2022年广东省惠州市惠阳区中考数学一模试卷（含解析）

2022年广东省惠州市惠阳区中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 数字的倒数为

A.  B.  C.  D.

2. 北京年冬奥会开幕式完美上演，中国以自己的方式，为世界呈现了一场浪漫十足的冰雪盛宴．据官方数据统计，中国大陆地区观看人数约亿人．亿用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 现在道路上的车辆是越来越多了，如果没有交通规则约束和交通标志指示，那么路上的车辆一定是混杂堵塞，所以开车时一定要看清标志，文明驾车．下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

5. 不等式的解集在数轴上表示为

A.  B.
C.  D.

6. 一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的众数和中位数分别是

A. ， B. ， C. ， D. ，

7. 如图，的直径垂直于弦，垂足为若，，则的长是

A.
B.
C.
D.

8. 某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多搬运件电子产品，已知甲工人搬运件电子产品所用的时间与乙工人搬运件电子产品所用的时间相同．若设乙工人每小时搬运件电子产品，可列方程为

A.  B.  C.  D.

9. 对于实数，，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算例如：，则方程的解是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点为边上的动点，将沿折叠得到，连接、则下列结论中：当时，四边形为正方形；当时，的面积为；当在运动过程中，的最小值为；当时，其中结论正确的有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11. 计算：______．
12. 分解因式：______．
13. 一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形的边数为______．
14. 近来房地产市场进入寒冬期，某楼盘原价为每平方米元，连续两次降价后售价为元，则平均每次降价的百分率是______．
15. 如图，将一副三角板如图叠放，且，则______度．
    
     

16. 如图，等边的顶点与原点重合，点的坐标是，点在第二象限．反比例函数的图象经过点，则的值是______．

17. 等腰，等腰，等腰按如图所示放置，点的横坐标为，点，，，在直线上，分别以，，的中点，，为圆心，，，的长为半径画，，依次按此作法进行下去，则的长是______结果保留．

三、解答题（本大题共8小题，共62.0分）

18. 先化简，再求值．，其中．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，在中，．
    求作：射线，使它平分交于点请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
    若：：，，求点到的距离．

20. 在疫情防控工作中，某学校在校门口的大门上方安装了一个人体测温摄像头．如图，学校大门高米，为体温监测有效识别区域的长度，小明身高米，他站在点处测得摄像头的仰角为，站在点处测得摄像头的仰角为，求体温监测有效识别区域的长度．

21. 某学校课后服务，为学生们提供了手工烹饪，文学赏析，体育锻炼，编导表演四种课程依次用，，，表示，为了解学生对这四种课程的喜好情况，学校随机抽取部分学生进行了你最喜欢哪一种课外活动必选且只选一种”的问卷调查．并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：
    参加问卷调查的学生人数是______人，扇形统计图中“”对应扇形的圆心角的大小为______，估计全体名学生中最喜欢活动的人数约为______人．
    现从喜好编导表演的甲，乙，丙、丁四名学生中任选两人搭档彩排双人相声，请用树状图或列表法求恰好甲和丁同学被选到的概率．

22. 某服装专卖店计划购进，两种型号的精品女装．已知件型女装和件型女装共需元；件型女装和件型女装共需元．
    求，型女装的单价
    专卖店购进，两种型号的女装共件，其中型的件数不少于型件数的倍，如果型女装打八折，那么该专卖店至少需要准备多少贷款？
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，是半圆的直径，为半圆上一点，，垂足为，为延长线上一点，且．
    求证：是的切线；
    若，，求图中阴影部分的面积．

24. 如图，抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，点坐标，抛物线与轴交于点，点为抛物线顶点，对称轴与轴交于点，连接、．
    求抛物线的解析式；
    点是下方异于点的抛物线上一动点，若，求此时点的坐标；
    点是抛物线上一动点，点是平面上一点，若以点、、、为顶点的四边形为矩形，直接写出满足条件的点的横坐标．
    
    
    
    
    
    
     

如图，把一个含角的直角三角板和一个正方形摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点重合，点、分别在正方形的边、上，连，取的中点，的中点，连接、．

请判断与之间的数量关系，直接写出结论；
将图中的直角三角板绕点顺时针旋转得到图，其他条件不变，则中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
连接，若，，将图中的直角三角板绕点在平面内自由旋转，其他条件不变，请直接写出面积的最大值和最小值．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：数字的倒数为：．
故选：．
根据倒数：乘积是的两数互为倒数，即可得出答案．
此题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】
 

【解析】解：、与不是同类项，不能合并，错误；
B、，错误；
C、与不是同类项，不能合并，错误；
D、，正确；
故选：．
依据同底数幂的乘法、幂的乘方与合并同类项法则即可判断．
本题主要考查的是同底数幂的乘法、幂的乘方与合并同类项法则，掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与合并同类项法则是解题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后和原图形重合．
 

5.【答案】
 

【解析】解：由题意，得
，
故选：．
根据不等式解集的表示方法，可得答案．
本条查了不等式的解集，每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查众数、中位数、算术平均数，属于基础题．
根据一组数据，，，，的平均数为，可以求得的值，从而可以将这组数据按照从小到大排列起来，从而可以求得这组数据的众数和中位数．
【解答】
解：一组数据，，，，的平均数为，
，
解得，，
这组数据按照从小到大排列是：，，，，，
这组数据的众数是，中位数是，
故选：．  

7.【答案】
 

【解析】解：，
，
在中，，
，
．
故选：．
利用垂径定理得到，然后根据含度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的长．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
 

8.【答案】
 

【解析】解：设乙工人每小时搬运件电子产品，则甲每小时搬运件电子产品，
依题意得：
故选：．
设乙工人每小时搬运件电子产品，则甲每小时搬运件电子产品，根据甲的工效乙的工效，列出方程．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题的等量关系是甲工人做个零件所需要的时间和乙工人做个零件所需要的时间相同．
 

9.【答案】
 

【解析】解：根据题中的新定义化简得：，
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故选：．
已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解．
此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：四边形是矩形，
，
将沿折叠得到，
，，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形为正方形；故正确；
过作于，

点，点，
，，
，，
，
，
的面积为，故正确；
连接，
则，
即当时，取最小值，
，，
，
，
即的最小值为；故正确；
，
，
，
，
，，三点共线，
，
，
，
，
，
，
，
，故正确；
即结论正确的有个，
故选：．
由矩形的性质得到，根据折叠的性质得到，，，推出四边形是矩形，根据正方形的判定定理即可得到四边形为正方形；故正确；
过作于，得到，，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到的面积为，故正确；
连接，于是得到，即当时，取最小值，根据勾股定理得到的最小值为；故正确；
根据已知条件推出，，三点共线，根据平行线的性质得到，等量代换得到，求得，根据勾股定理得到，故正确．
本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式利用算术平方根定义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果．
此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：多边形的外角和是度，多边形的内角和是外角和的倍，
则内角和是度，
，
这个多边形是六边形．
故答案为：．
利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：设平均每次降价的百分率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
故答案为：．
设平均每次降价的百分率为，根据该楼盘的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：由题意得，，，
，
，
．
故答案为：．
首先根据两直线平行，内错角相等得到，再利用角的和差可得答案．
本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等得到是解题关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：为等边三角形，且点的坐标是，
点的坐标为，
反比例函数的图象经过点，
．
故答案为：．
根据等边三角形的性质结合点的坐标即可得出点的坐标，再由点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出值，此题得解．
本题考查了等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，根据等边三角形的性质求出点的坐标是解题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：如图所示，根据等腰直角三角形性质可得，
，，，，
以此类推，则，
的半径为，的半径为，的半径为，
以此类推，的半径为，
是以半径为的圆，

故答案为：
根据等腰直角三角形性质，，可得，，，，可以此类推，则，由分别以，，的中点，，为圆心，可得
的半径为，的半径为，的半径为，可以此类推，的半径为，再根据是以半径为的圆，即可得出答案．
本题主要考查了弧长的计算，规律型问题及一次函数图像上坐标的特征，熟练掌握弧长的计算，及一次函数图象上坐标的特征，找出问题的规律进行计算是解决本题的关键．
 

18.【答案】解：原式

，
当时，
原式．
 

【解析】先根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

19.【答案】解：如图所示：

过点作于．
平分，，，
，
：：，，
．
．
点到的距离为．
 

【解析】是基本作图，利用直尺和圆规即可作出；
过点作于根据：：，，可得，进而即可求点到边的距离．
本题考查了作图基本作图，解决本题的关键是掌握角平分线性质和点到直线的距离．
 

20.【答案】解：根据题意可知：四边形和是矩形，米，
米，，
设，
在中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
解得：，
米，
答：体温监测有效识别区域的长为米．
 

【解析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，熟练掌握以上知识是解答此题的关键．
 

21.【答案】   
 

【解析】解：参加问卷调查的学生人数是人，
扇形统计图中“”对应扇形的圆心角的大小为，
活动人数所占百分比为，
活动的人数所占百分比为，
估计全体名学生中最喜欢活动的人数约为人，
故答案为：，，；
画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中恰好甲和丁同学被选到的结果数为，
恰好甲和丁同学被选到的概率为．
由活动人数及其所占百分比可得总人数，用乘以活动人数所占比例即可得出其对应圆心角度数，求出活动人数所占百分比后，再乘以总人数即可；
画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法列举出所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率，也考查了统计图．
 

22.【答案】解：设型女装的单价是元，型女装的单价是元，
依题意得：，
解得．
答：型女装的单价是元，型女装的单价是元；

设购进型女装件，则购进型女装件，
根据题意，得，
，
设购买、两种型号的女装的总费用为元，
，
，
随的增大而增大，
当时，．
答：该专卖店至少需要准备元的贷款．
 

【解析】设型女装的单价是元，型女装的单价是元．根据“件型女装和件型女装共需元；件型女装和件型女装共需元”列出方程组并解答；
设购进型女装件，则购进型女装件，依据“型的件数不少于型件数的倍”求得的取值范围，然后根据购买方案求得需要准备的总费用．
考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
 

23.【答案】证明：连接，
，
，
，
，
，
，

，
，
是的切线；
解：，，
∽，
，即，
解得：，
，
，
，
阴影部分的面积．
 

【解析】连接，根据垂直的定义得到，进而证明，根据切线的判定定理证明结论；
证明∽，根据相似三角形的性质求出圆的半径，根据余弦的定义求出，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是切线的判定、相似三角形的判定和性质、扇形面积计算，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、扇形面积公式是解题的关键．
 

24.【答案】解：由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为；

在轴上取点，使，过点作的平行线交抛物线于点，则点为所求点，

理由：点、和直线的间隔相同，则到的距离相同，故，
设直线、的表达式为，则，解得，
故直线的表达式为，
，故设的表达式为，
将点的坐标代入上式并解得，
故直线的表达式为，
联立并解得不合题意的值已舍去，
故点的坐标为；

设点的坐标为，，点的坐标为，
当是边时，
点向右平移个单位向上平移个单位得到点，
同样向右平移个单位向上平移个单位得到点，且，
或，
联立并解得舍去或；
联立并解得舍去或，
故或；
当是对角线时，
由中点公式和得：，
联立并解得，
综上，点的横坐标为或或．
 

【解析】用待定系数法即可求解；
在轴上取点，使，过点作的平行线交抛物线于点，则点为所求点，进而求解；
分是边、是对角线两种情况，利用图形平移、中点公式和矩形的性质，分别求解即可．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
 

25.【答案】解：，证明如下：
如图，连接，

四边形是正方形，
，，
，
，
≌，
，
为的中位线，
，
；
仍然成立，证明如下：
如图，连接，

四边形是正方形，
，
，
，
，
即，
≌，
，
，分别为，的中点，
，，
，
；
解：如图，连接，，设交于，交于，

，
，
，，
，
，
，
，
四边形是正方形，，
，
，
，
由题意可知，，
即，
当时，最小值，
当时，最大值，
面积的最大值和最小值分别为：，．
 

【解析】连接，利用证明≌，得，再根据直角三角形斜边上中线的性质和三角形中位线定理可得答案；
连接，由同理可证明结论；
连接，设交于，交于，首先证明是等腰直角三角形，可得，再根据三角形三边关系知，从而解决问题．
本题四边形综合题，主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形三边关系等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键．