2021-2022学年湖南省长沙一中教育集团七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖南省长沙一中教育集团七年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 下列四个实数中，最小的数是

A.  B.  C.  D.

2. 如图，直线与相交于点，，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

3. 下列命题中是真命题的是

A. 同位角相等，两直线平行
B. 钝角三角形的两个锐角互余
C. 若实数，满足，则
D. 若实数，满足，，则

4. 如图，能判定直线的条件是

A.
B.
C.
D.
 

5. 解方程组，把代入，计算结果正确的是

A.  B.
C.  D.

6. 已知一个数的两个平方根分别是与，这个数的值为

A.  B.  C.  D.

7. 如图是小刚画的一张脸，若用点表示左眼的位置，用点表示右眼的位置，则嘴巴点的位置可表示为

A.
B.
C.
D.

8. 已知是二元一次方程组的解，则的值是

A.  B.  C.  D.

9. 若，，且点在第二象限，则点的坐标是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，，则下列各式中正确的是

A.
B.
C.
D.
 

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 实数的平方根______．
12. 如图，直线，，则的度数是______．
    
     

13. 已知，满足方程组，则的值为______．
14. 已知，，把线段平移至线段，其中点、分别对应点、，若，，则的值是______．
15. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇酒、行酒各得几何？”其意思是：今有醇酒优质酒斗，价值钱；行酒劣质酒斗，价值钱；现有钱，买得斗酒．问可以买醇酒和行酒各多少斗？若设可以买醇酒斗，行酒斗，可列方程组为______．
16. 对一组数的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：；且规定为大于的整数如，，，，，，，则______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
18. 解方程组：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
19. 阅读下面的解题过程，并在横线上补全推理过程或依据．
    已知：如图，，、分别平分、．
    
    试说明．
    解：已知，
    ______ ______
    、分别平分、 已知
    
    角平分线定义
    ______
    ____________ ．
    ______ ．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在网格点上．且点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
    将向右平移分单位长度，再向下平移个单位长度，得到，其中点，，分别为点，，的对应点．请在所给的坐标系中画出，并写出，，的坐标；
    求的面积．

21. 如图，，．
    若平分，求的度数．
    若，求的度数．
    
     

22. 水果商贩老徐上水果批发市场进货，他了解到草莓的批发价格是每箱元，苹果的批发价格是每箱元老徐购得草莓和苹果共箱，刚好花费元．
    问草莓、苹果各购买了多少箱？
    老徐有甲、乙两家店铺，每售出一箱草莓和苹果，甲店分别获利元和元，乙店分别获利元和元设老徐将购进的箱水果分配给甲店草莓箱，苹果箱，其余均分配给乙店由于他口碑良好，两家店都很快卖完了这批水果．
    若老徐在甲店获利元，则他在乙店获利多少元？
    若老徐希望获得总利润为元，则 ______ 直接写出答案
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，已知，现将一直角三角形放入图中，其中，交于点，交于点．
    
    当所放位置如图所示时，与的数量关系是______；
    当所放位置如图所示时，求证：；
    在的条件下，与交于点，且，，求的度数．
    
    
    
    
    
    
     
24. 【了解概念】
    在平面直角坐标系中，若，，式子的值就叫做线段的“勾股距”，记作，同时，我们把两边的“勾股距”之和等于第三边的“勾股距”的三角形叫做“等距三角形”．
    【理解运用】
    在平面直角坐标系中，，，．
    线段的“勾股距”______；
    若点在第三象限，且，求并判断是否为“等距三角形”；
    【拓展提升】
    若点在轴上，是“等距三角形”，请直接写出的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知，点的坐标是，点的坐标是，点在轴的负半轴上，且．
    写出点的坐标______ ，______ ；
    在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
    把点往上平移个单位得到点，画射线，连接，点在射线上运动不与点、重合试探究，，之间的数量关系，并证明你的结论．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：正数大于负数，且，
，
故选：．
根据正数比负数大排除和选项，再根据判断即可．
本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握正数和负数的大小比较是解题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：，
．
又，

由对顶角相等可知：．
故选：．
由垂直的定义可知，可求得的度数，然后再根据对顶角相等可求得的度数即可．
本题主要考查的垂线的定义和对顶角的性质，掌握垂线的定义和对顶角的性质是解题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：同位角相等，两直线平行是真命题，故A是真命题，符合题意；
钝角三角形的两个锐角和小于，故B是假命题，不符合题意；
若实数，满足，则或，故C是假命题，不符合题意；
若实数，满足，，则，故D是假命题，不符合题意；
故选：．
由平行线的判定定理可判定，根据钝角三角形定义可判定，由互为相反数的两个数平方相等可判断，根据异号两数相乘，积为负可判定．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线判定方法、钝角三角形定义，实数运算等知识，难度不大．
 

4.【答案】
 

【解析】解：、当时，，故A不符合题意；
B、与是对顶角，不能判定，故B不符合题意；
C、当时，，故C不符合题意；
D、当时，利用同位角相等，两直线平行得，故D符合题意，
故选：．
利用平行线的判定定理进行分析即可．
本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件并灵活运用．
 

5.【答案】
 

【解析】解：，
把代入，得，
，
故选：．
把代入得出，去掉括号得出，再得出选项即可．
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：由题意得：
，
解得：．
．
故选D
根据平方根的性质建立等量关系，求出的值，再求出这个数的值．
本题是一道关于平方根的计算题，考查了平方根的性质及其对性质的运用．
 

7.【答案】
 

【解析】解：如图所示：嘴巴点的位置可表示为．
故选：．
直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系，进而得出点的坐标．
此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：把方程组的解代入方程组得，
解得，
，
故选：．
把方程组的解代入方程组得到关于，的方程组，求出，的值，代入代数式求值即可．
本题考查了二元一次方程组的解，把把方程组的解代入方程组得到关于，的方程组是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：点在第二象限，
，，
又，，
，，
点的坐标是．
故选：．
根据第二象限的横坐标为负数，纵坐标为正数，结合绝对值的性质以及平方根的定义解答即可．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

10.【答案】
 

【解析】解：延长，
，
，
与互补，
，
是的外角，
，即，
．
故选D．
延长，由可知，，再由三角形外角的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，根据题意作出辅助线，构造出三角形，利用三角形外角的性质求解是解答此题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：，
实数的平方根是．
故答案为：．
根据算术平方根、平方根的定义解决此题．
本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根的定义是解决本题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：如图，，，
，
．
故答案为：．
根据两直线平行，同位角相等求出的同位角的度数，再根据邻补角进行求解．
本题考查了平行线的性质，熟记性质两直线平行，同位角相等是解题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：，
得，
则．
故答案为：．
两个方程相加即可得出的值，再得出的值即可．
考查了二元一次方程组的解，要想求得二元一次方程组里两个未知数的和，有两种方法：求得两个未知数，让其相加；观察后让两个方程式或整理后的直接相加或相减．
 

14.【答案】
 

【解析】解：，平移后的对应点，，
平移方法为向右平移个单位，
，，
，
故答案为：．
根据、两点平移后对应点的位置可得图形的平移方法，进而可得、的值，然后再计算出即可．
此题主要考查了坐标与图形的变化--平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
 

15.【答案】
 

【解析】解：设可以买醇酒斗，行酒斗，
依题意，得：．
故答案为：．
根据“现有钱，买得斗酒”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：由题意得：，，，，，
由此发现每一列数组规律：每一行有两个数每一列的结果都是上一列的倍．
是偶数，
，
故答案为：
按照定义进行运算，，，，，观察每一列数组的倍数关系，即可发现规律．
本题是找规律问题，考查数感和运算能力，一般作为选填压轴题．
 

17.【答案】解：


．
 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
由，可得：，
代入，可得：，
解得，
把代入，可得：，
原方程组的解是．

，
，可得，
解得，
把代入，可得：，
解得，
原方程组的解是．
 

【解析】应用代入消元法，求出方程组的解是多少即可．
应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
 

19.【答案】；两直线平行，同位角相等；等量代换；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
 

【解析】解：，
两直线平行，同位角相等，
、分别平分、，
，
角平分线定义，
等量代换，
同位角相等，两直线平行，
两直线平行，内错角相等，
故答案为：；两直线平行，同位角相等；等量代换；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可．
本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
 

20.【答案】解：如图，，，，；
的面积．

 

【解析】利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
本题考查作图平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：平分，，
，
，
，
，
，
故的度数是；
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
故的度数是．
 

【解析】根据角平分线的定义得，的度数，根据角的和差可得的度数，即可求得的度数；
根据角的和差表示出，由已知条件可得方程，解方程即可得的度数．
此题主要考查角的计算，角平分线的性质与一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系求解．
 

22.【答案】或
 

【解析】解：设草莓买了箱，则苹果买了箱，
依题意得：，
解得：，
箱．
答：草莓买了箱，苹果买了箱．
老徐在甲店获利元，
，
．
他在乙店获得的利润为元．
答：他在乙店获利元．
依题意得：，
化简得：．
，为正整数，
或，
或．
故答案为：或．
设草莓买了箱，则苹果买了箱，利用总价单价数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
利用总利润每箱的利润销售数量，即可得出关于，的二元一次方程，化简后可得出，再结合总利润每箱的利润销售数量可求出他在乙店获得的利润；
利用总利润每箱的利润销售数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数即可求出，的值，再将其代入中即可求出结论．
本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；找准等量关系，正确列出二元一次方程；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
 

23.【答案】
 

【解析】解：如图，过点作 ，

，
，
， ，
，
；
故答案为： ；
证明：如图，

，
，
， ，
；
解：由得， ，
，
故答案为： ．
作 ，又 ，根据平行线的性质、对顶角相等解答；
根据平行线的性质、三角形的外角的性质计算；
利用的结论、三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是三角形内角和定理的应用、三角形的外角的性质、平行线的性质，掌握三角形内角和定理、正确作出辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】
 

【解析】解：由“勾股距”的定义知：，
故答案为：；
，
，
点在第三象限，
，，
，
，
，即，
，
，
，，，
不是为“等距三角形”；
点在轴上时，点，
则，，
当时，，，
若是“等距三角形”，
，
解得：不合题意，
又，
当时，，，
若是“等距三角形”，
则，
，
解得：不和题意，
当时，，，
若是“等距三角形”，
则，
解得：，
恒成立，
时，是“等距三角形”，
综上所述：是“等距三角形”时，的取值范围为：．
根据两点之间的直角距离的定义，结合、两点的坐标即可得出结论；
根据两点之间的直角距离的定义，用含、的代数式表示出来，结合点在第一象限，即可得出结论；
由点在直线上，设出点的坐标为，通过寻找的最小值，得出点到直线的直角距离．
本题考查坐标与图形的性质，关键是对“勾股距”和“等距三角形”新概念的理解，运用“勾股距”和“等距三角形”解题．
 

25.【答案】 
 

【解析】解：，，
，
故答案为：，；

如图，，，
，
，
，
设，
，
，
，
或；

或．
证明：由平移知，，
，
轴，
当点在线段上时，如图，
过点作轴，
，
轴，轴，
，
，
；

当点在的延长线上时，如图，
记与的交点为，
轴，
，
是的外角，
，
，
即或．
根据坐标轴上，两点间的距离的计算方法，即可得出结论；
先求出的面积，进而求出的面积，最后用三角形的面积公式，建立方程，求解，即可得出结论；
先判断出轴，再分两种情况，利用平行线的性质和三角形的外角的性质，即得出结论．
此题是几何变换综合题，主要考查了平移的性质，三角形的面积公式，平行线的性质，三角形的外角的性质，作出辅助线是解本题的关键．