2021-2022学年湖南师大附中教育集团七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2021-2022学年湖南师大附中教育集团七年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖南师大附中教育集团七年级（下）期中数学试卷副标题题号一二三总分得分      一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）下列各图中，与是对顶角的是A.  B.  C.  D. 如图，点到直线的距离是线段的长．A.
B.
C.
D. 的平方根是A.  B. 和 C.  D. 和有下列说法：无理数是无限小数，无限小数是无理数；无理数包括正无理数、和负无理数；带根号的数都是无理数；无理数是含有根号且被开方数不能被开尽的数；是一个分数．其中正确的有A. 个 B. 个 C. 个 D. 个以下点在第二象限的是A.  B.  C.  D. 下列语句中是真命题的是A. 对顶角相等吗？ B. 内错角相等
C. 直角都是 D. 等角的补角互余下列说法中，正确的个数有
过一点有无数条直线与已知直线平行
如果，，那么
在同一平面内，两条不重合的线段，如果它们不相交，那么就平行
在同一平面内，两条不重合的直线，如果它们不相交，那么就平行A. 个 B. 个 C. 个 D. 个如图所示，下列推理不正确的是A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
 若是某二元一次方程的解，则这个方程为A.  B.  C.  D. 小李在某电商平台上选择了甲，乙，丙三种商品，当购物车内选件甲，件乙，件丙时显示价格为元；当选件甲，件乙，件丙时显示价格为元，那么购买甲，乙，丙各一件时显示价格为A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）如图，已知，，则的度数是______
如图，直线分别与直线、相交于点、，平分交直线于点，若，则的度数是______．
  已知，，，则______．已知，为实数，且，则的算术平方根是______．九章算术中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图，图所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数项．把图表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来就是，类似地，图所示的算筹图可以表述为______．
如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上，向右，向下、向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点、、、，那么点的坐标为______．
 三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）计算：
；
．






 解方程组：
；
．






 完成下面的证明．
如图，和相交于点，，，，求证：．
证明：，
又______
______ ______
______
______ ______

______ ______
______






 月份，甲、乙两个工厂用水量共为吨．进入夏季用水高峰期后，两工厂积极响应国家号召，采取节水措施．月份，甲工厂用水量比月份减少了，乙工厂用水量比月份减少了，两个工厂月份用水量共为吨，求两个工厂月份的用水量各是多少？






 如图，平面直角坐标系中，已知点，，，是的边上任意一点，经过平移后得到，点的对应点为．

直接写出点，，的坐标．
在图中画出．
连接，，，求的面积．
连接，若点在轴上，且三角形的面积为，请直接写出点的坐标．






 如图，杭州某化工厂与，两地有公路，铁路相连．这家工厂从地购买一批每吨元的原料运回工厂，制成每吨元的产品运到地．已知公路运价为元吨千米，铁路运价为元吨千米，且这两次运输共支出公路运输费元，铁路运输费元，求：


该工厂从地购买了多少吨原料？制成运往地的产品多少吨？这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？






 阅读材料并回答下列问题：
当，都是实数，且满足，就称点为“爱心点”．
判断点，哪个点为“爱心点”，并说明理由；
若点也是“爱心点”，请求出的值；
已知，为有理数，且关于，的方程组解为坐标的点是“爱心点”，求，的值．






 问题情境
我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．
已知三角板中，，，，长方形中，．
问题初探
如图，若将三角板的顶点放在长方形的边上，与相交于点，于点，求的度数．
分析：过点作则有，从而得，，从而可以求得的度数．
由分析得，请你直接写出：的度数为______，的度数为______．
类比再探
若将三角板按图所示方式摆放与不垂直，请你猜想写与的数量关系，并说明理由．
请你总结，解决问题的思路，在图中探究与的数量关系？并说明理由．








答案和解析 1.【答案】
 【解析】解：、与不是对顶角，不符合题意；
B、与是对顶角，符合题意；
C、与不是对顶角，不符合题意；
D、与不是对顶角，不符合题意；
故选：．
根据对顶角的概念判断即可．
本题考查的是对顶角、邻补角，正确认识对顶角是解题的关键．
 2.【答案】
 【解析】解：点到直线的距离是线段的长．
故选：．
利用点到直线的距离定义可得答案．
此题主要考查了点到直线的距离，关键是掌握点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．
 3.【答案】
 【解析】解：的平方根是．
故选：．
根据正数的平方根有两个，且互为相反数即可解答．
此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
 4.【答案】
 【解析】解：无限不循环小数是无理数，
错误．
是有理数，
错误．
是有理数，
错误．
也是无理数，不含根号，
错误．
是一个无理数，不是分数，
错误．
故选：．
根据实数的分类判断．
本题考查实数的概念，掌握无理数是无限不循环小数是求解本题的关键．
 5.【答案】
 【解析】解：在坐标原点，故本选项不符合题意；
B.在第四象限，故本选项不符合题意；
C.在第二象限，故本选项符合题意；
D.在第三象限，故本选项不符合题意；
故选：．
根据点的横、纵坐标的符号可得所在象限．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 6.【答案】
 【解析】解：、对顶角相等吗？不是命题，不符合题意；
B、两直线平行，内错角相等，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、直角都是，是真命题，本选项符合题意；
D、等角的补角相等，故本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：．
根据命题的概念、平行线的性质、补角的概念判断即可．
本题考查的是命题的真假判断、命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 7.【答案】
 【解析】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误，不符合题意；
若，，那么，故说法正确，符合题意；
在同一平面内，两条不重合的直线，如果它们不相交，那么就平行，
故说法错误，不符合题意；
在同一平面内，两条不重合的直线，如果它们不相交，那么就平行，
故说法正确，符合题意；
故选：．
根据平行线的判定与性质、平行公理及推论求解判断即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
 8.【答案】
 【解析】解：，
，
故A正确，不符合题意；
由，不能推出，
故B不正确，符合题意；
，
，
故C正确，不符合题意；
，
，
故D正确，不符合题意；
故选：．
根据平行线的判定与性质求解判断即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
 9.【答案】
 【解析】解：、当，时，，故不是方程的解，不符合题意；
B、当，时，，故不是方程的解，不符合题意；
C、当，时，，故不是方程的解，不符合题意；
D、当时，方程都成立，故是方程的解，故符合题意；
故选：．
把两组解分别代入四个选项中的方程，进行验证即可．
本题主要考查方程解的概念，掌握方程的解使方程左右两边相等是解题的关键．
 10.【答案】
 【解析】解：设件甲商品元，件乙商品元，件丙商品元，
由题意得：，
得：，
，
故选：．
设件甲商品元，件乙商品元，件丙商品元，由题意得：，得：，进而得出，即可得出答案．
本题考查了三元一次方程组的应用，正确列出方程组并求出是解决问题的关键．
 11.【答案】
 【解析】解：如图，

，
，
，
又，
，
故答案为：．
由“内错角相等，两直线平行”推知，则根据“两直线平行，同位角相等”得到．
本题考查了平行线的判定与性质．解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
 12.【答案】
 【解析】解：，
，
，
平分，
，
．
故答案为：．
利用角平分线的性质先求出，再利用平行线的判定和性质得到的度数．
本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的性质，题目难度不大，掌握平行线的判定和性质是解决本题的关键．
 13.【答案】
 【解析】解：，
．
故答案为：．
根据立方根的性质即可求解．
本题考查了立方根，关键是熟练掌握立方根的性质．
 14.【答案】
 【解析】解：，
，，
解得：，，
故，
则的算术平方根是．
故答案为：．
直接利用算术平方根以及偶次方的性质得出，的值，进而代入得出答案．
此题主要考查了算术平方根以及偶次方的性质，正确得出，的值是解题关键．
 15.【答案】
 【解析】解：依题意得：．
故答案为：．
观察图，根据图中各行的算筹数，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，观察图形，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 16.【答案】
 【解析】解：点、、、、、、、、、，
点为自然数的坐标为，
点的坐标为．
故答案为：．
观察图形结合点的坐标的变化，可得出点为自然数的坐标为，依此规律即可得出结论．
本题考查了规律型中点的坐标，根据点的坐标的变化，找出变化规律是解题的关键．
 17.【答案】解：


；


．
 【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
先化简绝对值，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 18.【答案】解：，
得：
，
得：
，
解得：，
把代入得：
，
解得：，
原方程组的解为：；
将原方程化简整理得：
，
得：
，
得：
，
解得：，
把代入得：
，
解得：，
原方程组的解为：．
 【解析】利用加减消元法，进行计算即可解答；
先将原方程进行化简整理，然后再利用加减消元法进行计算即可解答．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键．
 19.【答案】对顶角相等    等量代换  内错角相等，两直线平行    两直线平行，内错角相等    两直线平行，同位角相等  等量代换
 【解析】证明：，
又对顶角相等
等量代换
内错角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等

两直线平行，同位角相等
等量代换
故答案是：对顶角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；等量代换．
由对顶角相等和已知条件可以推知内错角相等：则由内错角相等，两直线平行得到；根据该平行线的性质和已知平行线的性质推知，由等量代换证得结论．
本题考查了平行线的判定与性质．解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
 20.【答案】解：设甲工厂月份的用水量是吨，乙工厂月份的用水量是吨，
依题意，得：，
解得：．
答：甲工厂月份的用水量是吨，乙工厂月份的用水量是吨．
 【解析】设甲工厂月份的用水量是吨，乙工厂月份的用水量是吨，根据甲乙两个工厂月份及月份的用水量，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 21.【答案】解：，，；
如图，为所作；

的面积
，
，
；
设，
，，
，
三角形的面积为，
，解得或，
点的坐标为或．
 【解析】利用点和的坐标特征得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出点，，的坐标；
利用点，，的坐标描点即可；
用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积；
设，利用三角形面积公式得到，然后解方程求出得到点的坐标．
本题考查了作图平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
 22.【答案】解：设该工厂从地购买了吨原料，制成运往地的产品吨，
依题意，得：
解得：．
答：该工厂从地购买了吨原料，制成运往地的产品吨．
元．
答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多元
 【解析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设该工厂从地购买了吨原料，制成运往地的产品吨，由这两次运输共支出公路运输费元、铁路运输费元，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
由总价单价数量结合多的费用销售总额原料费运输费，即可求出结论．
 23.【答案】解：点是爱心点，点不是爱心点，理由如下：
，
，
，
点是爱心点；
，
，
，
点不是爱心点；
点为爱心点，
，
，
又，
，
解得，
，即；
解方程组得，
又点是爱心点满足：，
，
，
，
整理得：，
，是有理数，
，，
，．
 【解析】根据“爱心点”的定义，列出方程组计算即可求解；
根据“爱心点”的定义，可得方程组，先求得，再求得，进一步得到的值；
解方程组用和表示和，代入，得到关于和的等式，再根据，为有理数，求出，的值．
本题主要考查了解二元一次方程组，考查了阅读理解能力及迁移运用能力，根据爱心点的定义列出方程组是解题的关键．
 24.【答案】 
 【解析】解：由题可得，，
；
故答案为：，；
，理由：
证明：如图，

过作，则，
，，
，
，
；
，理由：
证明：如图，

过作，则，
，，
，
，
．
过点作，则，这样就将转化为，转化为，从而可以求得的度数；
过作，依据平行线的性质，即可得到内错角相等，进而得出；
过作，依据平行线的性质，即可得到内错角相等，进而得出．
本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质进行推算．