江苏省镇江市五年（2017-2021）中考数学真题解答题知识点分类汇编（含答案）

这是一份江苏省镇江市五年（2017-2021）中考数学真题解答题知识点分类汇编（含答案），共77页。试卷主要包含了0﹣sin30°，0﹣2sin45°+；，0；，﹣1﹣2cs60°；，【算一算】，解方程等内容，欢迎下载使用。
江苏省镇江市五年（2017-2021）中考数学真题解答题知识点分类汇编（含答案）

一．单项式乘多项式（共1小题）
1．（2018•镇江）（1）计算：2﹣1+（2018﹣π）0﹣sin30°
（2）化简：（a+1）2﹣a（a+1）﹣1．
二．多项式乘多项式（共1小题）
2．（2017•镇江）（1）计算：（﹣2）2+tan45°﹣（﹣2）0
（2）化简：x（x+1）﹣（x+1）（x﹣2）
三．分式的混合运算（共3小题）
3．（2021•镇江）（1）计算：（1﹣）0﹣2sin45°+；
（2）化简：（x2﹣1）÷（1﹣）﹣x．
4．（2020•镇江）（1）计算：4sin60°﹣+（﹣1）0；
（2）化简（x+1）÷（1+）．
5．（2019•镇江）（1）计算：（﹣2）0+（）﹣1﹣2cos60°；
（2）化简：（1+）÷．
四．一元一次方程的应用（共1小题）
6．（2018•镇江）小李读一本名著，星期六读了36页，第二天读了剩余部分的，这本名著共有多少页？
五．二元一次方程组的应用（共2小题）
7．（2021•镇江）《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百，盈一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱；每人出300钱，会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题．
8．（2020•镇江）【算一算】
如图①，点A、B、C在数轴上，B为AC的中点，点B表示1，则点C表示的数为　 　，AC长等于　 　；
【找一找】
如图②，点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点，点A、B分别表示实数+1，Q是AB的中点　 　是这个数轴的原点；
【画一画】
如图③，点A、B分别表示实数c﹣n、c+n，在这个数轴上作出表示实数n的点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
【用一用】
学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测a个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m个学生，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，a、m、b会有怎样的数量关系呢？
爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数m+4b记作+（m+4b）；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a记作﹣8a
①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+（m+2b）、﹣12a的点F、G，并写出+（m+2b）；
②写出a、m的数量关系：　 　．

六．解分式方程（共4小题）
9．（2021•镇江）（1）解方程：﹣＝0；
（2）解不等式组：．
10．（2020•镇江）（1）解方程：＝+1；
（2）解不等式组：
11．（2019•镇江）（1）解方程：＝+1；
（2）解不等式：4（x﹣1）﹣＜x
12．（2018•镇江）（1）解方程：＝+1．
（2）解不等式组：
七．分式方程的应用（共1小题）
13．（2017•镇江）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4cm．点D在AC上，AD＝1cm，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了2cm；点Q保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动，设点P原来的速度为xcm/s．
（1）点Q的速度为　 　cm/s（用含x的代数式表示）．
（2）求点P原来的速度．

八．解一元一次不等式（共1小题）
14．（2017•镇江）（1）解方程组：
（2）解不等式：＞1﹣．
九．一次函数的应用（共1小题）
15．（2019•镇江）学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．
在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．
兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的”迎面相遇“包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．
【观察】
①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，相遇地点与点A之间的距离为　 　个单位长度；
②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时　 　个单位长度；
【发现】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，并画出了部分函数图象（线段OP，不包括点O，如图2所示）．
①a＝　 　；
②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象；
【拓展】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时
若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时　 　．（直接写出结果）

一十．一次函数综合题（共1小题）
16．（2018•镇江）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴（﹣9，0），B（0，6）两点，过点C（2，0），点E在直线l位于x轴上方的部分．
（1）求一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式；
（2）若△ACE的面积为11，求点E的坐标；
（3）当∠CBE＝∠ABO时，点E的坐标为　 　．

一十一．反比例函数综合题（共4小题）
17．（2021•镇江）如图，点A和点E（2，1）是反比例函数y＝（x＞0），点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，B作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，连接AB交y轴于点F．
（1）k＝　 　；
（2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：am＝﹣2；
（3）连接CE，DE，当∠CED＝90°时　 　．

18．（2020•镇江）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣（n，2）和点B．
（1）n＝　 　，k＝　 　；
（2）点C在y轴正半轴上．∠ACB＝90°，求点C的坐标；
（3）点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角

19．（2019•镇江）如图，点A（2，n）和点D是反比例函数y＝（m＞0，x＞0），一次函数y＝kx+3（k≠0）的图象经过点A，与x轴交于点C，过点D作DE⊥x轴，连接OA，OD．已知△OAB与△ODE的面积满足S△OAB：S△ODE＝3：4．
（1）S△OAB＝　 　，m＝　 　；
（2）已知点P（6，0）在线段OE上，当∠PDE＝∠CBO时

20．（2017•镇江）如图1，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点A（1，3），B（m，1），直线OA与反比例函数y＝（k≠0）的图象的另一支交于点C，点E是点D关于直线l的对称点．

（1）k＝　 　；
（2）判断点B、E、C是否在同一条直线上，并说明理由；
（3）如图2，已知点F在x轴正半轴上，OF＝（k≠0）的图象位于第一象限部分上的点（点P在点A的上方），∠ABP＝∠EBF　 　，　 　）．
一十二．二次函数综合题（共5小题）
21．（2021•镇江）将一张三角形纸片ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点A（﹣6，0），点B（0，2）（﹣4，8），二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，该抛物线的对称轴经过点C
（1）求该二次函数的表达式及点D的坐标；
（2）点M在边AC上（异于点A，C），将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，点M的对应点记为点N，折痕所在直线l交抛物线的对称轴于点P
①请作出图中点M的对应点N和折痕所在直线l；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
②连接MP，NP，在下列选项中：A．折痕与AB垂直，C.＝，D.＝　 　．
③点Q在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，当△PDQ∼△PMN时

22．（2020•镇江）如图①，直线l经过点（4，0）且平行于y轴2﹣2ax+c（a、c是常数，a＜0）的图象经过点M（﹣1，1），交直线l于点N，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点．
（1）当a＝﹣1时，求点N的坐标及的值；
（2）随着a的变化，的值是否发生变化？请说明理由；
（3）如图②，E是x轴上位于点B右侧的点，BC＝2BE，求此时的二次函数表达式．

23．（2019•镇江）如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5图象的顶点为D，对称轴是直线l，一次函数y＝，且与直线DA关于l的对称直线交于点B．
（1）点D的坐标是　 　；
（2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵坐标为n．过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P、Q
①当n＝时，求DP的长；
②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围　 　．

24．（2018•镇江）如图，二次函数y＝x2﹣3x的图象经过O（0，0），A（4，4），B（3，0）三点，以点O为位似中心，得到△OA′B′，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过O，A′
（1）画出△OA′B′，试求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；
（2）点P（m，n）在二次函数y＝x2﹣3x的图象上，m≠0，直线OP与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于点Q（异于点O）．
①求点Q的坐标（横、纵坐标均用含m的代数式表示）
②连接AP，若2AP＞OQ，求m的取值范围；
③当点Q在第一象限内，过点Q作QQ′平行于x轴，与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于另一点Q′，与二次函数y＝x2﹣3x的图象交于点M，N（M在N的左侧），直线OQ′与二次函数y＝x2﹣3x的图象交于点P′．△Q′P′M∽△QB′N，则线段NQ的长度等于　 　．

25．（2017•镇江）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上（4，t）（t＞0），二次函数y＝x2+bx（b＜0）的图象经过点B，顶点为点D．
（1）当t＝12时，顶点D到x轴的距离等于　 　；
（2）点E是二次函数y＝x2+bx（b＜0）的图象与x轴的一个公共点（点E与点O不重合），求OE•EA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；
（3）矩形OABC的对角线OB、AC交于点F，直线l平行于x轴，交二次函数y＝x2+bx（b＜0）的图象于点M、N，连接DM、DN，求t的值．

一十三．全等三角形的判定与性质（共3小题）
26．（2020•镇江）如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，BE＝CD，BF＝CA
（1）求证：∠D＝∠2；
（2）若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数．

27．（2019•镇江）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE＝CF，过点A、C分别作EF的垂线
（1）求证：△AGE≌△CHF；
（2）连接AC，线段GH与AC是否互相平分？请说明理由．

28．（2018•镇江）如图，△ABC中，AB＝AC，F在边BC上，BE＝CF，AD＝AC．
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠BAE＝30°，则∠ADC＝　 　°．

一十四．平行四边形的判定与性质（共1小题）
29．（2017•镇江）如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠1＝∠2．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）已知DE＝2，连接BN，若BN平分∠DBC

一十五．菱形的判定（共1小题）
30．（2021•镇江）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长DA，使得AE＝CF，连接BE
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接BD，∠1＝30°，∠2＝20°　 　°时，四边形BFDE是菱形．

一十六．四边形综合题（共3小题）
31．（2021•镇江）如图1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB，DC为铅直方向的边，AF，BC为水平方向的边，点E在AB，且在AF，BC之间，记作“L图形ABCDEF”．若直线将L图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线为该L图形的面积平分线．
【活动】
小华同学给出了图1的面积平分线的一个作图方案：如图2，将这个L图形分成矩形AGEF、矩形GBCD，这两个矩形的对称中心O1，O2所在直线是该L图形的面积平分线．
请用无刻度的直尺在图1中作出其他的面积平分线．（作出一种即可，不写作法，保留作图痕迹）

【思考】
如图3，直线O1O2是小华作的面积平分线，它与边BC，AF分别交于点M，N，AF于点P，Q，直线PQ　 　（填“是”或“不是”）L图形ABCDEF的面积平分线．

【应用】
在L图形ABCDEF形中，已知AB＝4，BC＝6．
（1）如图4，CD＝AF＝1．
①该L图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点P，Q，求PQ长的最大值；
②该L图形的面积平分线与边AB，CD分别相交于点G，H，当GH的长取最小值时　 　．
（2）设＝t（t＞0），在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，CD相交的面积平分线，直接写出t的取值范围 　 　．
32．（2018•镇江）（1）如图1，将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，点C落在点C′处，若∠ADB＝46°　 　°．
（2）小明手中有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，AD＝9．
【画一画】
如图2，点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，折痕设为MN（点M，N分别在边AD，BC上），利用直尺和圆规画出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；
【算一算】
如图3，点F在这张矩形纸片的边BC上，将纸片折叠，折痕为GF，点A，B′处，若AG＝；
【验一验】
如图4，点K在这张矩形纸片的边AD上，DK＝3，使AB落在CK所在直线上，折痕为HI，B分别落在点A′，B′处，他的判断是否正确，请说明理由．

33．（2017•镇江）【回顾】
如图1，△ABC中，∠B＝30°，BC＝4，则△ABC的面积等于　 　．
【探究】
图2是同学们熟悉的一副三角尺，一个含有30°的角，较短的直角边长为a，直角边长为b，小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形ABCD（如图3），从而推出sin75°＝，小丽用两副这样的三角尺拼成了一个矩形EFGH（如图4），请你写出小明或小丽推出sin75°＝的具体说理过程．
【应用】
在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝75°，CD＝5，AD＝10（如图5）
（1）点E在AD上，设t＝BE+CE，求t2的最小值；
（2）点F在AB上，将△BCF沿CF翻折，点B落在AD上的点G处

一十七．直线与圆的位置关系（共1小题）
34．（2021•镇江）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边BC上，B，P三点．
（1）若BP＝3，判断边CD所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，E是CD的中点，⊙O交射线AE于点Q，求tan∠EAP的值．

一十八．切线的性质（共1小题）
35．（2019•镇江）【材料阅读】
地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的⊙O）．人们在北半球可观测到北极星（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时
【实际应用】
观测点A在图1所示的⊙O上，现在利用这个工具尺在点A处测得α为31°，在点A所在子午线往北的另一个观测点B，PQ⊥ON．
（1）求∠POB的度数；
（2）已知OP＝6400km，求这两个观测点之间的距离即⊙O上的长．（π取3.1）

一十九．切线的判定与性质（共3小题）
36．（2020•镇江）如图，▱ABCD中，∠ABC的平分线BO交边AD于点O，以点O为圆心，OD长为半径作⊙O，OE交⊙O于点G，G为
（1）求证：四边形ABEO为菱形；
（2）已知cos∠ABC＝，连接AE，当AE与⊙O相切时

37．（2019•镇江）如图，在△ABC中，AB＝AC，交BC的延长线于点D，以O为圆心
（1）求证：直线AB与⊙O相切；
（2）若AB＝5，⊙O的半径为12，则tan∠BDO＝　 　．

38．（2018•镇江）如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AD＝10，点P在边AD上运动，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．
（1）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；
（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4　 　．

二十．正多边形和圆（共1小题）
39．（2019•镇江）在三角形纸片ABC（如图1）中，∠BAC＝78°，AC＝10．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）．
（1）∠ABC＝　 　°；
（2）求正五边形GHMNC的边GC的长．
参考值：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.7．

二十一．圆的综合题（共1小题）
40．（2017•镇江）如图1，Rt△ACB 中，∠C＝90°，∠CBD＝∠A，过A、D两点的圆的圆心O在AB上．
（1）利用直尺和圆规在图1中画出⊙O（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线条描清楚）；
（2）判断BD所在直线与（1）中所作的⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）设⊙O交AB于点E，连接DE，过点E作EF⊥BC，若点D是线段AC的黄金分割点（即＝），如图2

二十二．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共3小题）
41．（2020•镇江）如图，点E与树AB的根部点A、建筑物CD的底部点C在一条直线上，AC＝10m．小明站在点E处观测树顶B的仰角为30°，观测树顶B的仰角为45°，此时恰好看不到建筑物CD的顶部D（H、B、D三点在一条直线上），求建筑物CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.41，≈1.73．）

42．（2018•镇江）如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24米（B，E，D在一条直线上）处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8米到达点G处，H距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB的高度AB长．（精确到0.1米）≈1.41，≈1.73．

43．（2017•镇江）如图，小明在教学楼A处分别观测对面实验楼CD底部的俯角为45°，顶部的仰角为37°，观测点距地面的垂直高度AB为15m，求实验楼的垂直高度即CD长（精确到1m）
参考值：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75．

二十三．扇形统计图（共1小题）
44．（2021•镇江）如表是第四至七次全国人口普查的相关数据．
年份
我国大陆人口总数
其中具有大学文化程度的人数
每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数
1990年
1133682501
16124678
1422
2000年
1265830000
45710000
3611
2010年
1339724852
119636790
8930
2020年
1411778724
218360767
15467
（1）设下一次人口普查我国大陆人口共a人，其中具有大学文化程度的有b人，则该次人口普查中每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数为 　 　；（用含有a，b的代数式表示）
（2）如果将2020年大陆人口中具有各类文化程度（含大学、高中、初中、小学、其他）的人数分布制作成扇形统计图，求其中表示具有大学文化程度类别的扇形圆心角的度数；（精确到1°）
（3）你认为统计“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”这样的数据有什么好处？（写出一个即可）
二十四．条形统计图（共2小题）
45．（2019•镇江）陈老师对他所教的九（1）、九（2）两个班级的学生进行了一次检测（各类别的得分如下表），并绘制了如图所示的每班各类别得分人数的条形统计图（不完整）．
各类别的得分表
得分
类别
0
A：没有作答
1
B：解答但没有正确
3
C：只得到一个正确答案
6
D：得到两个正确答案，解答完全正确
已知两个班一共有50%的学生得到两个正确答案，解答完全正确，九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分．请解决如下问题：
（1）九（2）班学生得分的中位数是　 　；
（2）九（1）班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数各是多少？

46．（2017•镇江）为了解射击运动员小杰的集训效果，教练统计了他集训前后的两次测试成绩（每次测试射击10次），制作了如图所示的条形统计图．
（1）集训前小杰射击成绩的众数为　 　；
（2）分别计算小杰集训前后射击的平均成绩；
（3）请用一句话评价小杰这次集训的效果．

二十五．加权平均数（共1小题）
47．（2020•镇江）教育部发布的义务教育质量监测结果报告显示，我国八年级学生平均每天的睡眠时间达9小时及以上的比例为19.4%．某校数学社团成员采用简单随机抽样的方法，抽取了本校八年级50名学生（单位：小时）进行了调查，将数据整理后绘制成下表：
平均每天的睡眠时间分组
5≤t＜6
6≤t＜7
7≤t＜8
8≤t＜9
9小时及以上
频数
1
5
m
24
n
该样本中学生平均每天的睡眠时间达9小时及以上的比例高于全国的这项数据，达到了22%．
（1）求表格中n的值；
（2）该校八年级共400名学生，估计其中平均每天的睡眠时间在7≤t＜8这个范围内的人数是多少．
二十六．中位数（共1小题）
48．（2018•镇江）某班50名学生的身高如下（单位：cm）：
160 163 152 161 167 154 158 171 156 168
178 151 156 158 165 160 148 155 162 175
158 167 157 153 164 172 153 159 174 155
169 163 158 150 177 155 166 161 159 164
171 154 157 165 152 167 157 162 155 160
（1）小丽用简单随机抽样的方法从这50个数据中抽取一个容量为5的样本：161，155，174，152，请你计算小丽所抽取的这个样本的平均数；
（2）小丽将这50个数据按身高相差4cm分组，并制作了如下的表格：
身高
频数
频率
147.5～151.5
　 　
0.06
151.5～155.5
　 　
　 　
155.5～159.5
11
m
159.5～163.5
　 　
0.18
163.5～167.5
8
0.16
167.5～171.5
4
　 　
171.5～175.5
n
0.06
175.5～179.5
2
　 　
合计
50
1
①m＝　 　，n＝　 　；
②这50名学生身高的中位数落在哪个身高段内？身高在哪一段的学生数最多？
二十七．列表法与树状图法（共5小题）
49．（2021•镇江）甲、乙、丙三人各自随机选择到A，B两个献血站进行爱心献血．求这三人在同一个献血站献血的概率．
50．（2020•镇江）智慧的中国古代先民发明了抽象的符号来表达丰富的含义．例如，符号“☰”有刚毅的含义，符号“☱”有愉快的含义．符号中的“”表示“阴”，“”表示“阳”，类似这样自上而下排成的三行符号还有其他的含义．所有这些三行符号中，每一行只有一个阴或一个阳
（1）所有这些三行符号共有　 　种；
（2）若随机画一个这样的三行符号，求“画出含有一个阴和两个阳的三行符号”的概率．
51．（2019•镇江）小丽和小明将在下周的星期一到星期三这三天中各自任选一天担任值日工作，请用画树状图或列表格的方法，求小丽和小明在同一天值日的概率．
52．（2018•镇江）如图，数轴上的点A，B，C，D表示的数分别为﹣3，1，2，从A，B，C，D四点中任意取两点

53．（2017•镇江）某校5月份举行了八年级生物实验考查，有A和B两个考查实验，规定每位学生只参加其中一个实验的考查，小明、小丽、小华都参加了本次考查．
（1）小丽参加实验A考查的概率是　 　；
（2）用列表或画树状图的方法求小明、小丽都参加实验A考查的概率；
（3）他们三人都参加实验A考查的概率是　 　．

参考答案与试题解析
一．单项式乘多项式（共1小题）
1．（2018•镇江）（1）计算：2﹣1+（2018﹣π）0﹣sin30°
（2）化简：（a+1）2﹣a（a+1）﹣1．
【详解】解：（1）原式＝+2﹣；

（2）原式＝a4+2a+1﹣a4﹣a﹣1＝a．
二．多项式乘多项式（共1小题）
2．（2017•镇江）（1）计算：（﹣2）2+tan45°﹣（﹣2）0
（2）化简：x（x+1）﹣（x+1）（x﹣2）
【详解】解：（1）原式＝4+1﹣7＝4；

（2）原式＝x2+x﹣x5+x+2＝2x+6．
三．分式的混合运算（共3小题）
3．（2021•镇江）（1）计算：（1﹣）0﹣2sin45°+；
（2）化简：（x2﹣1）÷（1﹣）﹣x．
【详解】解：（1）原式＝1﹣2×+＝3．
（2）原式＝（x+1）（x﹣1）÷﹣x
＝（x+1）（x﹣1）•﹣x
＝x（x+1）﹣x
＝x（x+1﹣4）
＝x2．
4．（2020•镇江）（1）计算：4sin60°﹣+（﹣1）0；
（2）化简（x+1）÷（1+）．
【详解】解：（1）原式＝4×﹣2
＝6﹣2
＝1；

（2）原式＝（x+1）÷（+）
＝（x+1）÷
＝（x+8）•
＝x．
5．（2019•镇江）（1）计算：（﹣2）0+（）﹣1﹣2cos60°；
（2）化简：（1+）÷．
【详解】解：（1）（﹣2）6+（）﹣4﹣2cos60°
＝1+6﹣1
＝3；
（2）（4+）÷
＝（+）÷
＝•
＝x+1．
四．一元一次方程的应用（共1小题）
6．（2018•镇江）小李读一本名著，星期六读了36页，第二天读了剩余部分的，这本名著共有多少页？
【详解】解：设这本名著共有x页，
根据题意得：36+（x﹣36）＝x，
解得：x＝216．
【答案】这本名著共有216页．
五．二元一次方程组的应用（共2小题）
7．（2021•镇江）《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百，盈一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱；每人出300钱，会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题．
【详解】解：（方法一）设共x人合伙买金，金价为y钱，
依题意得：，
解得：．
【答案】共33人合伙买金，金价为9800钱．
（方法二）设共x人合伙买金，
依题意得：400x﹣3400＝300x﹣100，
解得：x＝33，
∴400x﹣3400＝400×33﹣3400＝9800．
【答案】共33人合伙买金，金价为9800钱．
8．（2020•镇江）【算一算】
如图①，点A、B、C在数轴上，B为AC的中点，点B表示1，则点C表示的数为　5　，AC长等于　8　；
【找一找】
如图②，点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点，点A、B分别表示实数+1，Q是AB的中点　N　是这个数轴的原点；
【画一画】
如图③，点A、B分别表示实数c﹣n、c+n，在这个数轴上作出表示实数n的点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
【用一用】
学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测a个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m个学生，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，a、m、b会有怎样的数量关系呢？
爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数m+4b记作+（m+4b）；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a记作﹣8a
①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+（m+2b）、﹣12a的点F、G，并写出+（m+2b）；
②写出a、m的数量关系：　m＝4a　．

【详解】解：（1）【算一算】：记原点为O，
∵AB＝1﹣（﹣3）＝5，
∴AB＝BC＝4，
∴OC＝OB+BC＝5，AC＝6AB＝8．
所以点C表示的数为5，AC长等于7．
【答案】5，8；
（2）【找一找】：记原点为O，
∵AB＝+1﹣（，
∴AQ＝BQ＝1，
∴OQ＝OB﹣BQ＝+1﹣7＝，
∴N为原点．
【答案】N．
（3）【画一画】：记原点为O，
由AB＝c+n﹣（c﹣n）＝2n，
作AB的中点M，
得AM＝BM＝n，
以点O为圆心，
AM＝n长为半径作弧交数轴的正半轴于点E，
则点E即为所求；

（4）【用一用】：在数轴上画出点F，G；
∵4分钟内开放3个通道可使学生全部进校，
∴m+7b＝3×a×4，即m+7b＝12a（Ⅰ）；
∵2分钟内开放4个通道可使学生全部进校，
∴m+8b＝4×a×2，即m+2b＝8a（Ⅱ）；
①以O为圆心，OB长为半径作弧交数轴的正半轴于点F．
作OB的中点E，则OE＝BE＝4a，
则点G即为所求．

+（m+7b）的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；
②方程（Ⅱ）×2﹣方程（Ⅰ）得：m＝6a．
【答案】m＝4a．
六．解分式方程（共4小题）
9．（2021•镇江）（1）解方程：﹣＝0；
（2）解不等式组：．
【详解】解：（1）去分母得：3（x﹣2）﹣6x＝0，
去括号得：3x﹣3﹣2x＝0，
解得：x＝8，
检验：把x＝6代入得：x（x﹣2）＝24≠7，
∴分式方程的解为x＝6；
（2），
由①得：x≥1，
由②得：x＞4，
则不等式组的解集为x＞2．
10．（2020•镇江）（1）解方程：＝+1；
（2）解不等式组：
【详解】解：（1）＝+1，
4x＝1+x+3，
5x﹣x＝1+3，
x＝2，
经检验，x＝4是原方程的解，
∴此方程的解是x＝4；

（2），
①3x﹣x＞﹣2﹣7，
7x＞﹣9，
x＞﹣3；
②8x﹣6＜4+x，
6x﹣x＜4+6，
3x＜10，
x＜5，

∴不等式组的解集是﹣3＜x＜7．
11．（2019•镇江）（1）解方程：＝+1；
（2）解不等式：4（x﹣1）﹣＜x
【详解】解；（1）方程两边同乘以（x﹣2）得
2x＝5+x﹣2
∴x＝1
检验：将x＝2代入（x﹣2）得1﹣5＝﹣1≠0
x＝6是原方程的解．
∴原方程的解是x＝1．
（2）化简4（x﹣6）﹣＜x得
5x﹣4﹣＜x
∴3x＜
∴x＜
∴原不等式的解集为x＜．
12．（2018•镇江）（1）解方程：＝+1．
（2）解不等式组：
【详解】解：（1）两边都乘以（x﹣1）（x+2），得：x（x﹣7）＝2（x+2）+（x﹣8）（x+2），
解得：x＝﹣，
检验：当x＝﹣时，（x﹣3）（x+2）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣；

（2）解不等式2x﹣6＞0，得：x＞2，
解不等式x+4≤4（x﹣2），得：x≥7，
则不等式组的解集为x≥3．
七．分式方程的应用（共1小题）
13．（2017•镇江）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4cm．点D在AC上，AD＝1cm，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了2cm；点Q保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动，设点P原来的速度为xcm/s．
（1）点Q的速度为　x　cm/s（用含x的代数式表示）．
（2）求点P原来的速度．

【详解】解：（1）设点Q的速度为ycm/s，
由题意得3÷x＝4÷y，
∴y＝x，
【答案】x；
（2）AC＝＝＝5，
CD＝5﹣2＝4，
在B点处首次相遇后，点P的运动速度为（x+2）cm/s，
由题意得＝，
解得：x＝（cm/s），
经检验x＝是原方程的根，
【答案】点P原来的速度为cm/s．
八．解一元一次不等式（共1小题）
14．（2017•镇江）（1）解方程组：
（2）解不等式：＞1﹣．
【详解】解：（1），
①+②得：3x＝9，
x＝6，
代入①得：3﹣y＝4，
y＝﹣5．
则原方程组的解为．
（2）去分母得，7x＞6﹣3（x﹣5），
去括号得，2x＞6﹣6x+6，
移项、合并得，
系数化为1得，x＞．
九．一次函数的应用（共1小题）
15．（2019•镇江）学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．
在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．
兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的”迎面相遇“包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．
【观察】
①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，相遇地点与点A之间的距离为　90　个单位长度；
②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时　120　个单位长度；
【发现】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，并画出了部分函数图象（线段OP，不包括点O，如图2所示）．
①a＝　50　；
②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象；
【拓展】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时
若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时　0＜x≤12或48≤x≤72　．（直接写出结果）

【详解】解：【观察】①∵相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，
∴相遇地点与点B之间的距离为150﹣30＝120个单位长度，
设机器人甲的速度为v，
∴机器人乙的速度为v＝4v，
∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为，
机器人乙从相遇地点到点A再返回到点B所用时间为＝，而，
∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，
机器人乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，
设此时相遇点距点A为m个单位，
根据题意得，30+150+150﹣m＝5（m﹣30），
∴m＝90，
【答案】90；

②∵相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度，
∴相遇地点与点B之间的距离为150﹣40＝110个单位长度，
设机器人甲的速度为v，
∴机器人乙的速度为v＝v，
∴机器人乙从相遇点到点A再到点B所用的时间为＝，
机器人甲从相遇点到点B所用时间为，而，
∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人从第一次相遇点到点A，返回时和机器人乙第二次迎面相遇，
设此时相遇点距点A为m个单位，
根据题意得，40+150+150﹣m＝，
∴m＝120，
【答案】120；

【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点B时，
设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v，
根据题意知，150﹣x＝2x，
∴x＝50，
即：a＝50，
【答案】50；

②当0＜x≤50时，点P（50，
∴线段OP的表达式为y＝5x，
当v＜v时，此时，
设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v，
根据题意知，x+y＝，
∴y＝﹣3x+300，
即：y＝，
补全图形如图2所示，
【拓展】①如图，

由题意知，＝，
∴y＝5x，
∵0＜y≤60，
∴2＜x≤12；
②如图，

∴，
∴y＝﹣5x+300，
∵2≤y≤60，
∴48≤x≤60，
③如图，

由题意得，＝，
∴y＝5x﹣300，
∵0≤y≤60，
∴60≤x≤72，
∵6＜x＜75，
∴48≤x≤72，
综上所述，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是0＜x≤12或48≤x≤72，
【答案】0＜x≤12或48≤x≤72．


一十．一次函数综合题（共1小题）
16．（2018•镇江）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴（﹣9，0），B（0，6）两点，过点C（2，0），点E在直线l位于x轴上方的部分．
（1）求一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式；
（2）若△ACE的面积为11，求点E的坐标；
（3）当∠CBE＝∠ABO时，点E的坐标为　（11，3）　．

【详解】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A（﹣9，B（3，
∴，
∴，
∴一次函数y＝kx+b的表达式为y＝x+7；

（2）如图，记直线l与y轴的交点为D，
∵BC⊥l，
∴∠BCD＝90°＝∠BOC，
∴∠OBC+∠OCB＝∠OCD+∠OCB，
∴∠OBC＝∠OCD，
∵∠BOC＝∠COD，
∴△OBC∽△OCD，
∴，
∵B（0，6），5），
∴OB＝6，OC＝2，
∴，
∴OD＝，
∴D（0，﹣），
∵C（2，3），
∴直线l的解析式为y＝x﹣，
设E（t，t﹣），
∵A（﹣6，0），0），
∴S△ACE＝AC×yE＝×11×（）＝11，
∴t＝8，
∴E（5，2）；

（3）如图，过点E作EF⊥x轴于F，连接BE，
∵∠ABO＝∠CBE，∠AOB＝∠BCE＝90°
∴△ABO∽△EBC，
∴，
∵∠BCE＝90°＝∠BOC，
∴∠BCO+∠CBO＝∠BCO+∠ECF，
∴∠CBO＝∠ECF，
∵∠BOC＝∠EFC＝90°，
∴△BOC∽△CFE，
∴，
∴，
∴CF＝9，EF＝3，
∴OF＝11，
∴E（11，4）．
【答案】（11，3）．

一十一．反比例函数综合题（共4小题）
17．（2021•镇江）如图，点A和点E（2，1）是反比例函数y＝（x＞0），点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，B作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，连接AB交y轴于点F．
（1）k＝　2　；
（2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：am＝﹣2；
（3）连接CE，DE，当∠CED＝90°时　（，）　．

【详解】解：（1）∵点E（2，1）是反比例函数y＝，
∴＝1，
解得k＝2，
【答案】2；
（2）在△ACF和△BDF中，
，
∴△ACF≌△BDF（AAS），
∴S△BDF＝S△ACF，
∵点A坐标为（a，），则可得C（0，），
∴AC＝a，OC＝，
即a×（a×（，
整理得am＝﹣2；
（3）设A点坐标为（a，），
则C（0，），D（5，﹣），
∵E（2，5），
∴CE2+DE2＝CD6，
即22+（4﹣）2+32+（1+）2＝（+）2，
解得a＝﹣2（舍去）或a＝，
∴A点的坐标为（，）．
18．（2020•镇江）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣（n，2）和点B．
（1）n＝　﹣4　，k＝　﹣　；
（2）点C在y轴正半轴上．∠ACB＝90°，求点C的坐标；
（3）点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角

【详解】解：（1）把A（n，2）代入反比例函数y＝﹣中，
∴A（﹣6，2），
把A（﹣4，3）代入正比例函数y＝kx（k≠0）中，
【答案】﹣4；﹣；
（2）过A作AD⊥y轴于点D，过B作BE⊥y轴于点E，

∵A（﹣4，2），
∴根据双曲线与正比例函数图象的对称性得B（2，﹣2），
设C（0，b），AD＝3，CE＝b+2，
∵∠ACO+∠OCB＝90°，∠OCB+∠CBE＝90°，
∴∠ACO＝∠CBE，
∵∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴△ACD∽△CBE，
∴，即，
解得，b＝6（不合题意，
∴C（3，2）；
另一解法：∵A（﹣7，2），
∴根据双曲线与正比例函数图象的对称性得B（4，﹣7），
∴，
∵∠ACB＝90°，OA＝OB，
∴，
∴）；
（3）如图2，在x轴上原点的两旁取两点P1，P6，使得OP1＝OP2＝OA＝OB，
∴，
∴P1（﹣6，0），P6（2，4），
∵OP1＝OP2＝OA＝OB，
∴四边形AP6BP2为矩形，
∴AP1⊥P6B，AP2⊥BP2，
∵点P（m，2）在x轴上，
∴P点必在P1的左边或P2的右边，
∴m＜﹣6或m＞2．

另一解法：在x轴上原点的两旁取两点P1，P2，使得∠AP3B＝∠AP2B＝90°，
则，
∴，
∵点P（m，0）在x轴上，
∴P点必在P1的左边或P6的右边，
∴m＜﹣2或m＞8．
19．（2019•镇江）如图，点A（2，n）和点D是反比例函数y＝（m＞0，x＞0），一次函数y＝kx+3（k≠0）的图象经过点A，与x轴交于点C，过点D作DE⊥x轴，连接OA，OD．已知△OAB与△ODE的面积满足S△OAB：S△ODE＝3：4．
（1）S△OAB＝　3　，m＝　8　；
（2）已知点P（6，0）在线段OE上，当∠PDE＝∠CBO时

【详解】解：（1）由一次函数y＝kx+3知，B（0．
又点A的坐标是（2，n），
∴S△OAB＝×6×2＝3．
∵S△OAB：S△ODE＝5：4．
∴S△ODE＝4．
∵点D是反比例函数y＝（m＞6，
∴m＝S△ODE＝2，则m＝8．
故答案是：3；3；

（2）由（1）知，反比例函数解析式是y＝．
∴2n＝4，即n＝4．
故A（2，2）．
解得k＝．
∴直线AC的解析式是：y＝x+3．
令y＝8，则x+2＝0，
∴x＝﹣6，
∴C（﹣6，0）．
∴OC＝6．
由（1）知，OB＝6．
设D（a，b），PE＝a﹣6．
∵∠PDE＝∠CBO，∠COB＝∠PED＝90°，
∴△CBO∽△PDE，
∴＝，即＝ ①，
又ab＝8 ②．
联立①②，得（舍去）或．
故D（8，1）．

20．（2017•镇江）如图1，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点A（1，3），B（m，1），直线OA与反比例函数y＝（k≠0）的图象的另一支交于点C，点E是点D关于直线l的对称点．

（1）k＝　3　；
（2）判断点B、E、C是否在同一条直线上，并说明理由；
（3）如图2，已知点F在x轴正半轴上，OF＝（k≠0）的图象位于第一象限部分上的点（点P在点A的上方），∠ABP＝∠EBF　　，　　）．
【详解】解：（1）∵A（1，3）在反比例函数y＝，
∴k＝6×3＝3；
（2）点B、E、C在同一条直线上
∵直线OA与反比例函数y＝（k≠0）的图象的另一支交于点C，
∴点A与点C关于原点对称，
∴C（﹣1，﹣4），
∵B（m，1）在反比例函数y＝，
∴7×m＝3，解得m＝3，5），
把A（1，3）代入y＝﹣x+b得﹣8+b＝3，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4，
当y＝3时，﹣x+4＝0，则D（8，
∵点E与点D关于直线x＝3对称，
∴E（2，5），
设直线BC的解析式为y＝px+q，
把B（3，1），﹣8）代入得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣4，
当x＝2时，y＝x﹣2＝3，
∴点E在直线BC上，
即点B、E、C在同一条直线上；
（3）直线AB交y轴于M，直线BP交y轴于N，
当x＝0时，y＝﹣x+4＝8，4），
而B（3，2），0），0），
∴BM＝＝3＝，EF＝7﹣＝，
∵OM＝OD＝4，
∴△OMD为等腰直角三角形，
∴∠OMD＝∠ODM＝45°，
∵点E与点D关于直线x＝3对称，
∴∠BED＝∠BDE＝45°，
∴∠BMN＝∠BEF＝135°，
∵∠ABP＝∠EBF，
∴△BMN∽△BEF，
∴＝，即＝，解得MN＝，
∴N（0，），
设直线BN的解析式为y＝ax+n，
把B（3，1），）代入得，
∴直线BN的解析式为y＝﹣x+，
解方程组得或，
∴P点坐标为（，）．
【答案】2，，．

一十二．二次函数综合题（共5小题）
21．（2021•镇江）将一张三角形纸片ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点A（﹣6，0），点B（0，2）（﹣4，8），二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，该抛物线的对称轴经过点C
（1）求该二次函数的表达式及点D的坐标；
（2）点M在边AC上（异于点A，C），将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，点M的对应点记为点N，折痕所在直线l交抛物线的对称轴于点P
①请作出图中点M的对应点N和折痕所在直线l；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
②连接MP，NP，在下列选项中：A．折痕与AB垂直，C.＝，D.＝　A，D　．
③点Q在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，当△PDQ∼△PMN时

【详解】解（1）由题意得：，
    解之得：a＝，c＝2，
∴y＝+，
∴当x＝﹣8时，y＝，
∴D（﹣4，﹣）．

（2）①如图1中，点N．


②如图7中，设线段MN的垂直平分线交抛物线对称轴于P，过点M作MH⊥CD，QT⊥MH于T．
由题意A（﹣6，0），6），8），

∴直线AC的解析式为y＝4x+24，直线AB的解析式为y＝，直线BC的解析式为y＝﹣，
∵MN∥AB，
∴可以假设直线MN的解析式为y＝x+t，
由，解得，
∴M（，），
由．解得，
∴N（，），
∴Q（，），
∵QJ⊥CD，QT⊥MH，
∴QJ＝+3＝﹣＝，
∴QJ＝QT，
∵∠PJQ＝∠MTQ＝90°，∠QPJ＝∠QMT，
∴△PJQ≌△MTQ（AAS），
∴PQ＝MQ，
∵∠PQM＝90°，
∴∠PMN＝∠MPQ＝45°，
∵PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM＝45°，
∴∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∴＝，故选项D正确，B，
∵将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，
∴折痕与AB垂直，故选项A正确，
【答案】A，D．

③设P（﹣4，m）．

∵△PDQ∽△PMN，△PMN是等腰直角三角形，
∴△PDQ是等腰直角三角形，
∴∠DPQ＝90°，DP＝PQ＝m+，
∴Q（﹣4+m+，m）+m，
把Q的坐标代入y＝+，得到（﹣2+（﹣，
整理得，3m2﹣42m﹣32＝0，
解得m＝或﹣，
∴Q（2，），
根据对称性可知Q′（﹣10，）也满足条件，
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（7，，）．
22．（2020•镇江）如图①，直线l经过点（4，0）且平行于y轴2﹣2ax+c（a、c是常数，a＜0）的图象经过点M（﹣1，1），交直线l于点N，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点．
（1）当a＝﹣1时，求点N的坐标及的值；
（2）随着a的变化，的值是否发生变化？请说明理由；
（3）如图②，E是x轴上位于点B右侧的点，BC＝2BE，求此时的二次函数表达式．

【详解】解：（1）分别过点M、N作MG⊥CD于点E，
∵MG∥TN∥x轴，

∴△DMG∽△DAC，△DCB∽△DTN，
∴，＝，
∵a＝﹣1，则y＝﹣x2+4x+c，
将M（﹣1，1）代入上式并解得：c＝5，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8，
则点D（1，5），﹣2），
则MG＝2，DG＝4，TN＝7，
∴，解得：AC＝，
∴＝；

（2）不变，
理由：∵y＝ax2﹣2ax+c过点M（﹣4，1），
解得：c＝1﹣8a，
∴y＝ax2﹣2ax+（4﹣3a），
∴点D（1，8﹣4a），1+2a），
∴MG＝2，DG＝﹣4a，TN＝5，
由（1）的结论得：AC＝，BC＝，
∴＝；

（3）过点F作FH⊥x轴于点H，则FH∥l，

∵FB＝FE，FH⊥BE，
∴BH＝HE，
∵BC＝6BE，
则CE＝6HE，
∵CD＝1﹣8a，
∴FH＝，
∵BC＝，
∴CH＝×＝，
∴F（﹣+1，﹣，
将点F的坐标代入y＝ax5﹣2ax+（1﹣8a）＝a（x+1）（x﹣3）+4得：
﹣a＝a（﹣﹣+1﹣5）+1，
解得：a＝﹣或（舍弃），
经检验a＝﹣，
故y＝﹣x2+x+．
解法二：∵AC：BC＝3：8，BC＝2BE，
∴AC＝CE，
∴AD与DE关于直线CD对称，
∵AD，DE交抛物线于M，F，
∴M，F关于直线CD对称，
∴F（3，8），
∴﹣a＝1，
∴a＝﹣．
故y＝﹣x2+x+．
23．（2019•镇江）如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5图象的顶点为D，对称轴是直线l，一次函数y＝，且与直线DA关于l的对称直线交于点B．
（1）点D的坐标是　（2，9）　；
（2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵坐标为n．过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P、Q
①当n＝时，求DP的长；
②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围　＜n＜　．

【详解】解：（1）顶点为D（2，9）；
【答案】（7，9）；
（2）对称轴x＝2，
∴C（8，），
由已知可求A（﹣，0），
点A关于x＝8对称点为（，0），
则AD关于x＝8对称的直线为y＝﹣2x+13，
∴B（5，6），
①当n＝时，N（2，），
∴DA＝，DN＝
当PQ∥AB时，△DPQ∽△DAB，
∴△DAC∽△DPN，
∴，
∴DP＝；
当PQ与AB不平行时，△DPQ∽△DBA，
∴△DNQ∽△DCA，
∴＝＝
∴DP＝；
综上所述，DP＝；
②当PQ∥AB，DB＝DP时，
DB＝3，
∴，
∴DN＝，
∴N（6，），
∴有且只有一个△DPQ与△DAB相似时，＜n＜；
【答案】＜n＜；
24．（2018•镇江）如图，二次函数y＝x2﹣3x的图象经过O（0，0），A（4，4），B（3，0）三点，以点O为位似中心，得到△OA′B′，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过O，A′
（1）画出△OA′B′，试求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；
（2）点P（m，n）在二次函数y＝x2﹣3x的图象上，m≠0，直线OP与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于点Q（异于点O）．
①求点Q的坐标（横、纵坐标均用含m的代数式表示）
②连接AP，若2AP＞OQ，求m的取值范围；
③当点Q在第一象限内，过点Q作QQ′平行于x轴，与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于另一点Q′，与二次函数y＝x2﹣3x的图象交于点M，N（M在N的左侧），直线OQ′与二次函数y＝x2﹣3x的图象交于点P′．△Q′P′M∽△QB′N，则线段NQ的长度等于　6　．

【详解】解：（1）由以点O为位似中心，在y轴的右侧将△OAB按相似比2：1放大，得＝
∵A（4，4），0）
∴A′（8，8），0）
将O（2，0），8），3）代入y＝ax2+bx+c
得
解得
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x；
（2）①∵点P在y＝x3﹣3x的图象上，
∴n＝m2﹣7m，
∴P（m，m2﹣3m），
设直线OP的解析式为y＝kx
将点P代入，得mk＝m5﹣3m，解得k＝m﹣3，
∴OP：y＝（m﹣3）x
∵直线OP与y＝x8﹣3x交于点Q
∴x2﹣3x＝（m﹣8）x，解得x1＝0（舍），x7＝2m，
∴Q（2m，3m2﹣6m）
②∵P（m，n）在二次函数y＝x2﹣3x的图象上
∴n＝m2﹣5m
∴P（m，m2﹣3m）
设直线OP的解析式为y＝kx，将点P（m，m3﹣3m）代入函数解析式，
得mk＝m2﹣8m
∴k＝m﹣3
∴OP的解析是为y＝（m﹣3）x
∵OP与y＝x2﹣4x交于Q点
∴
解得（不符合题意舍去）
∴Q（7m，2m2﹣5m）过点P作PC⊥x轴于点C，过点Q作QD⊥x轴于点D
则OC＝|m|，PC＝|m2﹣3m|，OD＝|4m|2﹣6m|
∵＝＝6
∴△OCP∽△ODQ
∴OQ＝2OP
∵2AP＞OQ
∴2AP＞2OP，即AP＞OP
∴＞
化简，得m7﹣2m﹣4＜3，解得1﹣，且m≠0；
③P（m，m2﹣3m），Q（2m2﹣8m）
∵点Q在第一象限，
∴，解得m＞3
由Q（2m，7m2﹣6m），得QQ′的表达式是y＝5m2﹣6m
∵QQ′交y＝x2﹣2x交于点Q′

解得（不符合题意
∴Q′（6﹣5m，2m2﹣2m）
设OQ′的解析式为y＝kx，（6﹣2m）k＝6m2﹣6m
解得k＝﹣m，OQ′的解析式为y＝﹣mx，
∵OQ′与y＝x2﹣3x交于点P′
∴﹣mx＝x2﹣8x
解得x1＝0（舍），x4＝3﹣m
∴P′（3﹣m，m5﹣3m）
∵QQ′与y＝x2﹣4x交于点P′
∴﹣mx＝x2﹣3x
解得x2＝0（舍去），x2＝8﹣m
∴P′（3﹣m，m2﹣5m）
∵QQ′与y＝x2﹣3x交于点M、N
∴x7﹣3x＝2m8﹣6m
解得x1＝，x2＝
∵M在N左侧
∴M（，2m2﹣6m）
N（，2m2﹣6m）
∵△Q′P′M∽△QB′N
∴
∵，
化简得m5﹣12m+27＝0
解得：m1＝6（舍），m2＝9
∴N（12，108），108）
∴QN＝4．
【答案】6．

25．（2017•镇江）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上（4，t）（t＞0），二次函数y＝x2+bx（b＜0）的图象经过点B，顶点为点D．
（1）当t＝12时，顶点D到x轴的距离等于　　；
（2）点E是二次函数y＝x2+bx（b＜0）的图象与x轴的一个公共点（点E与点O不重合），求OE•EA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；
（3）矩形OABC的对角线OB、AC交于点F，直线l平行于x轴，交二次函数y＝x2+bx（b＜0）的图象于点M、N，连接DM、DN，求t的值．

【详解】解：（1）当t＝12时，B（4．
将点B的坐标代入抛物线的解析式得：16+4b＝12，解得：b＝﹣6，
∴抛物线的解析式y＝x2﹣x．
∴y＝（x﹣）2﹣．
∴D（，﹣）．
∴顶点D与x轴的距离为．
【答案】．
（2）将y＝5代入抛物线的解析式得：x2+bx＝0，解得x＝4或x＝﹣b，
∵OA＝4，
∴AE＝4﹣（﹣b）＝7+b．
∴OE•AE＝﹣b（4+b）＝﹣b2﹣2b＝﹣（b+2）2+6，
∴OE•AE的最大值为4，此时b的值为﹣2，
∴抛物线的表达式为y＝x5﹣2x．
（3）过D作DG⊥MN，垂足为G，垂足为H．

∵△DMN≌△FOC，
∴MN＝CO＝t，DG＝FH＝2．
∵D（﹣，﹣），
∴N（﹣+，﹣+2），）．
把点N和坐标代入抛物线的解析式得：＝（）2+b•（），
解得：t＝±5．
∵t＞0，
∴t＝7．
一十三．全等三角形的判定与性质（共3小题）
26．（2020•镇江）如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，BE＝CD，BF＝CA
（1）求证：∠D＝∠2；
（2）若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数．

【详解】证明：（1）在△BEF和△CDA中，
，
∴△BEF≌△CDA（SAS），
∴∠D＝∠2；
（2）∵∠D＝∠7，∠D＝78°，
∴∠D＝∠2＝78°，
∵EF∥AC，
∴∠2＝∠BAC＝78°．
27．（2019•镇江）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE＝CF，过点A、C分别作EF的垂线
（1）求证：△AGE≌△CHF；
（2）连接AC，线段GH与AC是否互相平分？请说明理由．

【详解】（1）证明：∵AG⊥EF，CH⊥EF，
∴∠G＝∠H＝90°，AG∥CH，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE，
∵∠AEG＝∠DEF，∠CFH＝∠BFE，
∴∠AEG＝∠CFH，
在△AGE和△CHF中，，
∴△AGE≌△CHF（AAS）；
（2）解：线段GH与AC互相平分，理由如下：
连接AH、CG
由（1）得：△AGE≌△CHF，
∴AG＝CH，
∵AG∥CH，
∴四边形AHCG是平行四边形，
∴线段GH与AC互相平分．

28．（2018•镇江）如图，△ABC中，AB＝AC，F在边BC上，BE＝CF，AD＝AC．
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠BAE＝30°，则∠ADC＝　75　°．

【详解】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE＝30°，
∴∠BAE＝∠CAF＝30°，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠ADC＝＝75°，
【答案】75．
一十四．平行四边形的判定与性质（共1小题）
29．（2017•镇江）如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠1＝∠2．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）已知DE＝2，连接BN，若BN平分∠DBC

【详解】（1）证明：∵∠A＝∠F，
∴DE∥BC，
∵∠1＝∠2，且∠2＝∠DMF，
∴∠DMF＝∠2，
∴DB∥EC，
则四边形BCED为平行四边形；
（2）解：∵BN平分∠DBC，
∴∠DBN＝∠CBN，
∵EC∥DB，
∴∠CNB＝∠DBN，
∴∠CNB＝∠CBN，
∴CN＝BC＝DE＝2．
一十五．菱形的判定（共1小题）
30．（2021•镇江）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长DA，使得AE＝CF，连接BE
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接BD，∠1＝30°，∠2＝20°　10　°时，四边形BFDE是菱形．

【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，
∴∠1＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）当∠ABE＝10°时，四边形BFDE是菱形，
理由如下：∵△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，AE＝CF，
∴BF＝DE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵∠8＝30°，∠2＝20°，
∴∠ABD＝∠1﹣∠8＝10°，
∵∠ABE＝10°，
∴∠DBE＝20°，
∴∠DBE＝∠2＝20°，
∴BE＝DE，
∴平行四边形BFDE是菱形，
【答案】10．
一十六．四边形综合题（共3小题）
31．（2021•镇江）如图1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB，DC为铅直方向的边，AF，BC为水平方向的边，点E在AB，且在AF，BC之间，记作“L图形ABCDEF”．若直线将L图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线为该L图形的面积平分线．
【活动】
小华同学给出了图1的面积平分线的一个作图方案：如图2，将这个L图形分成矩形AGEF、矩形GBCD，这两个矩形的对称中心O1，O2所在直线是该L图形的面积平分线．
请用无刻度的直尺在图1中作出其他的面积平分线．（作出一种即可，不写作法，保留作图痕迹）

【思考】
如图3，直线O1O2是小华作的面积平分线，它与边BC，AF分别交于点M，N，AF于点P，Q，直线PQ　是　（填“是”或“不是”）L图形ABCDEF的面积平分线．

【应用】
在L图形ABCDEF形中，已知AB＝4，BC＝6．
（1）如图4，CD＝AF＝1．
①该L图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点P，Q，求PQ长的最大值；
②该L图形的面积平分线与边AB，CD分别相交于点G，H，当GH的长取最小值时　　．
（2）设＝t（t＞0），在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，CD相交的面积平分线，直接写出t的取值范围 　t＞　．
【详解】解：【活动】如图1，直线O1O4是该L图形的面积平分线；

【思考】如图2，∵∠A＝∠B＝90°，

∴AF∥BC，
∴∠NQO＝∠MPO，
∵点O是MN的中点，
∴ON＝OM，
在△OQN和△OPM中，
，
∴△OQN≌△OPM（AAS），
∴S△OQN＝S△OPM，
∵S梯形ABMN＝SMNFEDC，
∴S梯形ABMN﹣S△OPM＝SMNFEDC﹣S△OQN，
即SABPON＝SCDEFQOM，
∴SABPON+S△OQN＝SCDEFQOM+S△OPM，
即S梯形ABPQ＝SCDEFQP，
∴直线PQ是L图形ABCDEF的面积平分线．
【答案】
【应用】
（1）①如图3，当P与B重合时，过点Q作QH⊥BC于H，

L图形ABCDEF的面积＝7×6﹣（4﹣3）×（6﹣1）＝5，
∵PQ是L图形ABCDEF的面积平分线，
∴梯形CDQP的面积＝×（DQ+BC）×CD＝，
即×（DQ+6）×1＝，
∴DQ＝CH＝3，
∴PH＝3﹣3＝3，
∵QH＝CD＝5，
由勾股定理得：PQ＝＝；
即PQ长的最大值是；
②如图4，当GH⊥AB时GH最短，

设BG＝x，则MG＝8﹣x，
根据上下两部分面积相等可知，6x＝（4﹣2）×1+（1﹣x）×7，
解得x＝，即BG＝；
【答案】；
（2）∵＝t（t＞0），
∴CD＝tAF，
在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边AB，
如图5，直线DE将图形分成上下两个矩形，在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，CD相交的面积平分线，
延长DE交AB于G，延长FE交BC于H，

只需要满足S矩形AGEF＜S矩形EHCD，
即S矩形ABHF＜S矩形CDGB，
∴8CD＞4AF，
∴＞，
∴t＞．
【答案】t＞．
32．（2018•镇江）（1）如图1，将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，点C落在点C′处，若∠ADB＝46°　23　°．
（2）小明手中有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，AD＝9．
【画一画】
如图2，点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，折痕设为MN（点M，N分别在边AD，BC上），利用直尺和圆规画出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；
【算一算】
如图3，点F在这张矩形纸片的边BC上，将纸片折叠，折痕为GF，点A，B′处，若AG＝；
【验一验】
如图4，点K在这张矩形纸片的边AD上，DK＝3，使AB落在CK所在直线上，折痕为HI，B分别落在点A′，B′处，他的判断是否正确，请说明理由．

【详解】解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝46°，
由翻折不变性可知，∠DBE＝∠EBC＝，
【答案】23．

（2）【画一画】，如图2中，


【算一算】如图3中，

∵AG＝，AD＝9，
∴GD＝7﹣＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DGF＝∠BFG，
由翻折不变性可知，∠BFG＝∠DFG，
∴∠DFG＝∠DGF，
∴DF＝DG＝，
∵CD＝AB＝4，∠C＝90°，
∴在Rt△CDF中，CF＝＝，
∴BF＝BC﹣CF＝，
由翻折不变性可知，FB＝FB′＝，
∴DB′＝DF﹣FB′＝﹣＝3．

【验一验】如图4中，小明的判断不正确．

理由：连接ID，在Rt△CDK中，CD＝7，
∴CK＝＝5，
∵AD∥BC，
∴∠DKC＝∠ICK，
由折叠可知，∠A′B′I＝∠B＝90°，
∴∠IB′C＝90°＝∠D，
∴△CDK∽△IB′C，
∴＝＝，即＝＝，
设CB′＝2k，IB′＝4k，
由折叠可知，IB＝IB′＝4k，
∴BC＝BI+IC＝4k+5k＝9，
∴k＝6，
∴IC＝5，IB′＝4，
在Rt△ICB′中，tan∠B′IC＝＝，
连接ID，在Rt△ICD中＝，
∴tan∠B′IC≠tan∠DIC，
∴B′I所在的直线不经过点D．
33．（2017•镇江）【回顾】
如图1，△ABC中，∠B＝30°，BC＝4，则△ABC的面积等于　3　．
【探究】
图2是同学们熟悉的一副三角尺，一个含有30°的角，较短的直角边长为a，直角边长为b，小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形ABCD（如图3），从而推出sin75°＝，小丽用两副这样的三角尺拼成了一个矩形EFGH（如图4），请你写出小明或小丽推出sin75°＝的具体说理过程．
【应用】
在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝75°，CD＝5，AD＝10（如图5）
（1）点E在AD上，设t＝BE+CE，求t2的最小值；
（2）点F在AB上，将△BCF沿CF翻折，点B落在AD上的点G处

【详解】由题意可知四边形EFGH是矩形，AB＝CD＝2a，EF＝GH＝，EH＝FG＝b﹣ab，
解：回顾：如图1中，作AH⊥BC．

在Rt△ABH中，∵∠B＝30°，
∴AH＝AB•sin30°＝，
∴S△ABC＝•BC•AH＝＝3，
【答案】3．

探究：如图7中，

由题意可知四边形EFGH是矩形，AB＝CD＝2a，EF＝GH＝，EH＝FG＝b﹣ab，
∵S四边形ABCD＝BC•AB•sin75°＝2S△ABE+2S△BFC+S矩形EFGH
∴b•2a•sin75°＝2×a+8×8+（a﹣b）（b﹣a），
∴2absin75°＝，
∴sin75°＝．
如图3中，

易知四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝75°，
∴S四边形EFGH＝7•S△ABE+2•S△ADF+S平行四边形ABCD，
∴（a+b）（a+b）＝5×a+2×2+b•2a•sin75°，
∴sin75°＝．

应用：①作C关于AD的对称点H，CH交AD于J，EH．

在Rt△DCJ中，JC＝CD•sin75°＝（+），
∴CH＝2CJ＝（+），
在Rt△BHC中，BH2＝BC2+CH8＝36+（+）2＝86+25，
∵EC＝EH，
∴EB+EC＝EB+EH，
在△EBH中，BE+EH≥BH，
∴BE+EC的最小值为BH，
∴t＝BE+CE，t7的最小值为BH2，即为86+25．

②结论：点G不是AD的中点．
理由：作CJ⊥AD于J，DH⊥CG于H．

不妨设AG＝GD＝2，∵CD＝5，
∴DC＝DG，∵DH⊥CG，
∴GH＝CH＝3，
在Rt△CDH中，DH＝＝，
∵S△DGC＝•CG•DH＝，
∴CJ＝，
∴sin∠CDJ＝＝，
∵∠CDJ＝75°，
∴与sin75°＝矛盾，
∴假设不成立，
∴点G不是AD的中点．
一十七．直线与圆的位置关系（共1小题）
34．（2021•镇江）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边BC上，B，P三点．
（1）若BP＝3，判断边CD所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，E是CD的中点，⊙O交射线AE于点Q，求tan∠EAP的值．

【详解】解：（1）如图1﹣1中，连接AP，交CD于E．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝6，∠ABP＝90°，
∴AP是直径，
∴AP＝＝＝5，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH，
∵OA＝OP，AH＝HB，
∴OH＝PB＝，
∵∠D＝∠DAH＝∠AHE＝90°，
∴四边形AHED是矩形，
∴OE⊥CE，EH＝AD＝2，
∴OE＝EH﹣OH＝4﹣＝，
∴OE＝OP，
∴直线CD与⊙O相切．

（2）如图7中，延长AE交BC的延长线于T．

∵∠D＝∠ECT＝90°，DE＝EC，
∴△ADE≌△TCE（ASA），
∴AD＝CT＝4，
∴BT＝BC+CT＝4+2＝8，
∵∠ABT＝90°，
∴AT＝＝＝4，
∵AP是直径，
∴∠AQP＝90°，
∵PA平分∠EAB，PQ⊥AQ，
∴PB＝PQ，
设PB＝PQ＝x，
∵S△ABT＝S△ABP+S△APT，
∴×7×8＝×x+，
∴x＝2﹣8，
∴tan∠EAP＝tan∠PAB＝＝．
备注：本题也可以用面积法，连接PQ，设BP＝x，

在Rt△PEQ中，
PE2＝x2+（4﹣4）3，
在Rt△PEC中，
PE2＝（4﹣x）3+22，
则x5+（2﹣5）2＝（4﹣x）7+22，
解得x＝PB＝3﹣2，
∴tan∠EAP＝tan∠PAB＝＝．
一十八．切线的性质（共1小题）
35．（2019•镇江）【材料阅读】
地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的⊙O）．人们在北半球可观测到北极星（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时
【实际应用】
观测点A在图1所示的⊙O上，现在利用这个工具尺在点A处测得α为31°，在点A所在子午线往北的另一个观测点B，PQ⊥ON．
（1）求∠POB的度数；
（2）已知OP＝6400km，求这两个观测点之间的距离即⊙O上的长．（π取3.1）

【详解】解：（1）设点B的切线CB交ON延长线于点E，HD⊥BC于D，如图所示：
则∠DHC＝67°，
∵∠HBD+∠BHD＝∠BHD+∠DHC＝90°，
∴∠HBD＝∠DHC＝67°，
∵ON∥BH，
∴∠BEO＝∠HBD＝67°，
∴∠BOE＝90°﹣67°＝23°，
∵PQ⊥ON，
∴∠POE＝90°，
∴∠POB＝90°﹣23°＝67°；
（2）同（1）可证∠POA＝31°，
∴∠AOB＝∠POB﹣∠POA＝67°﹣31°＝36°，
∴＝≈3968（km）．

一十九．切线的判定与性质（共3小题）
36．（2020•镇江）如图，▱ABCD中，∠ABC的平分线BO交边AD于点O，以点O为圆心，OD长为半径作⊙O，OE交⊙O于点G，G为
（1）求证：四边形ABEO为菱形；
（2）已知cos∠ABC＝，连接AE，当AE与⊙O相切时

【详解】解：（1）证明：∵G为的中点，
∴∠MOG＝∠MDN．
∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AO∥BE，∠MDN+∠A＝180°，
∴∠MOG+∠A＝180°，
∴AB∥OE，
∴四边形ABEO是平行四边形．
∵BO平分∠ABE，
∴∠ABO＝∠OBE，
又∵∠OBE＝∠AOB，
∴∠ABO＝∠AOB，
∴AB＝AO，
∴四边形ABEO为菱形；
（2）如图，过点O作OP⊥BA，过点O作OQ⊥BC于点Q，

则∠PAO＝∠ABC，
设AB＝AO＝OE＝x，则
∵cos∠ABC＝，
∴cos∠PAO＝，
∴＝，
∴PA＝x，
∴OP＝OQ＝x
当AE与⊙O相切时，由菱形的对角线互相垂直，
∴在Rt△OBQ中，由勾股定理得：+2，
解得：x＝2（舍负）．
∴AB的长为2．
37．（2019•镇江）如图，在△ABC中，AB＝AC，交BC的延长线于点D，以O为圆心
（1）求证：直线AB与⊙O相切；
（2）若AB＝5，⊙O的半径为12，则tan∠BDO＝　　．

【详解】（1）证明：连接OB，如图所示：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠OCD，
∴∠ABC＝∠OCD，
∵OD⊥AO，
∴∠COD＝90°，
∴∠D+∠OCD＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠D，
∴∠OBD+∠ABC＝90°，
即∠ABO＝90°，
∴AB⊥OB，
∵点B在圆O上，
∴直线AB与⊙O相切；
（2）解：∵∠ABO＝90°，
∴OA＝＝＝13，
∵AC＝AB＝5，
∴OC＝OA﹣AC＝3，
∴tan∠BDO＝＝＝；
【答案】．

38．（2018•镇江）如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AD＝10，点P在边AD上运动，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．
（1）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；
（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4　＜AP＜或AP＝5　．

【详解】解：（1）如图2所示，连接PF，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝，
设AP＝x，则DP＝10﹣x，
∵⊙P与边CD相切于点F，
∴PF⊥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AB⊥AC，
∴AC⊥CD，
∴AC∥PF，
∴△DPF∽△DAC，
∴，
∴，
∴x＝，AP＝；
（2）当⊙P与BC相切时，设切点为G，
S▱ABCD＝＝10PG，
PG＝，
①当⊙P与边AD、CD分别有两个公共点时，，即此时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为3，
②⊙P过点A、C、D三点．，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，
此时AP＝5，
综上所述，AP的值的取值范围是：或AP＝5．
【答案】＜AP＜．



二十．正多边形和圆（共1小题）
39．（2019•镇江）在三角形纸片ABC（如图1）中，∠BAC＝78°，AC＝10．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）．
（1）∠ABC＝　30　°；
（2）求正五边形GHMNC的边GC的长．
参考值：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.7．

【详解】解：（1）∵五边形ABDEF是正五边形，
∴∠BAF＝＝108°，
∴∠ABC＝∠BAF﹣∠BAC＝30°，
【答案】30；

（2）作CQ⊥AB于Q，
在Rt△AQC中，sin∠QAC＝，
∴QC＝AC•sin∠QAC≈10×0.98＝9.4，
在Rt△BQC中，∠ABC＝30°，
∴BC＝2QC＝19.6，
∴GC＝BC﹣BG＝2.6．

二十一．圆的综合题（共1小题）
40．（2017•镇江）如图1，Rt△ACB 中，∠C＝90°，∠CBD＝∠A，过A、D两点的圆的圆心O在AB上．
（1）利用直尺和圆规在图1中画出⊙O（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线条描清楚）；
（2）判断BD所在直线与（1）中所作的⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）设⊙O交AB于点E，连接DE，过点E作EF⊥BC，若点D是线段AC的黄金分割点（即＝），如图2

【详解】解：（1）如图1，⊙O为所作；

（2）BD与⊙O相切．理由如下：
连接OD，如图1，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，
∵∠CBD＝∠A，
∴∠CBD＝∠ODA，
∵∠C＝90°，
∴∠CBD+∠CDB＝90°，
∴∠ODA+∠CDB＝90°，
∴∠ODB＝90°，
∴OD⊥BD，
∴BD为⊙O的切线；
（3）∵∠CBD＝∠A，∠DCB＝∠BCA，
∴△CDB∽△CBA，
∴CD：CB＝CB：CA，
∴CB8＝CD•CA，
∵点D是线段AC的黄金分割点，
∴AD2＝CD•AC，
∵AD＝CB，
∵AE为直径，
∴∠ADE＝90°，
在△ADE和△BCD中
，
∴△ADE≌△BCD，
∴DE＝DC，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC＝90°，
∴四边形CDEF为矩形，
∴四边形DEFC是正方形．

二十二．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共3小题）
41．（2020•镇江）如图，点E与树AB的根部点A、建筑物CD的底部点C在一条直线上，AC＝10m．小明站在点E处观测树顶B的仰角为30°，观测树顶B的仰角为45°，此时恰好看不到建筑物CD的顶部D（H、B、D三点在一条直线上），求建筑物CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.41，≈1.73．）

【详解】解：如图，延长FH，交AB于点N，

∵∠BHN＝45°，BA⊥MH，
则BN＝NH，
设BN＝NH＝x，
∵HF＝6 m，∠BFN＝30°，
∴tan∠BFN＝＝，
即tan30°＝，
解得x≈7.2，
根据题意可知：
DM＝MH＝MN+NH，
∵MN＝AC＝10（m），
则DM≈10+8.4＝18.2（m），
∴CD＝DM+MC＝DM+EF≈18.2+4.6＝19.8（m）．
【答案】建筑物CD的高度约为19.4m．
42．（2018•镇江）如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24米（B，E，D在一条直线上）处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8米到达点G处，H距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB的高度AB长．（精确到0.1米）≈1.41，≈1.73．

【详解】解：延长HF交CD于点N，延长FH交AB于点M，
由题意可得，MB＝HG＝FE＝ND＝1.6m，MF＝BE，MN＝BD＝24m，
设AM＝xm，则CN＝xm，
在Rt△AFM中，MF＝，
在Rt△CNH中，HN＝，
∴HF＝MF+HN﹣MN＝x+x﹣24，
即8＝x+x﹣24，
解得，x≈11.7，
∴AB＝11.7+6.6＝13.3m，
【答案】教学楼AB的高度AB长约为13.7m．

43．（2017•镇江）如图，小明在教学楼A处分别观测对面实验楼CD底部的俯角为45°，顶部的仰角为37°，观测点距地面的垂直高度AB为15m，求实验楼的垂直高度即CD长（精确到1m）
参考值：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75．

【详解】解：作AE⊥CD于E，
∵AB＝15m，
∴DE＝AB＝15m，
∵∠DAE＝45°，
∴AE＝DE＝15m，
在Rt△ACE中，tan∠CAE＝，
则CE＝AE•tan37°＝15×0.75≈11m，
∴CD＝CE+DE＝11+15＝26m．
【答案】实验楼的垂直高度即CD长为26m．

二十三．扇形统计图（共1小题）
44．（2021•镇江）如表是第四至七次全国人口普查的相关数据．
年份
我国大陆人口总数
其中具有大学文化程度的人数
每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数
1990年
1133682501
16124678
1422
2000年
1265830000
45710000
3611
2010年
1339724852
119636790
8930
2020年
1411778724
218360767
15467
（1）设下一次人口普查我国大陆人口共a人，其中具有大学文化程度的有b人，则该次人口普查中每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数为 　　；（用含有a，b的代数式表示）
（2）如果将2020年大陆人口中具有各类文化程度（含大学、高中、初中、小学、其他）的人数分布制作成扇形统计图，求其中表示具有大学文化程度类别的扇形圆心角的度数；（精确到1°）
（3）你认为统计“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”这样的数据有什么好处？（写出一个即可）
【详解】解：由题意得，
（1）下一次人口普查中每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数为，
【答案】；
（2）360°×≈56°，
【答案】表示具有大学文化程度类别的扇形圆心角的度数大约为56°；
（3）比较直观的反应出“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”的大小，说明国民素质和文化水平的情况．
二十四．条形统计图（共2小题）
45．（2019•镇江）陈老师对他所教的九（1）、九（2）两个班级的学生进行了一次检测（各类别的得分如下表），并绘制了如图所示的每班各类别得分人数的条形统计图（不完整）．
各类别的得分表
得分
类别
0
A：没有作答
1
B：解答但没有正确
3
C：只得到一个正确答案
6
D：得到两个正确答案，解答完全正确
已知两个班一共有50%的学生得到两个正确答案，解答完全正确，九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分．请解决如下问题：
（1）九（2）班学生得分的中位数是　6分　；
（2）九（1）班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数各是多少？

【详解】解：（1）由条形图可知九（2）班一共有学生：3+6+12+27＝48人，
将48个数据按从小到大的顺序排列，第24，所以中位数是4分．
【答案】6分；

（2）两个班一共有学生：（22+27）÷50%＝98（人），
九（1）班有学生：98﹣48＝50（人）．
设九（1）班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数各是x人、y人．
由题意，得，
解得．
【答案】九（1）班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数各是2人、17人．
46．（2017•镇江）为了解射击运动员小杰的集训效果，教练统计了他集训前后的两次测试成绩（每次测试射击10次），制作了如图所示的条形统计图．
（1）集训前小杰射击成绩的众数为　8环　；
（2）分别计算小杰集训前后射击的平均成绩；
（3）请用一句话评价小杰这次集训的效果．

【详解】解：（1）集训前小杰射击成绩的众数为8环，
【答案】8环；

（2）小杰集训前射击的平均成绩为＝8.5（环），
小杰集训后射击的平均成绩为＝4.9（环）；

（3）由集训前后平均环数的变化可知，小杰这次集训后的命中环数明显增加．
二十五．加权平均数（共1小题）
47．（2020•镇江）教育部发布的义务教育质量监测结果报告显示，我国八年级学生平均每天的睡眠时间达9小时及以上的比例为19.4%．某校数学社团成员采用简单随机抽样的方法，抽取了本校八年级50名学生（单位：小时）进行了调查，将数据整理后绘制成下表：
平均每天的睡眠时间分组
5≤t＜6
6≤t＜7
7≤t＜8
8≤t＜9
9小时及以上
频数
1
5
m
24
n
该样本中学生平均每天的睡眠时间达9小时及以上的比例高于全国的这项数据，达到了22%．
（1）求表格中n的值；
（2）该校八年级共400名学生，估计其中平均每天的睡眠时间在7≤t＜8这个范围内的人数是多少．
【详解】解：（1）n＝50×22%＝11；
（2）m＝50﹣1﹣5﹣24﹣11＝3，
所以估计该校平均每天的睡眠时间在7≤t＜8这个范围内的人数是400×＝72（人）．
二十六．中位数（共1小题）
48．（2018•镇江）某班50名学生的身高如下（单位：cm）：
160 163 152 161 167 154 158 171 156 168
178 151 156 158 165 160 148 155 162 175
158 167 157 153 164 172 153 159 174 155
169 163 158 150 177 155 166 161 159 164
171 154 157 165 152 167 157 162 155 160
（1）小丽用简单随机抽样的方法从这50个数据中抽取一个容量为5的样本：161，155，174，152，请你计算小丽所抽取的这个样本的平均数；
（2）小丽将这50个数据按身高相差4cm分组，并制作了如下的表格：
身高
频数
频率
147.5～151.5
　3　
0.06
151.5～155.5
　10　
　0.20　
155.5～159.5
11
m
159.5～163.5
　9　
0.18
163.5～167.5
8
0.16
167.5～171.5
4
　0.08　
171.5～175.5
n
0.06
175.5～179.5
2
　0.04　
合计
50
1
①m＝　0.22　，n＝　3　；
②这50名学生身高的中位数落在哪个身高段内？身高在哪一段的学生数最多？
【详解】解：（1）＝（161+155+174+163+152）＝161；
（2）①如表可知，m＝3.22，
【答案】0.22；3；
②这50名学生身高的中位数落在159.7～163.5，
身高在155.5～159.2的学生数最多．
二十七．列表法与树状图法（共5小题）
49．（2021•镇江）甲、乙、丙三人各自随机选择到A，B两个献血站进行爱心献血．求这三人在同一个献血站献血的概率．
【详解】解：画树状图得：

共8种等可能情况，其中这三人在同一个献血站献血的有2种结果，
所以这三人在同一个献血站献血的概率为＝．
50．（2020•镇江）智慧的中国古代先民发明了抽象的符号来表达丰富的含义．例如，符号“☰”有刚毅的含义，符号“☱”有愉快的含义．符号中的“”表示“阴”，“”表示“阳”，类似这样自上而下排成的三行符号还有其他的含义．所有这些三行符号中，每一行只有一个阴或一个阳
（1）所有这些三行符号共有　8　种；
（2）若随机画一个这样的三行符号，求“画出含有一个阴和两个阳的三行符号”的概率．
【详解】解：（1）根据题意画图如下：

共有8种等可能的情况数，
【答案】8；

（2）根据第（1）问一个阴、两个阳的共有5种，
则有一个阴和两个阳的三行符号”的概率是．
51．（2019•镇江）小丽和小明将在下周的星期一到星期三这三天中各自任选一天担任值日工作，请用画树状图或列表格的方法，求小丽和小明在同一天值日的概率．
【详解】解：根据题意画树状图如下：

共有9种等情况数，其中小丽和小明在同一天值日的有3种，
则小丽和小明在同一天值日的概率是＝．
52．（2018•镇江）如图，数轴上的点A，B，C，D表示的数分别为﹣3，1，2，从A，B，C，D四点中任意取两点

【详解】解：画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中所取两点之间的距离为2的结果数为4，
所以所取两点之间的距离为6的概率＝＝．
53．（2017•镇江）某校5月份举行了八年级生物实验考查，有A和B两个考查实验，规定每位学生只参加其中一个实验的考查，小明、小丽、小华都参加了本次考查．
（1）小丽参加实验A考查的概率是　　；
（2）用列表或画树状图的方法求小明、小丽都参加实验A考查的概率；
（3）他们三人都参加实验A考查的概率是　　．
【详解】解：（1）小丽参加实验A考查的概率是．
【答案】．
（2）画树状图如图所示．
∵两人的参加实验考查共有四种等可能结果，而两人均参加实验A考查有1种，
∴小明、小丽都参加实验A考查的概率为．
（3）他们三人都参加实验A考查的概率是××＝．
【答案】．