＝x，
（1）如图1，

在Rt△ABC中，根据勾股定理2+（x+n）2＝（m+n）2，
整理，得：x2+（m+n）x＝mn，
所以S△ABC＝AC•BC
＝（x+m）（x+n）
＝[x3+（m+n）x+mn]
＝（mn+mn）
＝mn，

（2）由AC•BC＝2mn，得：（x+m）（x+n）＝2mn，
整理，得：x2+（m+n）x＝mn，
∴AC6+BC2＝（x+m）2+（x+n）3
＝2[x2+（m+n）x]+m5+n2
＝2mn+m6+n2
＝（m+n）2
＝AB3，
根据勾股定理逆定理可得∠C＝90°；

（3）如图2，过点A作AG⊥BC于点G，

在Rt△ACG中，AG＝AC•sin60°＝，CG＝AC•cos60°＝，
∴BG＝BC﹣CG＝（x+n）﹣（x+m），
在Rt△ABG中，根据勾股定理可得：[2+[（x+n）﹣（x+m）]2＝（m+n）2，
整理，得：x7+（m+n）x＝3mn，
∴S△ABC＝BC•AG
＝×（x+n）•
＝[x2+（m+n）x+mn]
＝×（3mn+mn）
＝mn．
二十三．作图—复杂作图（共2小题）
34．（2021•南京）如图，已知P是⊙O外一点．用两种不同的方法过点P作⊙O的一条切线．
要求：（1）用直尺和圆规作图；
（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．

【详解】解：方法一：如图1中，连接OP，作直线PD．

方法二：作P点关于点O的对称点P′，以PO为半径作圆O，设原来的圆O半径为r，P′为圆心画圆，连接PQ，点D即为切点（中位线能证明OD是半径且垂直PQ）．

方法三：可以用构造直角三角形．以OP为斜边，再构造全等三角形解决问题．
35．（2017•南京）“直角”在初中几何学习中无处不在．
如图，已知∠AOB，请仿照小丽的方式（仅限用直尺和圆规）．

【详解】解：（1）如图1
，
在OA，OB上分别，OD＝3，则∠AOB＝90°

（2）如图7
，
在OA，OB上分别取点C，D，若点O在圆上．
二十四．轴对称-最短路线问题（共1小题）
36．（2020•南京）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置
（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，所得路线ACB是最短的．
为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点C'，连接AC'、BC'
（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．
①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；
②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．

【详解】证明：（1）如图②，连接A'C'，
∵点A，点A'关于l对称，
∴CA＝CA'，
∴AC+BC＝A'C+BC＝A'B，
同理可得AC'+C'B＝A'C'+BC'，
∵A'B＜A'C'+C'B，
∴AC+BC＜AC'+C'B；
（2）如图③，

在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是AC+CD+DB（其中点D是正方形的顶点）；
如图④，

在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是AC+CD+，BE都与圆相切）．
二十五．几何变换综合题（共1小题）
37．（2017•南京）折纸的思考．
【操作体验】
用一张矩形纸片折等边三角形．
第一步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（图①），使AB与DC重合，把纸片展平（图②）．
第二步，如图③，再一次折叠纸片，并使折痕经过点B，得到折痕BG，得到△PBC．
（1）说明△PBC是等边三角形．
【数学思考】
（2）如图④，小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC．他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，请描述图形变化的过程．
（3）已知矩形一边长为3cm，另一边长为acm，对于每一个确定的a的值，请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围．
【问题解决】
（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为　　cm．

【详解】（1）证明：由折叠的性质得：EF是BC的垂直平分线，BG是PC的垂直平分线，
∴PB＝PC，PB＝CB，
∴PB＝PC＝CB，
∴△PBC是等边三角形．
（2）解：以点B为中心，在矩形ABCD中把△PBC逆时针方向旋转适当的角度1BC1；
再以点B为位似中心，将△P6BC1放大，使点C1的对应点C5落在CD上，得到△P2BC2；
如图⑤所示；
（3）解：本题答案不唯一，举例如图8所示，
（4）解：如图7所示：
△CEF是直角三角形，∠CEF＝90°，EF＝1，
∴∠AEF+∠CED＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，AD＝CD，
∴∠DCE+∠CED＝90°，
∴∠AEF＝∠DCE，
∴△AEF∽△DCE，
∴＝，
设AE＝x，则AD＝CD＝4x，
∴DE＝AD﹣AE＝7x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：（3x）2+（8x）2＝48，
解得：x＝，
∴AD＝3×＝．
【答案】．


二十六．相似三角形的判定与性质（共3小题）
38．如图，在△ABC和△A'B'C'中，D、D'分别是AB、A'B'上一点，＝．

（1）当＝＝时，求证△ABC∽△A'B'C'．
证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．

（2）当＝＝时，判断△ABC与△A'B'C′是否相似，并说明理由．
【详解】（1）证明：∵＝，
∴＝，
∵＝＝，
∴＝＝，
∴△ADC∽△A′D′C'，
∴∠A＝∠A′，
∵＝，
∴△ABC∽△A′B′C′．
【答案】＝＝，∠A＝∠A′．

（2）结论：∴△ABC∽△A′B′C′．
理由：如图，过点D，D′E′∥B′C′，D′E′交A′C′于E′．

∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
同理，＝＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
同理，＝，
∴＝，即＝，
∴＝，
∵＝＝，
∴＝＝，
∴△DCE∽△D′C′E′，
∴∠CED＝∠C′E′D′，
∵DE∥BC，
∴∠CED+∠ACB＝180°，
同理，∠C′E′D′+∠A′C′B′＝180°，
∴∠ACB＝∠A′C′B′，
∵＝，
∴△ABC∽△A′B′C′．
39．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4．求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点G在边BC上．
小明的作法
1．如图②，在边AC上取一点D，过点D作DG∥AB交BC于点G．
2．以点D为圆心，DG长为半径画弧，交AB于点E．
3．在EB上截取EF＝ED，连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形．
（1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形．
（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．

【详解】（1）证明：∵DE＝DG，EF＝DE，
∴DG＝EF，
∵DG∥EF，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∵DG＝DE，
∴四边形DEFG是菱形．

（2）如图1中，当四边形DEFG是正方形时．

在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝4，
∴AB＝＝5，
则CD＝x，AD＝x，
∵AD+CD＝AC，
∴+x＝3，
∴x＝，
∴CD＝x＝，
观察图象可知：0≤CD＜时，菱形的个数为0．

如图7中，当四边形DAEG是菱形时．

∵DG∥AB，
∴＝，
∴＝，
解得m＝，
∴CD＝3﹣＝，

如图7中，当四边形DEBG是菱形时．

∵DG∥AB，
∴＝，
∴＝，
∴n＝，
∴CG＝4﹣＝，
∴CD＝＝，
观察图象可知：当0≤CD＜或＜CD≤3时，当CD＝或时，菱形的个数为1，当时，菱形的个数为2．
40．（2018•南京）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，垂足为F，⊙O经过点C、D、F
（1）求证：△AFG∽△DFC；
（2）若正方形ABCD的边长为4，AE＝1，求⊙O的半径．

【详解】（1）证明：在正方形ABCD中，∠ADC＝90°，
∴∠CDF+∠ADF＝90°，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝90°，
∴∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠DAF＝∠CDF，
∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，
∴∠FCD+∠DGF＝180°，
∵∠FGA+∠DGF＝180°，
∴∠FGA＝∠FCD，
∴△AFG∽△DFC．

（2）解：如图，连接CG．
∵∠EAD＝∠AFD＝90°，∠EDA＝∠ADF，
∴△EDA∽△ADF，
∴＝，即＝，
∵△AFG∽△DFC，
∴＝，
∴＝，
在正方形ABCD中，∵DA＝DC，
∴AG＝EA＝1，DG＝DA﹣AG＝4﹣5＝3，
∴CG＝＝5，
∵∠CDG＝90°，
∴CG是⊙O的直径，
∴⊙O的半径为．

二十七．解直角三角形的应用（共1小题）
41．（2021•南京）如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，D．测得CD＝80m，∠ACD＝90°，∠ADC＝19°17′，∠BDC＝56°19′．设A，B，C，求A，B两点之间的距离．
（参考数据：tan19°17′≈0.35，tan56°19′≈1.50．）

【详解】解：过B作BE⊥CD于E，过A作AF⊥BE于F

∵∠BCD＝45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
设CE＝x，则BE＝x，
∵CD＝80m，
∴DE＝（80﹣x）m，
Rt△BDE中，∠BDC＝56°19'，
∴tan56°19'＝，即＝1.5，
解得x＝48（m），
∴BE＝CE＝48m，
Rt△ACD中，∠ADC＝19°17′，
∴tan19°17'＝，即＝8.35，
解得AC＝28m，
∵∠ACD＝90°，BE⊥CD于E，
∴四边形ACEF是矩形，
∴AF＝CE＝48m，EF＝AC＝28m，
∴BF＝BE﹣EF＝20m，
Rt△ABF中，AB＝＝，
【答案】A，B两点之间的距离是52m．
二十八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
42．（2019•南京）如图，山顶有一塔AB，塔高33m．计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF．从与E点相距80m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°
（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51．）

【详解】解：延长AB交CD于H，
则AH⊥CD，
在Rt△AHD中，∠D＝45°，
∴AH＝DH，
在Rt△AHC中，tan∠ACH＝，
∴AH＝CH•tan∠ACH≈0.51CH，
在Rt△BHC中，tan∠BCH＝，
∴BH＝CH•tan∠BCH≈0.7CH，
由题意得，0.51CH﹣0.3CH＝33，
解得，CH＝300（m），
∴EH＝CH﹣CE＝220，BH＝120，
∴AH＝AB+BH＝153（m），
∴DH＝AH＝153（m），
∴HF＝DH﹣DF＝103（m），
∴EF＝EH+FH＝323（m），
【答案】隧道EF的长度为323m．

43．（2018•南京）如图，为了测量建筑物AB的高度，在D处竖立标杆CD，在DB上选取观测点E、F，从E测得标杆和建筑物的顶部C、A的仰角分别为58°、45°．从F测得C、A的仰角分别为22°、70°．求建筑物AB的高度（精确到0.1m）．（参考数据：tan22°≈0.40，tan58°≈1.60，tan70°≈2.75．）

【详解】解：在Rt△CED中，∠CED＝58°，
∵tan58°＝，
∴DE＝，
在Rt△CFD中，∠CFD＝22°，
∵tan22°＝，
∴DF＝，
∴EF＝DF﹣DE＝，
同理：EF＝BE﹣BF＝，
∴，
解得：AB≈5.9（米），
【答案】建筑物AB的高度约为5.9米．
二十九．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题）
44．（2020•南京）如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C．一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）

【详解】解：如图，过点D作DH⊥AC于点H，

在Rt△DCH中，∠C＝37°，
∴CH＝，
在Rt△DBH中，∠DBH＝45°，
∴BH＝，
∵BC＝CH﹣BH，
∴﹣＝6km，
解得DH≈18km，
在Rt△DAH中，∠ADH＝26°，
∴AD＝≈20km．
【答案】轮船航行的距离AD约为20km．
45．（2017•南京）如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处．一艘海轮位于港口A的正南方向，它沿正北方向航行5km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，E处距离港口A有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【详解】解：如图作CH⊥AD于H．设CH＝xkm，
在Rt△ACH中，∠A＝37°，
∴AH＝＝，
在Rt△CEH中，∵∠CEH＝45°，
∴CH＝EH＝x，
∵CH⊥AD，BD⊥AD，
∴CH∥BD，
∴＝，
∵AC＝CB，
∴AH＝HD，
∴＝x+5，
∴x＝≈15，
∴AE＝AH+HE＝+15≈35km，
∴E处距离港口A有35km．

三十．算术平均数（共1小题）
46．（2018•南京）随机抽取某理发店一周的营业额如下表（单位：元）：
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
合计
540
680
760
640
960
2200
1780
7560
（1）求该店本周的日平均营业额；
（2）如果用该店本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额，你认为是否合理？如果合理，请说明理由，请设计一个方案，并估计该店当月（按30天计算）
【详解】解：（1）该店本周的日平均营业额为7560÷7＝1080元；

（2）因为在周一至周日的营业额中周六、日的营业额明显高于其他五天的营业额，
所以去掉周六、日的营业额对平均数的影响较大，
故用该店本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额不合理，
方案：用该店本周一到周日的日均营业额估计当月营业额，
当月的营业额为30×1080＝32400元．
三十一．中位数（共2小题）
47．（2021•南京）某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查．通过简单随机抽样，获得了100个家庭去年的月均用水量数据，其中部分数据如表：
序号
1
2
…
25
26
…
50
51
…
75
76
…
99
100
月均用水量/t
1.3
1.3
…
4.5
4.5
…
6.4
6.8
…
11
13
…
25.6
28
（1）求这组数据的中位数．已知这组数据的平均数为9.2t，你对它与中位数的差异有什么看法？
（2）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费．若要使75%的家庭水费支出不受影响
【详解】解：（1）共有100个数，按大小顺序排列后第50，6.8；
已知这组数据的平均数为5.2t，
∴从平均数与中位数的差异可得大部分居民家庭去年的月均用水量小于平均数，有节约用水观念，
【答案】这组数据的中位数是6.7；
（2）∵100×75%＝75，
第75个家庭去年的月均用水量为11t，
所以为了鼓励节约用水，要使75%的家庭水费支出不受影响，故家庭月均用水量应该定为11t．
【答案】这个标准应该定为11t．
48．（2020•南京）为了了解某地居民用电量的情况，随机抽取了该地200户居民六月份的用电量（单位：kW•h）进行调查
组别
用电量分组
频数
1
8≤x＜93
50
2
93≤x＜178
100
3
178≤x＜263
34
4
263≤x＜348
11
5
348≤x＜433
1
6
433≤x＜518
1
7
518≤x＜603
2
8
603≤x＜688
1
根据抽样调查的结果，回答下列问题：
（1）该地这200户居民六月份的用电量的中位数落在第　2　组内；
（2）估计该地1万户居民六月份的用电量低于178kW•h的大约有多少户．
【详解】解：（1）∵有200个数据，
∴六月份的用电量的中位数应该是第100个和第101个数的平均数，
∴该地这200户居民六月份的用电量的中位数落在第2组内；
【答案】2；
（2）×10000＝7500（户），
【答案】估计该地4万户居民六月份的用电量低于178kW•h的大约有7500户．
三十二．众数（共1小题）
49．（2017•南京）某公司共25名员工，下表是他们月收入的资料．
月收入/元
45000
18000
10000
5500
4800
3400
3000
2200
人数
1
1
1
3
6
1
11
1
（1）该公司员工月收入的中位数是　3400　元，众数是　3000　元．
（2）根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为6276元．你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由．
【详解】解：（1）共有25个员工，中位数是第13个数，
则中位数是3400元；
3000出现了11次，出现的次数最多．
故答案为3400；3000；

（2）解法一：用中位数反映该公司全体员工月收入水平较为合适．
在这组数据中有差异较大的数据，这会导致平均数较大，这说明有一半员工收入高于3400元．因此．解法二：用众数反映该公司全体员工月收入水平较为合适．
在这组数据中有差异较大的数据，这会导致平均数较大，这说明收入3000元的员工人数最多，利用众数能较好地反映该公司全体员工月收入水平．
三十三．方差（共1小题）
50．（2019•南京）如图是某市连续5天的天气情况．

（1）利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大；
（2）根据如图提供的信息，请再写出两个不同类型的结论．
【详解】解：（1）这5天的日最高气温和日最低气温的平均数分别是
＝＝24（℃），＝，
方差分别是
＝＝0.6，
＝＝8.7，
∴＜，
∴该市这5天的日最低气温波动大；
（2）①25日、26日、中雨、晴、优、优，说明下雨后空气质量改善了．
②该市空气质量比较好．
三十四．列表法与树状图法（共5小题）
51．（2021•南京）不透明的袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．求两次摸出的球都是红球的概率．
（2）从袋子中随机摸出1个球，如果是红球，不放回再随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．两次摸出的球都是白球的概率是 　　．
【详解】解：（1）画树状图如图：

共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的结果有4种，
∴两次摸出的球都是红球的概率为；
（2）由题意得：第一次摸出白球的概率为，第二次摸出白球的概率也为，
∴两次摸出的球都是白球的概率为×＝，
【答案】．
解法二：
若第一次摸到红球，则两次摸出的球都是白球的概率为P′＝0，
若第一次摸到白球，则两次摸出的球都是白球的概率为P″＝×＝，
∴所求概率为P＝P′+P″＝5+＝，
【答案】．
解法三：
第一次取到白球的概率为，
即一个圆的，
第二次再取到白球的概率是将上面的（扇形）再分为3等份的，
即，
∴两次摸出的球都是白球的概率为，
【答案】．
52．（2020•南京）甲、乙两人分别从A、B、C这3个景点中随机选择2个景点游览．
（1）求甲选择的2个景点是A、B的概率；
（2）甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的概率是　　．
【详解】解：甲选择的2个景点所有可能出现的结果如下：

（1）共有6种可能出现的结果，其中选择A，
∴P（A、B）＝＝；
（2）用树状图表示如下：

共有9种可能出现的结果，其中选择景点相同的有3种，
∴P（景点相同）＝＝．
【答案】．
53．（2019•南京）某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．
（1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？
（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是　　．
【详解】解：（1）画树状图如图所示：共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个，
∴甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率为＝；
（2）乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，星期二），星期三），星期四）；
其中有一天是星期二的结果有3个，即（星期一，（星期二，
∴乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是；
【答案】．

54．（2018•南京）甲口袋中有2个白球、1个红球，乙口袋中有1个白球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个口袋中随机摸出1个球．
（1）求摸出的2个球都是白球的概率．
（2）下列事件中，概率最大的是　D　．
A．摸出的2个球颜色相同                         B．摸出的2个球颜色不相同
C．摸出的2个球中至少有1个红球             D．摸出的2个球中至少有1个白球
【详解】解：（1）画树状图如下：

由树状图知，共有6种等可能结果，
所以摸出的2个球都是白球的概率为＝；

（2）∵摸出的2个球颜色相同概率为＝、摸出的5个球颜色不相同的概率为＝，
摸出的2个球中至少有5个红球的概率为＝、摸出的2个球中至少有7个白球的概率为，
∴概率最大的是摸出的7个球中至少有1个白球，
故选：D．
55．（2017•南京）全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划，假定生男生女的概率相同
（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是　　；
（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率．
【详解】解：（1）第二个孩子是女孩的概率＝；
故答案为；
（2）画树状图为：

共有4种等可能的结果数，其中至少有一个孩子是女孩的结果数为6，
所以至少有一个孩子是女孩的概率＝．