2022年江西省赣北联盟中考数学第一次联考试卷（含解析）

2022年江西省赣北联盟中考数学第一次联考试卷

副标题

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）

1. 的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 如图是由个相同的小正方体搭成的几何体，若去掉上层的个小正方体，则下列说法正确的是

A. 主视图一定变化
B. 左视图一定变化
C. 俯视图一定变化
D. 三种视图都不变化
 

3. 年月日，第七次全国人口普查数据显示，全国人口比第六次全国人口普查数据增加了万人．将数据万用科学记数法表示

A.  B.  C.  D.

4. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 如图，直线，直角三角形如图放置，若，则的度数为

A.  B.  C.  D.

6. 已知二次函数，当时，，则的取值范围为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7. 因式分解：______．
8. 已知、是方程的两根，则代数式的值是______．
9. 一个样本为，，，，，，，已知这个样本的众数为，平均数为，则这组数据的中位数为______．
10. 数学家斐波那契编写的算经中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干；若再加上人，平分元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为人，则可列方程______．
11. 如图，在▱中，，若▱沿边作轴对称图形，连接若，，在同一直线上，则的长为______．

12. 如图，在矩形纸片中，，，是的中点，是边上的一个动点点不与点重合将沿所在直线翻折，点的对应点为，连接，当是等腰三角形时，的长为______．

三、计算题（本大题共1小题，共3.0分）

13. 计算：
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共11小题，共81.0分）

14. 如图，在▱中，为的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，，若，求证：四边形是矩形．

15. 先化简：，再从中选取一个合适的整数代入求值．
    
    
    
    
    
    
     
16. 已知四边形为平行四边形，为边的中点，请仅用无刻度直尺分别按下列要求作图保留作图痕迹
    在图中，作出边的中点；
    在图中，在边上求作一点，使的面积为口面积的．

17. 学校新冠疫情防控常态化的做法之一，学生进校园必须戴口罩，测体温某校开通了两种不同类型的测温通道共三条，分别为：红外热成像测温通道和人工测温通道和通道在三条通道中，每位同学都要随机选择其中的一条通过某天早晨，该校小红和小明两位同学将随机通过测温通道进入校园．
    下列事件是必然事件的______ ；
    A.小红同学从测温通道通过进入校园
    B.小明同学从测温通道通过进入校园
    C.有一位同学从测温通道通过进入校园
    D.两位同学都要从测温通道通过进入校园
    请用列表或画树状图的方法求小红和小明从不同类型测温通道通过进入校园的概率．
    
    
    
    
    
    
     
18. 某超市为了促销，决定对超市内的商品进行打折销售．不打折时，个商品个商品总费用元；个商品个商品总费用元．打折后，小明购买了个商品和个商品共用了元．
    求出商品和商品的单价；
    若商品和商品的折扣相同，商店打几折出售这两种商品？小明在此次购物中得到了多少优惠？
    
    
    
    
    
    
     
19. 某校随机抽取部分学生，就“学习习惯”进行调查，将“对自己做错的题目进行整理分析、改正”选项为：很少、有时、常常、总是的调查数据进行了整理，绘制成部分统计图如下：
    
    请根据图中信息，解答下列问题：
    该调查的样本容量为____，____，____，“常常”对应扇形的圆心角为_____；
    请你补全条形统计图；
    若该校共有名学生，请你估计其中“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有多少名？
    
    
    
    
    
    
     
20. 一酒精消毒瓶如图，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图，，，当按压柄按压到底时，转动到，此时如图．
    求点转动到点的路径长；
    求点到直线的距离结果精确到．
    参考数据：，，，，，

21. 如图，点为函数与函数图象的交点，点的纵坐标为，轴，垂足为点．
    求的值；
    点是函数图象上一动点不与点重合，过点作于点，若，求点的坐标．

22. 如图，为的直径，为上的一点，连接、，于点，交于点，连接、，与交于点，与的延长线交于点．
    求证：∽；
    若，求证：为的切线；
    若，求的值．

23. 某数学兴趣小组在探究函数的图象和性质时经历以下几个学习过程：
    Ⅰ列表完成以下表格．

Ⅱ描点并画出函数图象草图在备用图中描点并画图．
Ⅲ根据图象解决以下问题：
观察图象：函数的图象可由函数的图象如何变化得到？
答：______．
数学小组探究发现直线与函数的图象交于点，，，，则不等式的解集是______．
设函数的图象与轴交于，两点位于的右侧，与轴交于点．
求直线的解析式；
探究应用：将直线沿轴平移个单位长度后与函数的图象恰好有个交点，求此时的值．






 

【性质探究】

如图，将绕点逆时针旋转得到，则：
与的位置关系为______ ；
如图，连接，，若点为的中点，连接，请探究线段与的关系并给予证明．
【拓展应用】
如图，已知点是正方形的边上任意一点，以为边作正方形，连接，点为的中点，连接．
若，，求的长；
若，，则的长为______ 用含，的代数式表示．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，
的倒数是．
故选：．
根据倒数的定义即可得出答案．
此题考查了倒数，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：若去掉上层的个小正方体，主视图不变，底层是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形；
若去掉上层的个小正方体，俯视图不变，底层左边是两个小正方形，上层的右边是两个小正方形；
若去掉上层的个小正方体，左视图发生变化，上层由原来的两个小正方形变为一个小正方形．
故选：．
根据这个组合体的三视图进行判断即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．
 

3.【答案】
 

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】
 

【解析】解：、，无法合并，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，正确．
故选：．
直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、单项式乘以多项式进而分别计算得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、单项式乘以多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：由三角形的外角性质，，
，，
．
故选：．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．
本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：二次函数，
该函数图象开口向上，对称轴是直线，当时，该函数取得最小值，
当时，，当时，或，
，
故选：．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得的取值范围．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

7.【答案】
 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
先提取公因式，再套用完全平方公式．
本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和完全平方公式是解决本题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：、是方程的两根，
，，，，
则原式



．
故答案为：．
利用根与系数的关系求出与的值，再将与代入方程求出与，原式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
因为众数为，表示的个数最多，因为出现的次数为二，所以的个数最少为三个，则可设，，中有两个数值为另一个未知数利用平均数定义求得，从而根据中位数的定义求解．
【解答】
解：因为众数为，可设，，未知，
平均数，
解得，
将这组数据按从小到大的顺序排列：、、、、、、，
位于最中间的一个数是，所以中位数是，
故答案为．  

10.【答案】
 

【解析】解：根据题意得，，
故答案为．
根据“第二次每人所得与第一次相同，”列方程即可得到结论．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确的理解题意是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：过点作于点，
四边形是平行四边形，▱沿边作轴对称图形，，，在同一直线上，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
直接利用轴对称图形的性质结合平行四边形的性质得出，再利用等腰三角形的性质计算得出答案．
此题主要考查了轴对称图形的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的性质，正确得出是解题关键．
 

12.【答案】或或
 

【解析】解：当时，连接，如图：

点是的中点，，，四边形是矩形，
，，，
，
将沿所在直线翻折，得到，
，
，
，
点，，三点共线，
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得：，
；
当时，如图：

，
点在线段的垂直平分线上，
点在线段的垂直平分线上，
点是的中点，
是的垂直平分线，
，
将沿所在直线翻折，得到，
，，
四边形是正方形，
；
当时，连接，，如图：

点是的中点，，，四边形是矩形，
，，
，
将沿所在直线翻折，得到，
，
，
，
点，，三点共线，
，
，
设，则，，
在中，，
在中，，
，
即，
解得：，
；
综上所述，的长为或或，
故答案为：或或．
存在三种情况：当，连接，勾股定理求得的长，可判断，，三点共线，根据勾股定理即可得到结论；当，证明是正方形，于是得到结论；当时，连接，，证明点，，三点共线，再用勾股定理可得答案．
本题考查矩形中的翻折问题，涉及矩形的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．
 

13.【答案】解：原式

．
 

【解析】根据实数的运算顺序计算，注意：，，，．
本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
 

14.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
为的中点，
，
≌，
．
，
四边形是平行四边形，
在▱中，，
又，
，
四边形是矩形．
 

【解析】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
根据平行四边形的性质得到两角一边对应相等，利用判定≌，从而得到；由已知可得四边形是平行四边形，再证，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形是矩形．
 

15.【答案】解：原式


，
，，，

则原式．
 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
 

16.【答案】解：如图，点为所作；
如图，点为所作．

 

【解析】先作对角线、，它们相交于点，延长交于，再连接交于，则连接并延长交于点；
在的作图基础上连接交于点，连接并延长交于，则点满足条件．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质．
 

17.【答案】
 

【解析】解：两位同学都要从测温通道通过进入校园为必然事件；
故选D；

画树状图为：

共有种等可能的情况数，其中小红和从不同类型测温通道通过的有种情况，
所以小红和小明从不同类型测温通道通过的概率是．
根据随机事件、确定事件的定义对各选项进行判断即可；
画树状图展示所有种等可能的情况数，找出小红和小明从不同类型测温通道通过的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．也考查了随机事件．
 

18.【答案】解：设商品的单价为元，商品的单价为元，
由题意得：，
解得：，
答：商品的单价为元，商品的单价为元．
设商店打折出售这两种商品，
依题意得：，
解得：，
则元．
答：商店打折出售这两种商品，小明在此次购物中得到了元的优惠．
 

【解析】设商品的单价为元，商品的单价为元，根据“不打折时，个商品，个商品，总费用元．个商品，个商品，总费用元”，列出二元一次方程组，解方程组即可；
设商店打折出售这两种商品，根据“打折后，小明购买了个商品和个商品共用了元”，列出一元一次方程，解之得出的值，再利用获得的优惠不打折时购买这些商品所需费用打折后购买这些商品所需费用，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出一元一次方程．
 

19.【答案】解：、、、；
常常的人数为：名，
补全图形如下：

名
“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有名．
 

【解析】解：名，
该调查的样本容量为；
，
，
“常常”对应扇形的圆心角为：．
故答案为：、、、；
见答案
见答案．
分析：
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
首先用“有时”对错题进行整理、分析、改正的学生的人数除以，求出该调查的样本容量为多少；然后分别用很少、总是“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”的人数除以样本容量，求出、的值各是多少；用乘以“常常”的人数所占比例．
求出常常“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”的人数，补全条形统计图即可．
用该校学生的人数乘“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生占的百分率即可．
 

20.【答案】解：，，
，
，
，
，
点转动到点的路径长为；
过作于，过作于，如图：

中，，
中，，
，
，
点到直线的距离约为，
答：点到直线的距离约为．
 

【解析】由，求出，可得，根据弧长公式即可求出点转动到点的路径长为；
过作于，过作于，中，求出，中，，故DG，即点到直线的距离为，
本题考查圆的弧长及解直角三角形的应用，解题的关键是掌握弧长公式，熟练运用三角函数解直角三角形．
 

21.【答案】解：对于，当时，，
，
将点代入得，；
过点作，交的延长线于，作于，

是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
≌，
，，
设，
，，
，，
，
点在反比例的图象上，
，
解得，，
当时，舍，
当时，，
．
 

【解析】根据一次函数表达式可得点的坐标，再将点代入反比例函数，可得答案；
过点作，交的延长线于，作于，利用证明≌，得，，设，表示出点的坐标，从而得出的方程，解方程即可．
本题是反比例函数与一次函数图象的交点问题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，构造全等三角形表示出点的坐标是解题的关键．
 

22.【答案】证明：，
，
，
又，
∽；
证明：连接，如图所示：
是的直径，
，
，
，
，
，，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：连接，如图所示：
，
，
，，
设，，则，
在中，，
，
在中，，
即，
解得：，
，
在中，，
，
或舍去，
．
 

【解析】由垂径定理得，由圆周角定理得，再由公共角，即可得出∽；
连接，由圆周角定理得，则，由等腰三角形的性质得，证出，得出，即可得出结论；
连接，由圆周角定理得，则，设，，则，，由勾股定理得，则，在中，由勾股定理得，解得，则，由勾股定理求出，由三角函数定义即可得出答案．
本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定、等腰三角形的性质、勾股定理、三角函数定义等知识；本题综合性强，熟练掌握圆周角定理、垂径定理和勾股定理是解题的关键．
 

23.【答案】        轴下方图象关于轴对称，轴上方图象不变  或
 

【解析】解：Ⅰ列表完成表格

Ⅱ描点并画图．

Ⅲ的图象可由函数将轴下方图象关于轴对称，轴上方图象不变得到；
故答案为轴下方图象关于轴对称，轴上方图象不变；
结合图象，时，图象在的上方，
解集是或；
故答案为或
令，则，
令，则，解得或，
，，，
设直线的解析式为，
则

；
直线过，和三个点，如图所示，

此时，直线与的图象只有个交点，
．
设直线向上平移后的直线为，
平移后的直线与函数的图象恰好有个交点，
直线只能向上平移，且直线和有且只有一个交点，
则只有一个解，
于是，消去得有两个相等的实数根，
，
．
综上所述，或时将直线沿轴平移个单位长度后与函数的图象恰好有个交点．
直接代入值即可；
先描点，再连线便可得到函数图象；
通过观察函数图象，直接写出结论便可；
根据是取值范围，观察图象直接求解不等式；
画出函数图象，通过观察可知，时就有三个交点；当直线向上平移时发现，直线与二次函数有且只有一个交点，再求这时的值即可．
本题考查绝对值的性质，二次函数的图象，两个函数图象的交点．能够根据的取值范围去掉绝对值符号，分段画出函数图象，利用数形结合是解决本题的关键．
 

24.【答案】 
 

【解析】解：将绕点逆时针旋转得到，
；
帮答案为；
，，
证明：延长至点，使，连接，

将绕点逆时针旋转得到，
，，，
，
≌，
，
，
可以由绕点逆时针旋转得到，
由可知，
，为的中点，
，
，，
如图，连接，，

四边形，为正方形，
，，，
，
≌，
可以由绕点逆时针旋转得到，
，，
，，
由中可知，
，
同可知，，
，
．
故答案为．
由旋转的性质可得出结论；
延长至点，使，连接，证明≌，由全等三角形的判定与性质得出，由三角形的中位线定理得出，由可得出结论；
连接，，证明≌，由可以由绕点逆时针旋转得到，由勾股定理求出答案；
方法同由勾股定理可求出答案．
本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．