2021-2022学年重庆市江津区校联盟学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年重庆市江津区校联盟学校八年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）

1. 二次根式中字母的取值范围是

A.  B.  C.  D.

2. 下列二次根式中属于最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

3. 下列运算正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 估计的值应在

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

5. 以下列各组线段为边长，不能构成直角三角形的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

6. 如图，点是以为圆心，为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点表示的实数是

A.  B.  C.  D.

7. 已知，如图，一轮船以海里时的速度从港口出发向东北方向航行，另一轮船以海里时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口小时后，则两船相距

A. 海里
B. 海里
C. 海里
D. 海里

8. 下面关于平行四边形的说法中，不正确的是

A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D. 有两组对角相等的四边形是平行四边形

9. 如图，▱的对角线，交于点，已知，，，则的周长为

A.
B.
C.
D.

10. 如图，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程是 

A.
B.
C.
D.

11. 如图，四边形是平行四边形，是上一点，且和分别平分和如果，，则的面积等于．

A.  B.  C.  D.

12. 将从开始的一组数按如图的规律排列：规定位于第行第列的数记为，例如记为，按此规律，记为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13. 计算：______．
14. 如图，在平行四边形中，于，，，则______．
15. 如图，分别以等腰的边，，为直径画半圆，，则阴影部分的面积是______．

16. 如图，折叠直角三角形纸片，使得两个锐角顶点、重合，设折痕为若，，则的周长是______．
    
    
     

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）

17. 计算
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，在▱中，平分．
    尺规作图：作的平分线交于点保留作图痕迹，不写作法，不写结论
    在所作的图形中，与交于点，求证：为直角三角形．

19. 先化简，再求值：，其中，满足．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知：如图，中，于点，，，．
    分别求出、、的长；
    猜想：是什么特殊三角形，并证明你的猜想．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，▱中，是它的一条对角线，过、两点作，，垂足分别为、，延长、分别交、于、．
    求证：四边形是平行四边形；
    已知，，求的长．

22. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域
    求的度数；
    海港受台风影响吗？为什么？
    若台风的速度为千米小时，当台风运动到点处时，海港刚好受到影响，当台风运动到点时，海港刚好不受影响，即，则台风影响该海港持续的时间有多长？
    
    
    
    
    
    
     
23. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
    已知，求的值．他是这样解答的：
    ，
    ．
    ，．
    ．
    ．
    请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
    ______；
    化简；
    若，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，中，，、分别为、的中点，连接，过作交的延长线于．
    
    求证：；
    若，求的长．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，在平面直角坐标系中有三点，，．
    求，两点之间的距离；
    求的面积．
    在轴上有一点，使为等腰三角形，直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解二次根式有意义，
，解得：．
故选：．
根据二次根式中的被开方数是非负数列不等式求解即可．
本题主要考查的是二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：，
选项A不符合题意；
，
选项B不符合题意；
已是最简二次根式，
选项C符合题意；
，
选项D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义对每个选项进行分析，即可得出答案．
本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解决问题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用二次根式的加法的法则，二次根式的化简的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
 

4.【答案】
 

【解析】解：

，
，
，
故选：．
先根据二次根式的混合运算进行计算，再估算即可得解．
此题考查了估算无理数的大小，正确估算出是解题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：、，
此三角形是直角三角形，不合题意；
B、，
此三角形不是直角三角形，符合题意；
C、，
此三角形是直角三角形，不合题意；
D、，
此三角形是直角三角形，不合题意；
故选：．
分别求出各选项中较小两数的平方和及最大数的平方，比较后即可得出结论．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

6.【答案】
 

【解析】解：在中，，，
根据勾股定理得：，
，
．
则表示的实数为．
故选：．
在中，利用勾股定理求出的长，即可确定出的长，得到表示的实数．
此题考查了勾股定理，以及实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：
两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
，
两小时后，两艘船分别行驶了海里，海里，
根据勾股定理得：海里．
故选D．
根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程速度时间，得两条船分别走了，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．
熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．
 

8.【答案】
 

【解析】解：、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项B符合题意；
C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、有两组对角相等的四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：．
由平行四边形的判定定理分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
的周长．
故选：．
由平行四边形的性质得出，，，即可求出的周长．
本题主要考查了平行四边形的性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分．
 

10.【答案】
 

【解析】解：在侧面展开图中，的长等于底面圆周长的一半，即，

，，
根据勾股定理得：，
要爬行的最短路程是．
故选：．
此题最直接的解法就是将圆柱侧面进行展开，然后利用两点之间线段最短解答．
此题考查的是平面展开最短路径问题，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度，再利用勾股定理求解．
 

11.【答案】
 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
又和分别平分和，
，
在中，，
，
平分且，
．
是等腰三角形．
，
同理可得，
，
，
的面积，
故选：．
根据平行四边形性质得出，，推出，求出，在中求出，由平行线的性质和角平分线的性质可求的长，由勾股定理可求的长，即可求解．
本题考查了平行四边形性质，平行线性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用；熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：根据表格中的数据排列规律可知，
余，
所以应该是行的最后一个，
即第行，第个，
因此，
故选：．
根据数据在表格中的排列规律得出答案．
本题考查算术平方根，数字的变化规律，发现数据在表格中的排列规律是解决问题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：．
本题是二次根式的减法运算，二次根式的加减运算法则是合并同类二次根式．
合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．
 

14.【答案】
 

【解析】解：于，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
故答案为．
想办法求出，再根据等腰三角形的性质即可解决问题；
本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

15.【答案】
 

【解析】解：是直角三角形，
，
以等腰的边、、为直径画半圆，
，，，
，
所得两个月型图案和的面积之和图中阴影部分的面积；
故答案为：．
根据勾股定理得出，进而得出半圆面积解答即可．
此题考查扇形的面积，三角形的面积等知识，关键是根据图中阴影部分的面积解答．
 

16.【答案】
 

【解析】解：，，，
，
折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点、重合，
，
设，则，故DC，
，
，
即，
解得：，
．
，
的周长．
故答案为：．
根据勾股定理得，设，则，故DC，利用勾股定理求出的值，进而可以解决问题．
此题主要考查了翻折变换、勾股定理、一元二次方程等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

17.【答案】解：原式
．
原式
．
 

【解析】根据零指数幂的意义，二次根式的乘法运算以及乘方运算即可求出答案．
根据平方差公式以及二次根式的除法运算即可求出答案．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘法运算，本题属于基础题型．
 

18.【答案】解：如图，为所作；

证明：四边形为平行四边形，
，
平分，平分，
，，
，
，
为直角三角形．
 

【解析】利用基本作图，作的平分线即可；
先利用平行四边形的性质得到，再根据角平分线的性质得到，，所以，从而可判断为直角三角形．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行四边形的性质．
 

19.【答案】解：
，
，
，
，满足．
，，解得，，
把，，代入原式．
 

【解析】先化简，再求出，的值代入求解即可．
本题主要考查了了分式的化简求值及非负数的性质．解题的关键是求出，的值．
 

20.【答案】解：于点，
，
在中，，，
根据勾股定理得，
在中，，，
根据勾股定理得，
；
猜想：是直角三角形．
在中，，，，
，
是直角三角形．
 

【解析】在中，根据勾股定理得，在中，根据勾股定理得，再根据即可求解；
根据勾股定理的逆定理即可得到是直角三角形．
考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，，
，
，，
四边形是平行四边形；
解：四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
在和中，

，
，，
在中，，，，
，
．
 

【解析】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是记住平行四边形的判定方法和性质，正确寻找全等三角形解决问题．
只要证明，即可；
先证明得，，再在中，利用勾股定理即可解决问题．
 

22.【答案】解：，，，
，
是直角三角形，

海港受台风影响，
理由：过点作，
是直角三角形，
，
，
，
以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，
海港受台风影响；

当，时，正好影响港口，
，
，
台风的速度为千米小时，
小时．
答：台风影响该海港持续的时间为小时．
 

【解析】利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；
利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响；
利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
 

23.【答案】
 

【解析】解：，
故答案为：；



；
，







．
根据所给的解答方式进行求解即可；
把各式的分母进行有理化，即可求解；
先进行分母有理化的运算，再代入相应的式子运算即可．
本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
 

24.【答案】证明：、分别是、的中点

又
四边形为平行四边形
．

，

又为中点

在中，


四边形是平行四边形，
．
 

【解析】本题考查平行四边形的判定和性质、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明；
得到为等边三角形，可得，在中求出，即可解决问题；
 

25.【答案】解：，，
，，
，
；
的面积；
当时，
，
，
，
当时，或；
当时，点在的垂直平分线上，
设，
，
，
，
综上所述，或或或．
 

【解析】根据勾股定理即可得到结论；
根据三角形的内角公式即可得到结论；
根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．