2021-2022学年浙江省宁波外国语学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年浙江省宁波外国语学校八年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共20.0分）

1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

2. 矩形不具备的性质为

A. 四个角相等 B. 对角线相等
C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直

3. 要证明命题“若，则”是假命题，下列，的值不能作为反例的是

A. ， B. ，
C. ， D. ，

4. 若一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是

A.  B.  C.  D.

5. 已知在双曲线上，则下列各点一定在该双曲线上的是

A.  B.  C.  D.

6. 下列四个命题中，真命题是

A. 对角线垂直且相等的四边形是菱形
B. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C. 一组邻边相等的平行四边形是正方形
D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形

7. 函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，的三个顶点分别为，，若反比例函数在第一象限内的图象与有交点，则的取值范围是

A.
B.
C.
D.

9. 二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是

A. 、异号
B. 当时，的取值可能为
C.
D. 当和时，函数值相等
 

10. 在菱形中，，，在边上，为对角线上一动点，连结，，则的最小值为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11. 已知中，，求证：，用反证法证明：第一步是：假设______．
12. 如图，在中，，，分别是，的中点，，分别是，的中点，则______．
    
     

13. 反比例函数的图象上有两点，，，若，则与的大小关系为______．
14. 把二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，所得图象对应的函数解析式是______．
15. 反比例函数，点，是反比例函数在第一象限内图象上的两点，点的坐标为，点的横坐标为，点为坐标原点，则的面积为______．
16. 下列命题：
    一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
    对角线互相平分的四边形是平行四边形；
    两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
    一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．
    其中正确的命题是______ 将命题的序号填上即可．
17. 如图，点是函数与的图象在第一象限内的交点，，则的值为______．
    
    
     

18. 如图，正方形中，已知，点，分别在、上，且，，则的面积为______ ．
    
     

三、解答题（本大题共6小题，共56.0分）

19. 如图，下列网格图都是由个相同小正方形组成，每个网格图中有个小正方形已涂上阴影，按下列要求涂上阴影．
    在图中选取个空白小正方形涂上阴影，使个阴影小正方形组成一个中心对称图形；
    在图中选取个空白小正方形涂上阴影，使个阴影小正方形组成一中心对称图形．请将两个小题依次作答在图，图中，均只需画出符合条件的一种情形

20. 如图，直线与双曲线交于、两点，与轴交于点，点的纵坐标，点的坐标为．
    求直线和双曲线的解析式；
    结合图象直接写出时的取值范围．

21. 已知，如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点且经过点．
    求该抛物线的解析式；
    求该抛物线的顶点坐标和对称轴；
    求的面积，并写出时的取值范围．
    
     

22. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与坐标原点重合，其边长为，点，点分别在轴，轴的正半轴上，函数的图象与交于点，函数为常数，的图象经过点，与交于点，与函数的图象在第三象限内交于点，连接、．
    求函数的表达式，并直接写出、两点的坐标；
    求的面积．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，在四边形中，为一条对角线，，，，为的中点，连接．
    
    求证：四边形为菱形；
    连接，若平分，，求的长．
    
    
    
    
    
    
     
24. 将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点是边上的一点点不与点，重合，沿着折叠该纸片，得点的对应点．
    如图，当点在第一象限，且满足时，求点的坐标；
    如图，当为中点时，求的长；
    当时，求点的坐标直接写出结果即可．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后对称轴两边的部分可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，图形绕对称中心旋转度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．
【解答】
解：、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选C．  

2.【答案】
 

【解析】解：矩形不具备的性质是对角线互相垂直，
故选：．
依据矩形的性质进行判断即可．
本题主要考查了矩形的性质，矩形的四个角都是直角，矩形的对角线平分且相等．
 

3.【答案】
 

【解析】解：，满足，但是，故符合题意；
故选：．
作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断．
本题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．
 

4.【答案】
 

【解析】解：多边形的每个外角相等，且其和为，
据此可得，解得．
故选：．
利用任意凸多边形的外角和均为，正多边形的每个外角相等即可求出答案．
本题考查了正多边形外角和的知识，正多边形的每个外角相等，且其和为解答这类题往往一些学生因对正多边形的外角和知识不明确，将多边形外角和与内角和相混淆而造成错误计算，误选其它选项．
 

5.【答案】
 

【解析】解：点在双曲线上，
．
A、，此点不在双曲线上，故本选项不符合题意；
B、，此点不在双曲线上，故本选项不符合题意；
C、，此点不在双曲线上，故本选项不符合题意；
D、，此点在双曲线上，故本选项符合题意．
故选：．
先把点代入双曲线，求出的值，再对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：、对角线相等且互相垂直的四边形是菱形，若对角线不互相平分，则不是菱形，故原命题为假命题；
B、对角线互相平分说明是平行四边形，菱形的判定定理：对角线垂直的平行四边形是菱形，故原命题为假命题；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故原命题为假命题；
D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，为真命题；
故选：．
根据菱形、矩形、正方形的判定定理等知识逐项判定即可．
本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握菱形、矩形、正方形的判定定理是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：、二次函数开口向上，，与轴交于负半轴，则，前后矛盾，故此选项不符合题意；
B、反比例函数图象在第一、三象限，，则，二次函数的图象开口向下，抛物线与轴交于负半轴，则，前后一致，故此选项符合题意；
C、二次函数开口向下，，与轴交于正半轴，则，前后矛盾，故此选项不符合题意；
D、二次函数开口向上，，与轴交于负半轴，则，前后矛盾，故此选项不符合题意；
故选：．
根据反比例函数的性质可确定反比例函数的范围，再利用二次函数的性质确定二次函数中字母的范围，看的范围是否统一．
此题主要考查了反比例函数和二次函数图象，关键是掌握反比例函数和二次函数的性质．
 

8.【答案】
 

【解析】解：是直角三角形，
当反比例函数经过点时最小，经过点时最大，
，，
．
故选：．
由于是直角三角形，所以当反比例函数经过点时最小，经过点时最大，据此可得出结论．
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数图象上点的坐标特点是解答此题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：、根据图示知，抛物线开口方向向下，则，抛物线对称轴在轴的右侧，则即、异号，故本选项正确；
B、根据图示知，当时，故本选项正确；
C、根据图示知，对称轴为，则；故本选项正确；
D、根据函数对称性质知，当和时，函数值相等；故本选项错误；
故选：．
先由图象开口向下判断出，由对称轴在轴右侧得出，根据抛物线与轴的交点得到“当时，的取值可能为”；根据对称轴方程求得、的数量关系；根据抛物线的对称性判定当和时，函数值是否相等．
本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定．
 

10.【答案】
 

【解析】解：连接、，作于．

四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
、关于对称，
，
，
根据垂线段最短可知，当、、共线，且与重合时，的值最小，最小值为的长，
在中，，
故选D．
连接、，作于由、关于对称，推出，推出，根据垂线段最短可知，当、、共线，且与重合时，的值最小，最小值为的长；
本题考查轴对称最短路径问题、菱形的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用垂线段最短解决最短问题．
 

11.【答案】
 

【解析】解：用反证法证明：第一步是：假设．
故答案是：．
熟记反证法的步骤，直接填空即可．
本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：
假设结论不成立；
从假设出发推出矛盾；
假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

12.【答案】
 

【解析】解：如图，，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，分别是，的中点，
是的中位线，
，
故答案为：．
利用三角形中位线定理求得，．
本题考查了三角形的中位线，熟记三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：反比例函数中，
此函数图象在二、四象限，
，
在第二象限；点在第四象限，
，
．
故答案为：．
先判断出函数图象在二、四象限，再根据，可判断出、两点所在的象限，根据各象限内点的坐标特点即可判断出与的大小关系．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及各象限内点的坐标特点，先根据判断出该函数图象所在象限是解答此题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：，
把二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，所得图象对应的函数解析式是，即：．
故答案为：．
首先把化为顶点式，再根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：如图，作直线，设直线与轴交于点，

点在反比例函数图象上，
，
，
反比例函数解析式为；
点的横坐标为，
，
，
，
点、点在直线上，
，
解得，
直线解析式为，
与轴的交点坐标，
．
故答案为：．
作直线，根据的坐标为，先求出，再根据反比例函数求出点坐标，从而利用待定系数法求一次函数的解析式为，求出直线与轴的交点的坐标后，即可求出．
本题主要考查了用待定系数法求函数解析式、反比例函数与一次函数的交点问题以及三角形的面积，本题的关键是求得交点坐标．
 

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．根据平行四边形的判定方法对各选项分别进行判断．
【解答】
解：一组对边平行，且这组对边相等的四边形是平行四边形，所以错误；
对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以正确；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以正确；
一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，所以正确．
故答案为．  

17.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了反比例函数与一次函数的图象得交点、勾股定理、反比例函数解析式的求法；求出点的坐标是解决问题的关键．
作轴于，得出，在中，由勾股定理得出方程，解方程求出，得出，即可求出的值．
【解答】
解：作轴于，如图所示：

设，
点是函数与的图象在第一象限内的交点，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
代入得：；
故答案为．  

18.【答案】
 

【解析】解：如图，把绕点逆时针旋转得到则，

四边形是正方形，
，，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
，设，
在中，，，，
，，，
，
，
，
．
故答案为．
如图，把绕点逆时针旋转得到则，，首先证明≌，推出，推出，设，在中，由，，，推出，，，根据，列出方程求出即可解决问题．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形度角旋转等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线的方法，记住基本图形、基本结论，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：如图所示，即为所求；

如图所示，即为所求．
 

【解析】直接利用中心对称图形的定义分析得出答案．
此题主要考查了利用旋转设计图案，正确掌握中心对称图形的定义是解题关键．
 

20.【答案】解：点在双曲线上，
，
双曲线的解析式为．
把代入得：，
的坐标为，
直线经过、两点，
，解得，
直线的解析式为直线；

由图象可知，时的取值范围是或．
 

【解析】由点的坐标求出，得出双曲线的解析式为求出的坐标为，由点和的坐标以及待定系数法即可求出直线的解析式为直线；
根据图象即可求得．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式；熟练掌握待定系数法是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：二次函数的图象经过点、，
，
解这个方程组，得，
该二次函数的解析式是；

顶点坐标是；
对称轴是直线；
二次函数的图象与轴交于，两点，
，
解这个方程得：，，
即二次函数与轴的两个交点的坐标为，．
的面积；
由图象可知，当时，．
 

【解析】直接利用待定系数法将已知点代入得出方程组求出答案；
直接利用配方法求出抛物线顶点坐标和对称轴即可；
直接利用三角形面积求法得出答案，并根据函数图象得出的取值范围．
此题主要考查了抛物线与轴的交点以及待定系数法求二次函数解析式等知识，正确得出二次函数解析式是解题关键．
 

22.【答案】解：正方形的边长为，
点的纵坐标为，即，
将代入，得，
点的坐标为，
函数的图象经过点，
，
解得，
函数的表达式为，
，；
过点作，与的延长线交于点，
，，
，
，
的面积为：．
 

【解析】根据正方形的性质，以及函数上点的坐标特征可求点的坐标为，根据待定系数法可求反比例函数表达式，进一步得到、两点的坐标；
过点作，与的延长线交于点，根据两点间的距离公式可求，，再根据三角形面积公式可求的面积．
本题主要考查了待定系数法求函数解析式，以及正方形的性质，解题的关键是求得，，．
 

23.【答案】证明：，为的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是菱形．
解：连接．

，平分，
，
，
，
在中，，
，，
又由可得，
故为等边三角形，
则，，
，
，
在中，
，，
，解得．
 

【解析】本题考查菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．
由，，推出四边形是平行四边形，再证明即可解决问题；
先证得为等边三角形，则，，进而得出在中，利用特殊角的三角函数值即可解决问题．
 

24.【答案】解：点，点，
，，
由折叠的性质得：，
，
，
在中，，
点的坐标为；

在中，，，
，
是的中点，
，，

是等边三角形，
，
，
由折叠的性质得：，，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
；

或
详解：设，分两种情况：
，
，
连接，延长交于，如图所示：
则，
，
，，
，
，，
，
，，
，
，
点在轴上，
点在的平分线上，，
设直线的解析式为，
把点，点代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
在直线上，
，
解得：，
；

如图所示：
由折叠的性质得：，，
，
，
，，
四边形是菱形，
，作于，如图所示：
，
，
把代入得：，
解得：，
；

综上所述：当时，点的坐标为或
 

【解析】由点和的坐标得出，，由折叠的性质得：，由勾股定理求出，即可得出点的坐标为；
由勾股定理求出，证出，得出是等边三角形，得出，求出，由折叠的性质得：，，证出，得出四边形是平行四边形，即可得出；
分两种情况：易得，连接，延长交于，则，，求出，则，，推出，，得出，则，得出点在轴上，点在的平分线上，由待定系数法求出直线的解析式为，即可得出点的坐标；
由折叠的性质得：，，证出四边形是菱形，得出，作于，由直角三角形的性质求出，把代入求出点的纵坐标即可．
本题是几何变换综合题目，考查了折叠的性质、坐标与图形性质、勾股定理、菱形的判定与性质、角平分线的性质、直角三角形的性质、待定系数法求直线的解析式等知识；本题综合性强，难度较大．