山东省菏泽市2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题（B）

山东省菏泽市2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题（B）

第I卷（选择题）

1．数轴上点A，B分别对应，则向量的长度是（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

2．若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是

A．（–∞，1） B．（–∞，–1）

C．（1，+∞） D．（–1，+∞）

3．已知向量，，则（       ）

A． B． C． D．

4．已知复数（i为虚数单位），若z是关于x的方程的一个虚根，则实数m＝（       ）

A．2 B．－2 C．1 D．－1

5．已知，，与的夹角为，那么（       ）

A．4 B．3 C．2 D．

6．在△ABC中，，AC=4，BC=3，则（       ）

A． B． C．1 D．

7．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从阳，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是，其中a，b，c是的内角A，B，C的对边，若，且，则面积S的最大值为（       ）

A． B． C． D．

8．设向量满足，，，则的最大值等于

A．4 B．2 C． D．1

9．设点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，则下列结论正确的是（       ）

A． B． C． D．与共线

10．已知正方形ABCD的边长为1，向量，满足，，则（       ）

A． B．

C． D．

11．已知向量，将绕原点O旋转到，，的位置，则（       ）

A． B．

C． D．点坐标为

12．在中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3，若CB＝2CD，，则（       ）

A． B．△DBC的面积为3

C．的周长为 D．为钝角三角形

第II卷（非选择题）

13．已知A、B、C是不共线的三点，向量与向量是平行向量，与是共线向量，则＝________.

14．是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为___________.

15．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心Q在线段CD（含端点）上运动，P是圆Q上及其内部的动点，设向量（m，n为实数），则m＋n的最大值为______．

16．在中，内角所对的边分别是.若，，则______，面积的最大值为______．

17．已知复数满足，为纯虚数．

(1)求复数z；

(2)设z，，在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．

18．已知向量，．

(1)若，求向量与夹角的余弦值；

(2)若，求向量的坐标．

19．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，．

(1)若A，B，C三点共线，求 t 的值；

(2)若为直角三角形，求 t 的值．

20．的内角的对边分别为，满足.

（1）求角；

（2）若的面积为，，求的周长.

21．如图所示，在△ABO中，，，AD与BC交于点M．设，．

(1)试用向量，表示；

(2)在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M，设，，其中，．证明：为定值，并求出该定值．

22．如图，在中，，是角的平分线，且．

（1）若，求实数的取值范围．

（2）若，时，求的面积的最大值及此时的值．

参考答案：

1．C

【解析】

【分析】

根据数轴上的点的位置，直接计算长度，即可得解.

【详解】

数轴上点A，B分别对应，

则向量的长度即.

故选：C．

2．B

【解析】

【详解】

试题分析：设，因为复数对应的点在第二象限，所以，解得：，故选B.

【考点】复数的运算

【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.

3．B

【解析】

【分析】

利用向量的坐标运算即得.

【详解】

因为向量，，

所以.

故选：B.

4．A

【解析】

【分析】

将代入到，根据复数相等的条件可得结果.

【详解】

依题意可得，即，

所以.

故选：A.

5．D

【解析】

【分析】

转化为平面向量的数量积进行求解即可.

【详解】

.

故选：D.

6．B

【解析】

【分析】

利用余弦定理求出边AB，再利用正弦定理计算作答.

【详解】

在中，，

而，由正弦定理得：，

所以.

故选：B

7．B

【解析】

【分析】

根据正弦定理和余弦定理得到，代入面积公式并根据基本不等式可求出结果.

【详解】

由得，得，

所以

，当且仅当，时，等号成立.

故选：B

8．A

【解析】

【详解】

因为，，所以,.

如图所以，设，则,,.

所以，所以，所以四点共圆.

不妨设为圆M，因为,所以.

所以,由正弦定理可得的外接圆即圆M的直径为.

所以当为圆M的直径时，取得最大值4.

故选A.

点睛:平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．

9．AD

【解析】

【分析】

根据给定条件，利用共线向量、相等向量的意义逐项判断作答.

【详解】

因点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，则O是AC中点，即有，A正确；

平行四边形对角线长不一定相等，则与不一定相等，B不正确；

点A，O，B不共线，C不正确；

平行四边形ABCD中，，即有与共线，D正确.

故选：AD

10．BCD

【解析】

【分析】

由题可得，进而可知，然后逐项分析即得.

【详解】

∵，，

∴，又正方形ABCD的边长为1，

∴，故A错误；

∴，，即，故BC正确；

∴，即，故D正确.

故选：BCD.

11．ABC

【解析】

【分析】

根据向量的夹角判断A，再由全等三角形可判断B，根据向量的数量积的定义判断C，根据向量的模相等判断D.

【详解】

因为绕原点O旋转到，

所以与的夹角为，故，A选项正确；

由题意知，，所以，即，故B正确；

因为,,

所以由数量积的定义知，故C正确；

若点坐标为，则，故D不正确.

故选：ABC.

12．ABD

【解析】

【分析】

由同角的三角函数关系即可判断A，设，利用余弦定理及面积公式即可判断B，利用余弦定理求得，进而判断C，利用余弦定理可判断D.

【详解】

因为，所以，故A正确；

设，则，

在中，，解得，

所以，故B正确；

因为，

所以,

在中,，解得，

所以的周长为，故C错误；

因为为最大边，所以，即为钝角，

所以为钝角三角形，故D正确.

故选：ABD.

13．

【解析】

【分析】

依据向量共线的定义及零向量定义即可求得向量.

【详解】

向量与向量是平行向量，则向量与向量方向相同或相反；

向量与是共线向量，则向量与向量方向相同或相反，

又由A、B、C是不共线的三点，可知向量与向量方向不同且不共线

则＝.

故答案为：

14．

【解析】

【分析】

先由题意，得到，推出，再由，根据向量的数量积运算，结合题中条件，直接计算，即可得出结果.

【详解】

因为，点、分别是边、的中点，

所以，

因此，

又，是边长为的等边三角形，

所以

.

故答案为：

15．5

【解析】

【分析】

根据及得到，根据平面向量知识得到，利用可求出结果.

【详解】

在边长为的正六边形中，，，

所以，当且仅当与重合时，等号成立，

又，即，当时，是的延长线与圆的交点，此时，由可知，.

因为，且，

所以

 ，

所以，

结合图形可知，，由，得，即，即，当且仅当时等号成立，

所以，

所以，又，时，等号成立，

所以，当且仅当时，等号成立.

即m＋n的最大值为.

故答案为：.

16．     1    

【解析】

【分析】

由正弦定理，结合，，可求出；由三角形面积公式以及角的范围，即可求出面积的最大值.

【详解】

因为，所以由正弦定理可得，所以;

所以，当，即时，三角形面积最大.

故答案为：；

【点睛】

本题主要考查解三角形的问题，熟记正弦定理以及三角形面积公式即可求解.

17．(1)或；

(2)1.

【解析】

【分析】

（1）由复数模的意义、纯虚数的意义列式计算作答.

（2）利用（1）的结论，求出点A，B，C的坐标，求出三角形面积作答.

(1)

设（a，），则，

依题意，且，而，解得a=1，b=-1或a=-1，b=1，

所以或.

(2)

当时，，，则，，，

，点B到边AC距离为1，则，

当时，，，则，，，

，点B到边AC距离为1，，

所以△ABC的面积是1.

18．(1)；

(2)或.

【解析】

【分析】

（1）利用向量数量积的运算律及夹角公式即得；

（2）利用向量数量积的坐标表示及向量模长的坐标表示即得.

(1)

由题意，

因为，

所以，

因为，

∴，

即向量与夹角的余弦值为．

(2)

设向量，

因为向量，

所以，得，

因为，所以，

所以得或

所以或．

19．(1)；

(2)，，.

【解析】

【分析】

（1）利用向量共线的坐标表示即得；

（2）利用向量垂直的坐标表示即得.

(1)

由题设知，，

因为若A，B，C三点共线，

所以，

解得；

(2)

由题设知，，，则

因为为直角三角形，

当∠A为直角，则，得，得，

当∠B为直角，则，得，得，

当∠C为直角，则，得，得；

所以 t 的值为，，．

20．（1）；（2）.

【解析】

（1）通过正弦定理将边化为角可得，进而可得结果；

（2）由三角形面积公式易得，结合余弦定理可得，进而得周长.

【详解】

解：（1）由正弦定理可得，·

，

在中，，.

又，.

（2）..

由余弦定理可得.

，.

的周长为.

21．(1)；

(2)证明见解析，定值为5.

【解析】

【分析】

（1）设，由、、三点共线以及、、三点共线可得出关于与的方程组，解出这两个未知数，即可得出关于、的表达式；

（2）设，利用向量的减法运算可得出，结合可建立等式，即得.

(1)

设，

由A，M，D三点共线，可知存在（，且），使得，

则，

因为，所以，

由平面向量基本定理得，即，①

同理，由B，M，C三点共线，可知存在（，且），使得，

则，

又，所以，

由平面向量基本定理得 即，②

由①②得，，

故；

(2)

由于E，M，F三点共线，则存在实数（，且）使得，即，

于是，

又，，

所以，

由平面向量基本定理得，消去，

得，

故为定值，该定值为5.

22．（1）；（2）当时，的面积取最大值.

【解析】

【分析】

（1）设，则，利用可得出，由此可求得的取值范围；

（2）由三角形的面积公式可得，利用余弦定理化简可得，可得出，利用辅助角公式可得出，结合函数单调性可求得的最大值及其对应的，即可得出结论.

【详解】

（1）设，则，其中，

由，可得，

所以，，

即，所以，；

（2），可得，

由余弦定理可得，

所以，，所以，，

可得，

所以，，

，则，

由于函数在时单调递增，

所以，随着的增大而减小，则当时，，

此时，，由，可得，

所以，，则.

【点睛】

方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：

（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；

（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；

（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；

（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.