2022年河南省南阳市宛城区中考数学一模试卷（含解析）

2022年河南省南阳市宛城区中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 光年是天文学中使用的长度单位，主要用于计算太阳系外天体之间的距离，光年是指光在真空中一年时间所走的距离，约等于亿千米，数值“亿”用科学记数法可表示为

A.  B.  C.  D.

3. 下列不是三棱柱的表面展开图的是

A.  B.
C.  D.

4. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 如图，在中，，，平分，平分，则的大小是   

A.
B.
C.
D.

6. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值不能是

A.  B.  C.  D.

7. 如图，中，、、分别是边、、的中点，连接、，要使、互相垂直平分，还需要添加一个条件，这个条件不可能是

A.
B.
C.
D. 是的角平分线
 

8. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得到的抛物线必定不经过

A.  B.  C.  D.

9. 一只不透明的袋子中装有个红球和个白球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后从中任意摸出个球，记录下颜色后放回搅匀，再从中摸出第个球．则两次摸出的球颜色相同的概率是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，将平行四边形绕顶点顺时针旋转，使点、、分别落在、、处，且、、、在一直线上，若恰好是的中点，则的值为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 例如，等，像这样的方程叫做一元一次方程．请写出一元一次方程的共同特点：______．
12. 因式分解：______．
13. 要想了解一本页的书稿大约共有多少字，从中随机地选定一页作调查，数一数该页的字数．以下说法：这本页书稿的字数是总体；每页书稿是个体；从该书稿中选定的那一页的字数是总体的一个样本；是样本容量．其中正确的是______．
14. 如图，在扇形中，，点从点出发，沿以的速度匀速运动到点图是点运动过程中，的面积随时间变化的图象，则扇形的周长是______．

15. 如图，在中，，，，点是的中点，点是上一动点，将沿翻折得到，交于点，当是直角三角形时，线段的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）

16. 计算：；
    求不等式组的所有整数解．
    
    
    
    
    
    
     
17. 北京冬奥会的开幕式惊艳了世界，在这背后离不开志愿者们的默默奉献，这些志愿者很多来自高校，在志愿者招募之时，甲、乙两所大学就积极组织了志愿者选拔活动，对报名的志愿者进行现场测试，现从两所大学参加测试的志愿者中分别随机抽取了名志愿者的测试成绩进行整理和分析成绩得分用表示，满分分，共分成五组：，，，，，下面给出了部分信息：
    甲校名志愿者的成绩在组的数据是：
    ，，，．
    乙校名志愿者的成绩成绩是：
    ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
    
    
    两校抽取的志愿者成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：

根据以上信息，解答下列问题：
由上表填空：______，______，______
你认为哪个学校的志愿者测试成绩较好，请说明理由写出一条即可．
若甲校有名志愿者，乙校有名志愿者参加了此次侧试，估计此次参加测试的志愿者中，成绩在分以上的志愿者有多少？






 

18. 某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长．据统计，近五年该村农户老王年度纯收入如表所示：

若记年度为第年，在直角坐标系中用点，，，，表示近五年农户老王纯收入的年度变化情况，如图所示．
拟用下列三个函数模拟农户老王从年开始的年度纯收入变化趋势：，，，以便估算农户老王年度的纯收入．
能否选用函数进行模拟，请说明理由；
你认为选用哪个函数模拟最合理，请说明理由；
农户老王准备在年底购买一台价值万元的农机设备，根据中你选择的函数表达式，预测农户老王年度的纯收入能否满足购买农机设备的资金需求．






 

19. 如图，一艘货船以的速度向正南方向航行，在处测得灯塔在南偏东方向，航行后到达处，测得灯塔在北偏东方向，求处距离灯塔的距离结果精确到，参考数据：，，，
     

20. 如图，是半圆的直径，是一条弦，是的中点，于点，交于点，连接交于点．
    求证：；
    从以下两题中任选一题解答，若两题都答仅以第题计分：
    过作的切线交延长线于点，如图，当是中点时，求的值；
    图中，连接，若，，求的长．

21. “冰墩墩”和“雪容融”作为第届北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物深受大家喜爱．某文旅店订购“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具，花费分别是元和元，已知“冰墩墩”毛绒玩具的订购单价是“雪容融”毛绒玩具的订购单价的倍，并且订购的“冰墩墩”毛绒玩具的数量比“雪容融”毛绒玩具的数量多件．
    求文旅店订购的两种毛绒玩具的单价分别是多少元；
    该文旅店计划再订购这两种毛绒玩具共件，其中购进“雪容融”毛绒玩具的数量不超过“冰墩墩”毛线玩具的数量的，该文旅店购进“雪容融”毛绒玩具多少件时？购买两种玩具的总费用最低，最低费用是多少元？
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知抛物线为常数．
    当时，设点，在该抛物线上，若，直接写出的取值范围；
    若点、在该抛物线上，且，求的取值范围；
    当时，的最小值为，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
23. 下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作线段的垂直平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务：

任务：
小明的作图依据是______．
判断小军作图得到的直线是否是线段的垂直平分线？并说明理由；
如图，已知中，，，点、分别是射线、上的动点，且，连接、，交点为，当，时，直接写出线段的长．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：根据概念，的相反数，则的相反数是．
故选：．
据相反数的性质，互为相反数的两个数和为，采用逐一检验法求解即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是．
 

2.【答案】
 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】
 

【解析】解：选项A、、中三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．
选项D围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故D不能围成三棱柱．
故选：．
利用棱柱及其表面展开图的特点解题．
本题考查了几何体的展开图．解题的关键是明确棱柱的展开图的特征，棱柱表面展开图中，上、下两底面应在侧面展开图长方形的两侧．
 

4.【答案】
 

【解析】解：、与不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算正确，故此选项符合题意；
故选：．
根据合并同类项法则，幂的乘方的运算法则，同底数幂的乘法的运算法则，完全平方公式解答即可．
本题考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式．解题的关键是掌握合并同类项法则，幂的乘方的运算法则，同底数幂的乘法的运算法则，完全平方公式．
 

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为；
根据三角形内角和定理计算．
【解答】

解：，，
平分，平分，
，，
．
故选C．

6.【答案】
 

【解析】解：根据题意得，
解得，
故选：．
利用根的判别式的意义得到，然后解不等式得到的范围，则可对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

7.【答案】
 

【解析】解：如图，连接，．
、、分别是边、、的中点，
，．
四边形是平行四边形．
若、互相垂直平分，则四边形是菱形．
A、若时，，四边形是菱形，不符合题意；
B、若时，，四边形是菱形，不符合题意；
C、若时，不能判定四边形是菱形，符合题意；
D、若是的角平分线时，四边形是菱形，不符合题意．
故选：．
连接，利用三角形中位线定理和菱形的判定与性质进行分析判断．
本题主要考查了三角形中位线定理，菱形的判定与性质．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
 

8.【答案】
 

【解析】解：将向右平移个单位，再向下平移个单位得到抛物线解析式为，
将代入得，
将代入得，
将代入得，
将代入得，
抛物线不经过，
故选：．
先求出二次函数平移后的解析式，然后将，，，代入解析式求解．
本题考查二次函数图象与几何变换，解题关键是掌握二次函数平移的规律，掌握二次函数与方程的关系．
 

9.【答案】
 

【解析】解：根据题意画图如下：

所有可能的结果有种，两次摸出颜色相同球的结果有种；
则两次摸出的球颜色相同的概率是；
故选：．
根据题意画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出两次摸出的球颜色相同的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

10.【答案】
 

【解析】解：平行四边形绕点旋转到平行四边形的位置，点恰好是对角线的中点，
，，，

，
，
，
，
∽，
：：，，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
先利用旋转的性质得，，，再证明，则可判断∽，利用相似比可得，然后证明即可得到的值．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是证明∽，
 

11.【答案】只含有一个未知数，含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是
 

【解析】解：只含有一个未知数，并且未知数的最高次为的整式方程是一元一次方程，
一元一次方程的共同特点有：只含有一个未知数，含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是，
故答案为：只含有一个未知数，含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是．
利用一元一次方程的定义解答即可．
本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
先提公因式，再利用平方差公式分解因式可求解．
本题主要考查因式分解提公因式法与公式法的综合运用，找准公因式是解题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：这本页书稿的字数是总体，故说法正确；
每页书稿的字数是个体，故说法错误；
从该书稿中选定的那一页的字数是总体的一个样本，故说法正确；
一样本容量，故说法错误；
故答案为：．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
 

14.【答案】
 

【解析】解：当点在段运动时，
连接，过点作于点，

则当点在点时，，
则此时的面积，
解得：负值已舍去；
当点在上运动时，
的弧长为：，
扇形的周长是：．
故答案为：
当点在点时，此时的面积，求出的值；当点在上运动时，的弧长为：，进而求解．
本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、弧长的求法、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
 

15.【答案】或
 

【解析】解：如图，当时，

，，
∽，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
；
当时，如图，

，，
，
，
作于，
则∽，
，
，
，，
，
．
综上所述，或，
故答案为：或．
分两种情况讨论，由折叠的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了翻折变换，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
 

16.【答案】解：

；
由可得：
，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
原不等式组的解集是，
该不等式组的所有整数解是，．
 

【解析】先化简，然后计算加减法即可；
先将转化为不等式组，然后解出每个不等式的解集，从而可以得到不等式组的解集，再写出该不等式组的整数解即可．
本题考查解一元一次不等式组、实数的运算，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法和实数的运算法则．
 

17.【答案】   
 

【解析】解：甲校组所占的百分比为：，
甲校组所占的百分比为：，
组的人数为名，
甲校的中位数，
乙校的出现次数最涉感是，因此众数是，即．
 ，
故答案为：，，；
乙校志愿者测试成绩较好．理由如下：
甲、乙两校的平均数虽然相同，但是乙校的中位数、众数均比甲校的大，
甲校的方差为，乙校的方差是，
而，
乙校的成绩较为稳定，
乙校志愿者测试成绩较好；
根据题意得：甲校名志愿者成绩在分以上的人数为：，
名志愿者成绩在分以上的人数为，
人，
答：成绩在分以上的志愿者有人．
求出甲校组的占比，进而求出组的占比，求出组的人数，根据中位数的意义，可得，从乙校成绩中找出出现次数最多的数即为众数，求出、、三组人数的比例乘以即可得的值；
依据表格中平均数、中位数、众数、方差等比较做出判断即可；
利用样本估计总体的方法即可求解．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
本题考查扇形统计图、统计表的意义和表示数据的特征，理解平均数、中位数、众数、方差的意义是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
 

18.【答案】解：，，
，
不能选用函数进行模拟；

选用，理由如下，
由可知不能选用函数，
由，，，，可知，每增大个单位，的变化不均匀，
不能选用函数，
故只能选用函数模拟；

把，代入得：
，
解得：
，
经检验，点，，也满足，
当时，，
，
农户老王年度的纯收入满足购买农机设备的资金需求．
 

【解析】由数据的变化大小或者由计算判断；
通过点的变化可知不是一次函数，由可知不是反比例，则可判断选用二次函数模拟最合理；
利用已知点坐标用待定系数法求出解析式，然后计算出年即第年度的纯收入，然后比较可得结论．
本题考查了二次函数的图象特征，反比例函数的图象特征、待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的函数值问题．本题解题的关键是熟练判断出图象符合的函数种类，要求学生牢记各类函数图象的特征并能与实际题目结合应用．
 

19.【答案】解：如图，过点作，垂足为，
由题意得，，，，
在中，，，
，，
在中，，
，
又，
，
解得：，
，
答：处距离灯塔的距离约为．
 

【解析】过点作，垂足为，由锐角三角函数定义得，，，进而求出的长，即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

20.【答案】证明：如图，连接，，
是半圆的直径，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
是半圆的直径，
，
，
，
，
，，
，
，
；
解：如图，连接、，
是的切线，
，
，点是线段的中点，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
；
如图，连接、，作，交的延长线于点，
是的中点，
，
，．
，，
，
≌，≌，
，，
，，
，
．
 

【解析】连接，，根据同角的余角相等得到，根据圆心角、弧、弦之间的关系得到，进而证明，再证明，等量代换证明结论；
连接、，根据切线的性质得到，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质解答即可；
连接、，作，交的延长线于点，证明≌，≌，根据全等三角形的性质得到，，计算即可．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．
 

21.【答案】解：设“雪容融”毛绒玩具的单价为元件，则“冰墩墩”的毛绒玩具的单价为元件，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
，
答：“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具分别是元件、元件；
设购买“雪容融”毛绒玩具件，购买两种玩具的总费用为元，
由题意，得：，
随的增大而减小，
购进“雪容融”毛绒玩具的数量不超过“冰墩墩”毛线玩具的数量的，
，
解得，
当时，取得最小值，此时，
答：购买“雪容融”毛绒玩具件时总费用最低，最低费用是元．
 

【解析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
根据题意可以写出费用与购买“雪容融”数量的函数关系式，根据购进“雪容融”毛绒玩具的数量不超过“冰墩墩”毛线玩具的数量的，可以列出不等式，求出购买“雪容融”数量的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到该文旅店购进“雪容融”毛绒玩具多少件时，购买两种玩具的总费用最低，最低费用是多少元．
本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．
 

22.【答案】解：时，，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
点关于对称轴对称的对称点为，
，
或．
，
抛物线对称轴为直线，
解法一：，开口向上，如图，

当对称轴大于时满足题意，
．
解法二：点、在抛物线上，
，，
又，
，
解得．
抛物线的对称轴为直线，
当时，随增大而增大，故当时，有最小值．
，
解得舍去，；
当时，，不合题意舍去；．
当时，随增大而减小，故当时，有最小值，
，
解得舍去，，
综上所述，的值为或．
 

【解析】由及抛物线解析式可得抛物线对称轴及开口方向，求出点的对称点的横坐标，进而求解．
分别将、代入函数解析式，然后由求解．
由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标，分类讨论时取最小值，时取最小值．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
 

23.【答案】等腰三角形的三线合一
 

【解析】解：小明的作图依据是等腰三角形的三线合一，
故答案为：等腰三角形的三线合一；
是，
理由如下：由作图可知，，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
直线是线段的垂直平分线；
如图，点、分别在线段、上，过点作于，
由的方法可证，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
如图，点、分别在延长线上、延长线上，过点作于，
，，
，
，，
，
，
综上所述，线段的长为或．
根据等腰三角形的性质写出依据；
证明≌，根据全等三角形的性质得到，得到，根据线段垂直平分线的判定定理证明结论；
分点、分别在线段、上，点、分别在延长线上、延长线上两种情况，根据等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质计算即可．
本题考查的是等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及解直角三角形的知识，理解基本尺规作图、掌握等腰三角形的性质是解题的关键．