2021河南省正阳县高中高一下学期第三次素质检测数学（文）试卷含答案

正阳高中2020-2021学年度下期20级第三次素质检测

数  学  试  题（文）

2021.6.12

一、单选题

1．半径为2，中心角为的扇形的面积等于（    ）

A． B． C． D．

2．某数学老师在统计班级50位同学的一次数学周测成绩的平均分与方差时，计算完毕才发现有位同学的分数还未录入，只好重算一次.已知原平均分和原方差分别为91，2700，新平均分和新方差分别为，，若此同学的得分恰好为91，则（    ）

A． B． C． D．

3．执行右面的程序框图，如果输入三个实数、、，要求输出这三个数中最小的数，那么空白的判断框中应填入（    ）

A． B． 

C． D．

4．将函数的图像向左平移个最小正周期后，所得图像对应的函数为（    ）

A． B．

C． D．

5．向量满足，则（    ）

A．2 B．1 C． D．

6．在中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若，则的形状为（    ）

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形

7．已知，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

8．在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案．该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门中任选2门作为选考科目，假设每门科目被选中的可能性相等，那么化学和生物至多有一门被选中的概率是（    ）

A． B． C． D．

9．在一次科普知识竞赛中共有名同学参赛，经过评判，这名参赛者的得分都在之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（    ）

A．可求得 

B．这名参赛者得分的中位数为

C．得分在之间的频率为 

D．得分在之间的共有人

10．若，则（    ）

A． B． C． D．

11．在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（    ）

A． B． C． D．

12．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且AB=3，E为AD上一点，BE⊥AC.若=λ+μ，则λ+μ的值为（    ）

A． B． C． D．1

二、填空题

13．已知对于一组数据，，…，，关于的线性回归方程为，若，则______．

14．若对任意，恒成立，则常数的一个取值为________.

15．已知两个非零向量，满足，则在方向上的投影为______．

16．公元1231年，南宋著名思想家，教育家陆九渊的弟子将象山书院改建于三峰山徐岩（徐岩旧址，现为贵溪市第一中学），在信江河畔便可望见由明正德皇帝御笔亲题的“象山书院”红色题刻．为测量题刻的高度，在处测得仰角分别为，，前进米后，又在处测得仰角分别为，，则题刻的高度约为__________米．

三、解答题

17．已知.

（1）当为何值时，与共线？

（2）当为何值时，与垂直？

（3）当为何值时，与的夹角为锐角？

18．设向量，，．

（1）若，求实数的值；

（2）设函数，求的最大值．

19．公2021年初，疫情防控形势依然复杂严峻，防疫任务依然艰巨.为了引起广大市民足够重视，某市制作了一批宣传手册进行发放.手册内容包含“工作区域防护知识”“个人防护知识”“居家防护知识"“新型冠状病毒肺炎知识”“就医流程”等内容.为了解某市市民对手册的掌握情况，采取网上答题的形式，从本市10~60岁的答题的人群中随机抽取了100人进行问卷调查，统计结果如右频率分布直方图所示∶

（1）求a的值，并估计样本数据的平均数（用区间中点值代替落在区间内的数值）；

（2）现从年龄在[20，40)的人中利用分层抽样抽取5人，再从5人中随机抽取3人进行问卷调查，年龄在[20，30)的回答5道题，年龄[30，40)的回答3道题，题目都不同.用X表示抽取的3人中回答题目的总个数，求事件“X=13”的概率.

20．已知满足___________，且，从条件①､条件②､条件③中选择一个作为已知填在横线上，并求解下列问题：

（1）；

（2）求的面积.

条件①，条件②，条件③.

注：如果选择条件①､条件②､条件③分别解答，按第一个解答计分.

21．在游学活动中，在处参观的第组同学通知在处参观的第组同学：第组正离开处向的东南方向游玩，速度约为米/分钟．已知在的南偏西方向且相距米，第组同学立即出发沿直线行进并用分钟与第组同学汇合．

（1）设第组同学行进的方位角为，求．

（方位角：从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角）

（2）求第组同学的行进速度为多少？

22．已知，，为的内角，且，为锐角．

（1）求角的大小；

（2）求的取值范围．

正阳高中2020—2021学年度下期20级第三次素质检测

数学文科参考答案

1．C

【分析】

根据扇形的面积公式即可求解.

【详解】

解：因为扇形的半径，中心角，

所以扇形的面积，

故选：C.

2．B

【分析】

求出，判断得解.

【详解】

由题知，，

方差为.

故选：B.

3．D

【分析】

根据程序的功能可得出合适的选项.

【详解】

要求输出这三个数中最小的数，原理是将较小者与另一个数比较，直到输出，类比可知空白之处应填，

故选：D.

4．A

【分析】

由题意知：图象向左平移个单位，即可写出平移后的解析式.

【详解】

由题意知：图象平移个单位，

∴.

故选：A

5．C

【分析】

根据题意得，进而解得.

【详解】

由题意易知：，即，

，即.

故选：C

【点睛】

知识点点睛：.

6．A

【分析】

应用正弦定理，结合三角形内角的性质及两角和差公式可得，即可判断的形状.

【详解】

由题设，结合正弦定理有，而，

∴，即，又，

∴.

故选：A

7．C

【分析】

根据余弦的倍角公式，得到，求得，结合三角函数的基本关系式，即可求解.

【详解】

由，可得，解得或，

因为，所以，可得.

故选：C.

8．D

【分析】

采用列举法得到所有可能的情况，根据古典概型概率计算公式得到结果.

【详解】

从门学科中任选门共有：政治+地理、政治+化学、

政治+生物、地理+化学、地理+生物、化学+生物，共种情况，

其中满足化学和生物至少有一门被选中的有5种情况，所以其概率为.

故选：D

9．B

【分析】

利用直方图的面积之和为求出的值，可判断A选项的正误；利用频率分布直方图计算中位数，可判断B选项的正误；利用频率分布直方图可判断CD选项的正误.

【详解】

对于A选项，由于直方图的面积之和为，则，解得，A选项正确；

对于B选项，前两个矩形的面积之和为，前三个矩形的面积之和为，

设中位数为，则，则，解得，B选项错误；

对于C选项，得分在之间的频率为，C选项正确；

对于D选项，得分在之间的人数为，D选项正确.

故选：B.

【点睛】

方法点睛：从频率分布直方图中得出相关数据的方法

（1）频率：频率分布直方图中横轴表示样本数据，纵轴表示，，即每个小长方形的面积表示相应各组的频率．

（2）众数：频率分布直方图中最高的小长方形底边中点对应的横坐标．

（3）中位数：平分频率分布直方图中小长方形的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．

（4）平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积与对应小长方形底边中点的横坐标的乘积之和．

10．D

【分析】

化简得，再利用诱导公式和二倍角公式化简求解.

【详解】

由，得，即，

所以．

故选：D．

【点睛】

方法点睛：三角恒等变换求值，常用的方法：三看（看角看名看式）三变（变角变名变式）. 要根据已知条件灵活选择方法求解.

11．B

【分析】

设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，分别求出对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．

【详解】

如图所示：

设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，其面积为．

设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，即图中的阴影部分，其面积为，所以．

故选：B.

【点睛】

本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件对应的区域面积，即可顺利解出．

12．B

【分析】

建立平面直角坐标系，进而利用向量的坐标表示，设，由可得，再由，利用坐标表示建立方程组求解即可.

【详解】

解：由题意建立如图所示直角坐标系

因为AB=3，BC=4，则B(0，0)，A(0，3)，C(4，0)，

，，设，

因为BE⊥AC，

所以，解得.

由，得，

所以解得

所以，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示，属于基础题.

13．60

【分析】

求出，将代入可求出，即可得出所求.

【详解】

由可得，把代入回归方程可得，

故．

故答案为：60.

14．（的任何一个值均可）

【分析】

由诱导公式三和诱导公式五可推导结果.

【详解】

解：由诱导公式可知：当时，有.

故答案为：.

15．1

【分析】

把已知式平方，转化为数量积的运算，根据数量积定义可得投影．或者作图可知。

【详解】

解：由，得，

又，∴，即，

∴在方向上的投影为．

故答案为：1．

16．

【分析】

根据仰角的关系可得，结合等腰直角三角形的性质可求的高度.

【详解】

因为在处看的仰角分别为，在处看的仰角分别为，

，且均为等腰直角三角形，

故．

故答案为：40.

17．（1）；（2）；（3）且.

【分析】

（1）利用向量共线的坐标表示：即可求解.

（2）利用向量垂直的坐标表示：即可求解.

（3）利用向量数量积的坐标表示，只需且不共线即可求解.

【详解】

解：（1）.

与平行，，解得.

（2）与垂直，

，即，

（3）由题意可得且不共线，解得且.

18．（1）；（2）.

【分析】

（1）条件是，由向量模的坐标运算可得的方程，可解得；

（2）首先由向量积的定义求得的表达式，并利用二倍角公式，两角差的正弦公式化函数为一个三角函数形式，再由正弦函数的性质可求得的最大值．

【详解】

（1）由，

，

根据，得

又，从而，所以

．

（2），

∵,

∴,

∴当，即时，

∴的最大值为.

【点睛】

根据正弦函数值求解角度时，一定要规定角度的范围，往往多解或少解；求三角函数的性质时，一定要将其函数化为一个三角函数形式.

19．（1），平均数为38.5；（2）

【分析】

（1）根据频率分布直方图中所有的频率之和为得到方程，解得即可，再用区间中点值估计平均数；

（2）按照分层抽样计算出和中抽取的人数，再根据古典概型的概率公式计算可得；

【详解】

解：（1）根据频率分布直方图可得，解得，用区间中点值估计平均数为

（2）因为和频率比为，按照分层抽样抽取5人，则中抽2人，中抽3人；因为从5人中随机抽取3人进行问卷调查，年龄在[20，30)的回答5道题，年龄[30，40)的回答3道题，回答题目总个数为个，则从的2人中抽2人，从的3人中抽1人。用表示在[20，30)内二人；表示在区间内三人，在五人中任选出3人的选法有如下10种：

其中从的2人中抽2人，从的3人中抽1人的选法有3种：

由古典概率计算公式得所求概率为

因此，当的概率是

20．（1）（2）见解析.

【分析】

（1）若选①，根据同角公式求出、，再根据两角和的正弦公式求出；若选②，由以及，结合余弦定理求出、，再根据两角和的正弦公式求出；若选③，根据正弦定理求出；

（2）求出边长，利用三角形的面积公式可求出结果.

【详解】

（1）若选①，由得，

所以，得，

因为，所以为锐角，所以，，

所以.

若选②，由以及得，

得，所以，

所以.

若选③，因为，则，则，得,

（2）选①、②：由（1）知，，

由正弦定理得，

所以.

选③：由（1）得，

由余弦定理得，解得或，

所以

或.

【点睛】

关键点点睛：熟练掌握正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式是解题关键.

21．（1）（2）

【解析】

分析：(1)先根据条件，再根据两角和余弦公式求．(2) 先根据条件得三角形，再根据余弦定理求，除以时间得速度.

详解：

（）假设第组同学与第组同学在处汇合，如图，建立数学模型，

则，米，

∴，是等腰三角形，

∴，

∴，

．

（）在中，由余弦定理可得：

．

∴，

故第组同学的行进速度为米/分钟．

点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

22．（1）；（2）.

【分析】

（1）由条件三角恒等式，应用两角和差公式可得，结合诱导公式和三角形内角和定理求，进而求.

（2）应用三角恒等变换、三角形内角和性质可得，令则

，，应用二次函数的性质求范围.

【详解】

（1）∵，

∴，即，而，

∴，又为锐角，即．

（2），

令，     

则

∴即的取值范围为