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2022年山东省聊城市中考数学模拟试卷1 (word版含答案)
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这是一份2022年山东省聊城市中考数学模拟试卷1 (word版含答案)，共25页。试卷主要包含了、单选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年山东省聊城市中考数学模拟试卷（一）
一 、单选题（本大题共12小题，共36分）
1.（3分）下列各数为负分数的是( )
A. −1 B. −12 C. 0 D. 3
2.（3分）2021年3月5日，李克强总理在政府工作报告中指出，我国脱贫攻坚成果举世瞩目，5575万农村贫困人口实现脱贫．5575万=55750000，用科学记数法将55750000表示为( )
A. 5575×104 B. 55.75×105
C. 5.575×107 D. 0.5575×108
3.（3分）如图所示的几何体，其左视图是( )
A. B.
C. D.
4.（3分）如图，AB//CD，∠A=30°，DA平分∠CDE，则∠DEB的度数为( )
A. 45° B. 60° C. 75° D. 80°
5.（3分）如图，将线段AB先绕原点O按逆时针方向旋转90°，再向下平移4个单位，得到线段A'B'，则点A的对应点A'的坐标是( )
A. (1,−6) B. (−1,6)
C. (1,−2) D. (−1,−2)
6.（3分）下列运算正确的是( )
A. 3a−4a=−1 B. −2a3⋅a2=−2a6
C. (−3a)3=−9a3 D. (a−b)(−a−b)=b2−a2
7.（3分）下列命题：①4的算术平方根是2；②菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；②天气预报说明天的降水概率是95％，则明天一定会下雨；④若一个多边形的各内角都等于108°，则它是正五边形，其中真命题的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8.（3分）如图，在ΔABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论中不正确的是( )
A. BE=DE B. DE垂直平分线段AC
C. SΔEDCSΔABC=33 D. BD2=BC⋅BE
9.（3分）如图，在四边形纸片ABCD中，AD//BC，AB=10，∠B=60°，将纸片折叠，使点B落在AD边上的点G处，折痕为EF，若∠BFE=45°，则BF的长为( )
A. 5 B. 35 C. 53 D. 35
10.（3分）如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点A是EC⏜的中点，过点A画⊙O的切线，交BC的延长线于点D，连接EC.若∠ADB=58.5°，则∠ACE的度数为( )
A. 29.5° B. 31.5° C. 58.5° D. 63°
11.（3分）已知反比例函数y=bx的图象如图所示，则一次函数y=cx+a和二次函数y=ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
12.（3分）如图，平面图形ABD由直角边长为1的等腰直角ΔAOD和扇形BOD组成，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交DB⏜于点Q.设AP=x(0
A. B.
C. D.
二 、填空题（本大题共5小题，共15分）
13.（3分）分解因式：3a2+12a+12=______ .
14.（3分）计算：(8+12)×2=______.
15.（3分）在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同，摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，共摸球100次，其中有40次摸到黑球，估计袋中红球的个数是 ______.
16.（3分）车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间t(ℎ)与行驶的平均速度v(km/h)之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在2.5h内到达，则速度至少需要提高到 ______km/h.
17.（3分）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示.若∠α=30°，则对角线BD上的动点P到A，B，C三点距离之和的最小值是 ______ .
三 、解答题（本大题共8小题，共69分）
18.（7分）(1)计算：(x+2x+1x)÷x2−1x；
(2)解不等式组：{1−2x⩽3①3x−24<1②并写出它的整数解．
19.（8分）如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG=DE，分别连接AE，AG，FG.
(1)求证：ΔBCE≌ΔFDE；
(2)当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．
20.（8分）某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的45.销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．
(1)求两种品牌洗衣液的进价；
(2)若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？
21.（8分）为倡导绿色健康节约的生活方式，某社区开展“减少方便筷使用，共建节约型社区”活动．志愿者随机抽取了社区内50名居民，对其5月份方便筷使用数量进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表：
方便筷使用数量在5⩽x<15范围内的数据：
5，7，12，9，10，12，8，8，10，11，6，9，13，6，12，8，7.
不完整的统计图表：
方便筷使用数量统计表
组别
使用数量(双)
频数
A
0⩽x<5
14
B
5⩽x<10
C
10⩽x<15
D
15⩽x<20
a
E
x⩾20
10
合计
50
请结合以上信息回答下列问题：
(1)统计表中的a=______；
(2)统计图中E组对应扇形的圆心角为 ______度；
(3)C组数据的众数是 ______；调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是 ______；
(4)根据调查结果，请你估计该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数．
22.（8分）在一次测量物体高度的数学实践活动中，小明从一条笔直公路上选择三盏高度相同的路灯进行测量.如图，他先在点B处安置测倾器，于点A处测得路灯MN顶端的仰角为10°，再沿BN方向前进10米，到达点D处，于点C处测得路灯PQ顶端的仰角为27°.若测倾器的高度为1.2米，每相邻两根灯柱之间的距离相等，求路灯的高度(结果精确到0.1米).
(参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin27°=0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51)
23.（8分）已知点A为函数y=4x(x>0)图象上任意一点，连接OA并延长至点B，使AB=OA，过点B作BC//x轴交函数图象于点C，连接OC.
(1)如图1，若点A的坐标为(4,n)，求点C的坐标；
(2)如图2，过点A作AD⊥BC，垂足为D，求四边形OCDA的面积．
24.（10分）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB，垂足为点E.弦BF交CD于点G，点P在CD延长线上，且PF=PG.
(1)求证：PF为⊙O切线；
(2)若OB=10，BF=16，BE=8，求PF的长.
25.（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+m−12⋅x+m2(m>0)与x轴交于A(−1,0)，B(m,0)两点，与y轴交于点C，连接BC.
(1)若OC=2OA，求抛物线对应的函数表达式；
(2)在(1)的条件下，点P位于直线BC上方的抛物线上，当ΔPBC面积最大时，求点P的坐标；
(3)设直线y=12x+b与抛物线交于B，G两点，问是否存在点E(在抛物线上)，点F(在抛物线的对称轴上)，使得以B，G，E，F为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点E，F的坐标；若不存在，说明理由.
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】解：∵在正分数前面加负号的数叫做负分数，且分数属于有理数，
∴只有B选项符合题意，
故选：B.
在正分数前面加负号的数叫做负分数，根据负分数的定义即可判断．
此题主要考查负分数的概念，关键是要牢记负分数的定义．
2.【答案】C;
【解析】解：55750000=5.575×107，
故选：C.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1⩽|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值⩾10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．据此解答即可．
此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1⩽|a|<10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
3.【答案】A;
【解析】解：这个几何体的左视图为：
.
故选：A.
画出从左面看这个几何体所得到的图形即可．
此题主要考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是得出正确答案的前提．
4.【答案】B;
【解析】解：∵AB//CD，∠A=30°，
∴∠ADC=∠A=30°，∠CDE=∠DEB，
∵DA平分∠CDE，
∴∠CDE=2∠ADC=60°，
∴∠DEB=60°.
故选：B.
由平行线的性质得∠ADC=∠A=30°，再由角平分线得∠CDE=60°，再次利用平行线的性质可得∠DEB=∠CDE=60°.
此题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记并运用平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
5.【答案】D;
【解析】解：A点绕O点逆时针旋转90°，得到点A''(−1,2)，
A''向下平移4个单位，得到A'(−1,−2)，
故选：D.
先求出A点绕O点逆时针旋转90°后的坐标为(−1,2)，再求向下平移4个单位后的点的坐标即可．
此题主要考查坐标与图形变化，能够根据题意画出线段AB旋转、平移后的图形是解答该题的关键．
6.【答案】D;
【解析】解：A.3a−4a=−a，故错误；
B.−2a3⋅a2=−2a5，故错误；
C.(−3a)3=−27a3，故错误；
D.(a−b)(−a−b)=b2−a2，正确．
故选：D.
根据平方差公式、幂的乘方、合并同类项法则以及单项式乘以单项式的计算方法进行判断．
本题综合考查了平方差公式，幂的乘方与合并同类项，单项式乘单项式．此题属于基础题，难度一般．
7.【答案】C;
【解析】解：①4的算术平方根是2，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
②菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，正确，是真命题，符合题意；
②天气预报说明天的降水概率是95％，则明天下雨可能性很大，但确定是否一定下雨，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
④若一个多边形的各内角都等于108°，则它是正五边形，正确，是真命题，符合题意；
真命题有2个，
故选：C.
利用算术平方根的定义、菱形的对称性、概率的意义及多边形的内角和等知识分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解答该题的关键是了解算术平方根的定义、菱形的对称性、概率的意义及多边形的内角和等知识，难度不大．
8.【答案】C;
【解析】解：由题意可得∠ABC=90°，∠C=30°，AB=AD，AP为BD的垂直平分线，
∴BE=DE，
∴∠BAE=∠DAE=30°，
∴ΔAEC是等腰三角形，
∵AB=AD，AC=2AB，
∴点D为AC的中点，
∴DE垂直平分线段AC，
故选项A，B正确，不符合题意；
在ΔABC和ΔEDC中，∠C=∠C，∠ABC=∠EDC=90°，
∴ΔABC∽ΔEDC，
∴ABED=ACEC=BCDC，
∵BCAC=cos30°=32，DC=12AC，
∴BCDC=3，
∴SΔABCSΔEDC=(3)2=3，
∴SΔEDCSΔABC=13，故选项C错误，符合题意；
在ΔABD中，∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴ΔABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°，
∴∠DBE=∠BDE=30°，
在ΔBED和ΔBDC中，∠DBC=∠EBD=30°，∠BDE=∠C=30°，
∴ΔBED∽ΔBDC，
∴BEBD=BDBC，
∴BD2=BC⋅BE，故选项D正确，不符合题意．
故选：C.
由题意不难得到BE=DE，则有∠BAE=∠DAE=30°，可判断ΔAEC是等腰三角形，则不难判断A、B正确；易证ΔABC∽ΔEDC，则有ABED=ACEC=BCDC，再根据BCAC=cos30°=32，DC=12AC，从而得到BCDC=3，利用相似三角形的性质可判断C错误；易证得ΔABD是等边三角形，则有∠DBE=∠BDE=30°，可得ΔBED∽ΔBDC，根据相似三角形的性质可得到D正确．
此题主要考查相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形，解答的关键是对相似三角形的判定条件与性质的掌握与灵活运用．
9.【答案】C;
【解析】解：由折叠知：BF=GF，∠BFE=∠GFE，
∵∠BFE=45°，
∴∠BFG=90°，
过点A作AH⊥BC于H，
在RtΔABH中，AH=sin60°×AB=32×10=53，
∵AD//BC，
∴∠GAH=∠AHB=90°，
∴∠GAH=∠AHB=∠BFG=90°，
∴四边形AHFG是矩形，
∴FG=AH=53，
∴BF=GF=53.
故选：C.
由折叠知：BF=GF，∠BFE=∠GFE，得∠BFG=90°，过点A作AH⊥BC于H，在RtΔABH中，求出AH的长度，再证四边形AHFG是矩形，从而得出AH=GF，即可解决问题．
此题主要考查了翻折的性质，平行线的性质，矩形的判定与性质，特殊角的三角函数等知识，作辅助线构造直角三角形是解答该题的关键．
10.【答案】B;
【解析】解：∵AD是⊙O的切线，
∴BA⊥AD，
∵∠ADB=58.5°，
∴∠B=90°−∠ADB=31.5°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°−∠B=58.5°，
∵点A是EC⏜的中点，
∴BA⊥EC，
∴∠ACE=90°−∠BAC=31.5°，
故选：B.
根据切线的性质得到BA⊥AD，根据直角三角形的性质求出∠B，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，进而求出∠BAC，根据垂径定理得到BA⊥EC，进而得出答案．
此题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解答该题的关键．
11.【答案】D;
【解析】解：∵反比例函数的图象在二、四象限，
∴b<0，
A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，
∴a>0，b<0，c<0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，A错误；
B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a<0，b>0，
∴与b<0矛盾，B错误；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a<0，b>0，
∴与b<0矛盾，C错误；
D、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，
∴a<0，b<0，c<0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，D正确．
故选：D.
根据反比例函数的图象得出b<0，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
此题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解答该题的关键，同时考查了数形结合的思想．
12.【答案】D;
【解析】解：当Q在AD上时，即点P在AO上时，有0⩽x⩽1，
此时阴影部分为等腰直角三角形，
∴y=12.x.x=12x2，
该函数是二次函数，且开口向上，排除B，C选项；
当点Q在弧BD上时，补全图形如图所示，
阴影部分的面积等于等腰直角ΔAOD的面积加上扇形BOD的面积，再减去平面图形PBQ的面积即减去12弓形QBF的面积，
设∠QOB=θ，则∠QOF=2θ，
∴SΔAOD=12×1×1=12，S弓形QBF=θπr2180−SΔQOF，
当θ°=45°时，AP=x=1+22≈1.7，S弓形QBF=π4−12×2×22=π4−12，
y=12+π4−12(π4−12)=34+π8≈1.15，
当θ°=30°时，AP=x=1.86，S弓形QBF=π6−12×12×3=π6−34，
y=12+π4−12(π6−34)=12+38+π6≈1.45，
在A，D选项中分别找到这两个特殊值，对比发现，选项D符合题意．
故选：D.
根据点Q的位置，分点Q在AD上和点Q在弧BD上两种情况讨论，分别写出y和x的函数解析式，即可确定函数图象．
此题主要考查了二次函数的图象及性质，图形的面积等内容，选择题中利用特殊值解决问题是常见方法，构造图形表达出阴影部分面积是本题解题关键．
13.【答案】3（a+2）2;
【解析】解：原式=3(a2+4a+4)
=3(a+2)2.
故答案为：3(a+2)2.
直接提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
14.【答案】5;
【解析】解：原式=8×2+12×2
=4+1
=5.
故答案为5.
利用乘法的分配律和二次根式的乘法法则运算．
此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
15.【答案】6;
【解析】解：设袋中红球的个数是x个，根据题意得：
44+x=40100，
解得：x=6，
经检验：x=6是分式方程的解，
即估计袋中红球的个数是6个，
故答案为6.
估计利用频率估计概率可估计摸到黑球的概率为40100，然后根据概率公式构建方程求解即可．
此题主要考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．
16.【答案】240;
【解析】解：∵从甲地驶往乙地的路程为200×3=600(km)，
∴汽车行驶完全程所需的时间t(ℎ)与行驶的平均速度v(km/h)之间的关系式为t=600v，
当t=2.5h时，即2.5=600v，
∴v=240，
答：列车要在2.5h内到达，则速度至少需要提高到240km/h.
故答案为：240.
依据行程问题中的关系：时间=路程÷速度，即可得到汽车行驶完全程所需的时间t(ℎ)与行驶的平均速度v(km/h)之间的关系式，把t=2.5h代入即可得到答案．
此题主要考查了反比例函数的应用，找出等量关系是解决此题的关键．
17.【答案】62cm;
【解析】解：如图，作DE⊥BC于E，把ΔABP绕点B逆时针旋转60°得到ΔA'BP'，
∵∠α=30°，DE=3cm，
∴CD=2DE=6cm，
同理：BC=AD=6cm，
由旋转的性质，A'B=AB=CD=6m，BP'=BP，A'P'=AP，∠P'BP=60°，∠A'BA=60°，
∴ΔP'BP是等边三角形，
∴BP=PP'，
∴PA+PB+PC=A'P'+PP'+PC，
根据两点间线段距离最短，可知当PA+PB+PC=A'C时最短，连接A'C，与BD的交点即为P点，即点P到A，B，C三点距离之和的最小值是A'C.
∵∠ABC=∠DCE=∠α=30°，∠A'BA=60°，
∴∠A'BC=90°，
∴A'C=A'B2+BC2=62+62=62(cm)，
因此点P到A，B，C三点距离之和的最小值是62cm，
故答案为62cm.
作DE⊥BC于E，解直角三角形求得AB=BC=6cm，把ΔABP绕点B逆时针旋转60°得到ΔA'BP'，由旋转的性质，A'B=AB=6cm，BP'=BP，A'P'=AP，∠P'BP=60°，A'BA=60°，所以ΔP'BP是等边三角形，根据两点间线段距离最短，可知当PA+PB+PC=A'C时最短，连接A'C，利用勾股定理求出A'C的长度，即求得点P到A，B，C三点距离之和的最小值．
本题是四边形综合题，主要考查了旋转知识、三角形全等、特殊角直角三角形、等边三角形的性质和勾股定理，熟练掌握旋转知识构建全等三角形是解答该题的关键．
18.【答案】解：（1）（x+2x+1x）÷x2−1x
=x2+2x+1x÷x2−1x
=(x+1)2x×x(x−1)(x+1)
=x+1x−1；
（2）{1−2x≤3①3x−24<1②
解不等式①得：x≥-1，
解不等式②得：x＜2，
∴不等式组的解集为：-1≤x＜2，
∴不等式组的整数解为：-1，0，1．;
【解析】
(1)先进行分式的加法运算，再进行除法运算即可；
(2)先把不等式组的解集求出来，再写出符合条件的解即可．
本题主要考查分式的混合运算，解一元一次不等式组，解答的关键是对分式的混合运算的各种法则的掌握，对解不等式组的方法的掌握．
19.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DFE=∠CBE，
∵E为CD边的中点，
∴DE=CE，
在△BCE和△FDE中，
∠BEC=∠FED∠CBE=∠DFECE=DE，
∴△BCE≌△FDE（AAS）；
（2）解：四边形AEFG是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠AFB=∠FBC，
由（1）得：△BCE≌△FDE，
∴BC=FD，BE=FE，
∴FD=AD，
∵GD=DE，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∵BF平分∠ABC，
∴∠FBC=∠ABF，
∴∠AFB=∠ABF，
∴AF=AB，
∵BE=FE，
∴AE⊥FE，
∴∠AEF=90°，
∴平行四边形AEFG是矩形．;
【解析】
(1)由AAS证明ΔBCE≌ΔFDE即可；
(2)先证四边形AEFG是平行四边形，再证∠AEF=90°，即可得出结论．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明ΔBCE≌ΔFDE是解答该题的关键．
20.【答案】解：（1）设甲品牌洗衣液每瓶的进价是x元，则乙品牌洗衣液每瓶的进价是（x-6）元，
依题意得：1800x=1800x−6×45，
解得：x=30，
经检验，x=30是原方程的解，且符合题意，
∴x-6=24（元）．
答：甲品牌洗衣液每瓶的进价是30元，乙品牌洗衣液每瓶的进价是24元；
（2）设可以购买甲品牌洗衣液m瓶，则可以购买（120-m）瓶乙品牌洗衣液，
依题意得：30m+24（120-m）≤3120，
解得：m≤40．
依题意得：y=（36-30）m+（28-24）（120-m）=2m+480，
∵k=2＞0，
∴y随m的增大而增大，
∴m=40时，y取最大值，y最大值=2×40+480=560．
120-40=80（瓶），
答：超市应购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大，最大利润是560元．;
【解析】
(1)设甲品牌洗衣液每瓶的进价是x元，则乙品牌洗衣液每瓶的进价是(x−6)元，根据数量=总价÷单价，结合用1800元购进乙品牌洗衣液数量的45，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设可以购买m瓶乙品牌洗手液，则可以购买(100−m)瓶甲品牌洗手液，根据总价=单价×数量，结合总费用不超过1645元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】9 72 12 10;
【解析】解：(1)方便筷使用数量在5⩽x<15范围内的数据有17个，
∴a=50−14−17−10=9，
故答案为：9；
(2)360°×1050=72°，
故答案为：72；
(3)将方便筷使用数量在10⩽x<15范围内的数据按从小到大的顺序排列为10，10，11，12，12，12，13，
由上述数据可得C组数据的众数是12，
B组的频数是10，C组的频数为7，D组的频数为9，
∴第25，26个数均为10，
∴调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是10+102=10.
故答案为：12，10；
(4)2000×10+950=760(人)，
答：估计该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数为760人．
(1)由总组人数减去其他组人数即可求解；
(2)利用360°×E组所占的比例即可得E组对应扇形的圆心角度数；
(3)根据众数，中位数的定义求解即可；
(4)2000×5月份使用方便筷数量不少于15双的人数所占比例即可求解．
此题主要考查统计表、用样本估计总体以及扇形统计图，应结合统计表和扇形统计图，利用部分与总体之间的关系进行求解．
22.【答案】解：过点A作AF⊥MN于点F，交PQ于点E，
设CE=x，
在Rt△DPE中，PE=x•tan27°≈0.51x，
∵BD=10米，每相邻两根灯柱之间的距离相等，
∴AE=（x+10）米，AF=2（x+10）米，
在Rt△AMF中，MF=2（x+10）•tan10°≈0.36（x+10）米，
∵MF=PE，
∴0.51x=0.36（x+10），解得：x=24，
∴PE≈0.51×24=12.24（米），
∴PQ=PE+EQ=PE+AB=12.24+1.2=13.44≈13.4（米），
答：路灯的高度约为13.4米．;
【解析】
过点A作AF⊥MN于点F，交PQ于点E，设CE=x，利用三角函数解直角三角形可得PE、MF，根据PE=MF得到x的值，即可得PE的长度，PE加上测倾器的高度即可得路灯的高度．
此题主要考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角的三角函数概念是解题关键．
23.【答案】解：（1）将点A坐标代入到反比例函数y=4x中得，
4n=4，
∴n=1，
∴点A的坐标为（4，1），
∵AB=OA，O（0，0），
∴点B的坐标为（8，2），
∵BC∥x轴，
∴点C的纵坐标为2，
令y=2，则4x=2，
∴x=2，
∴点C的坐标为（2，2）；
（2）∵BC∥x轴，
∴BC⊥y轴，
又AD⊥BC，
∴AD∥y轴，
∴D的横坐标为4，
∵D在BC上，
∴D的纵坐标为2，
∴D（4，2），
∵S△OBC=12•BC•2=BC=8-2=6，
S△ADB=12BD•AD=12×4×1=2，
∴四边形OCDA的面积为：S△OBC-S△ADB=6-2=4．;
【解析】
(1)先由反比例函数解析式求出A点坐标，再由中点坐标公式求得B点坐标，由于BC//x轴，得到点B和点C的纵坐标相同，从而得到点C的纵坐标，再由反比例函数解析式求出点C的横坐标，即可解决；
(2)由于BC//y轴，点B和点C坐标(1)中已经求解，故可以得到BC的长度，进而求得ΔOBC的面积，由于AD⊥BC，可以证明AD//y轴，从而求得D点坐标，得到线段AD和BD的长度，进一步得到ΔADB的面积，ΔOBC与ΔADB的面积之差即为四边形OCDA的面积．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解决本题的关键．
24.【答案】
（1）证明：连接OF，
∵PF=PG，
∴∠PFG=∠PGF，
∵∠BGE=∠PGF，
∴∠PFG=∠BGE，
∵OF=OB，
∴∠OFB=∠OBF，
∵CD⊥AB，
∴∠BGE+∠OBF=90°，
∴∠PFG+∠OFB=90°，
∵OF是⊙O半径，
∴PF为⊙O切线；
（2）解：连接AF，过点P作PM⊥FG，垂足为M，
∵AB是⊙O直径，
∴∠AFB=90°，
∴AB2=AF2+BF2，
∵OB=10，
∴AB=20，
∵BF=16，
∴AF=12，
在Rt△ABF中，tanB=34，cosB=45，
在Rt△BEG中，GE8=34，8GB=45，
∴GE=6，GB=10，
∵BF=16，
∴FG=6，
∵PM⊥FG，PF=FG，
∴MG=12FG=3，
∵∠BGE=∠PFM，∠PMF=∠BEG=90°，
∴△PFM∽△BGE，
∴FMGE=PFGB，即36=PF10，
解得：PF=5，
∴PF的长为5．;
【解析】
(1)连接OF，由CD⊥AB，PF=PG，OF=OB得到∠PFG+∠OFB=90°，即可证明；
(2)连接AF，过点P作PM⊥FG，垂足为M，由OB=10，BF=16，求得AF的长度，继而利用三角函数求得tanB=34，cosB=45，求出GE，GB，再利用ΔPFM∽ΔBGE，即可求出PF的长．
此题主要考查了切线的判定方法，利用等角之间的转化，能够求得半径与直线的垂直是证明切线的关键，能够灵活应用三角函数和三角形相似是解决线段长度的关键．
25.【答案】解：（1）∵A的坐标为（-1，0），
∴OA=1，
∵OC=2OA，
∴OC=2，
∴C的坐标为（0，2），
将点C代入抛物线y=-12x2+m−12•x+m2（m＞0），
得m2=2，即m=4，
∴抛物线对应的函数表达式为y=-12x2+32x+2；
（2）如图，过P作PH∥y轴，交BC于H，
由（1）知，抛物线对应的函数表达式为y=-12x2+32x+2，m=4，
∴B、C坐标分别为B（4，0）、C（0，2），
设直线BC解析式为y=kx+n，
则n=24k+n=0，解得k=−12n=2，
∴直线BC的解析式为y=-12x+2，
设点P的坐标为（m，-12m2+32m+2）（0＜m＜4），则H（m，-12m+2），
∴PH=-12m2+32m+2-（-12m+2）=-12m2+2m=-12（m2-4m）=-12（m-2）2+2，
∵S△PBC=S△CPH+S△BPH，
∴S△PBC=12PH•|xB-xC|=12[-12（m-2）2+2]×4=-（m-2）2+4，
∴当m=2时，△PBC的面积最大，此时点P（2，3）；
（3）存在，理由如下：
∵直线y=12x+b与抛物线交于B（m，0），
∴直线BG的解析式为y=12x-12m①，
∵抛物线的表达式为y=-12x2+m−12•x+m2②，
联立①②解得，x=−2y=−12m−1或x=my=0，
∴G的坐标为（-2，-12m-1），
∵抛物线y=-12x2+m−12•x+m2的对称轴为直线x=m−12，
∴点F的横坐标为m−12，
设E的坐标为（t，-12t2+m−12•t+m2），
①若BG为边且E在x轴上方，如图，过点E作EH⊥x轴于H，
∵∠GBF=90°，
∴∠OBG=∠BFH，
∴tan∠OBG=tan∠BFH=HBEH=12，
∴m−t−12t2+m−12t+m2=12，
解得：t=3或m，
∴E的坐标为（3，2m-6），
由平移性质，
得：B的横坐标向左平移m+2个单位得到G的横坐标，
∵EF∥BG且EF=BG，
∴E横坐标向左平移m+2个单位，
得：到F的横坐标为3+m+3=m+5，
这与点F的横坐标为m−12矛盾，所以此种情况不存在，
②若BG为边且E在x轴下方，
同理可得，E的坐标为（3，2m-6），所以此种情况也不存在，
②若BG为对角线，
设BG的中点为M，
则M的坐标为（m−12，−14m−12），
∴M恰好在抛物线对称轴上，
∵F在抛物线对称轴上，
∴E必然在对称轴与抛物线的交点，即抛物线顶点，
将x=m−12代入抛物线得，
E的坐标为（m−12，(m+1)28），
∵∠BEG=90°，M为BG中点，
∴EM=12BG，
∴(m+1)28−(−14m−12)=12(−12m−1)2+(m+2)2，
解得：m=5或5−4，
∵m＞0，
∴m=5，
即E的坐标为（5−12，3−54），
∴M的坐标为（5−12，−54−12），
F的坐标为（5−12，−354−74），
综上，E的坐标为（5−12，3−54），F的坐标为（5−12，−354−74）．;
【解析】
(1)由OC=2OA，得C(0,2)，代入抛物线y=−12x2+m−12⋅x+m2(m>0)可得m=4，抛物线对应的函数表达式为y=−12x2+32x+2；
(2)过P作PH//y轴，交BC于H，根据y=−12x2+32x+2，m=4，求出B(4,0)，C(0,2)，从而直线BC的解析式为y=−12x+2，设点P的坐标为(m,−12m2+32m+2)(0
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法、利用二次函数求面积最大值、二次函数的图象与性质、锐角三角函数处理直线垂直、平移性质、矩形性质、直角三角形斜边中线，求出设BG的中点为M，发现M在抛物线对称轴上是本题关键、转折点．
2022年山东省聊城市中考数学模拟试卷（一）
一 、单选题（本大题共12小题，共36分）
1.（3分）下列各数为负分数的是( )
A. −1 B. −12 C. 0 D. 3
2.（3分）2021年3月5日，李克强总理在政府工作报告中指出，我国脱贫攻坚成果举世瞩目，5575万农村贫困人口实现脱贫．5575万=55750000，用科学记数法将55750000表示为( )
A. 5575×104 B. 55.75×105
C. 5.575×107 D. 0.5575×108
3.（3分）如图所示的几何体，其左视图是( )
A. B.
C. D.
4.（3分）如图，AB//CD，∠A=30°，DA平分∠CDE，则∠DEB的度数为( )
A. 45° B. 60° C. 75° D. 80°
5.（3分）如图，将线段AB先绕原点O按逆时针方向旋转90°，再向下平移4个单位，得到线段A'B'，则点A的对应点A'的坐标是( )
A. (1,−6) B. (−1,6)
C. (1,−2) D. (−1,−2)
6.（3分）下列运算正确的是( )
A. 3a−4a=−1 B. −2a3⋅a2=−2a6
C. (−3a)3=−9a3 D. (a−b)(−a−b)=b2−a2
7.（3分）下列命题：①4的算术平方根是2；②菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；②天气预报说明天的降水概率是95％，则明天一定会下雨；④若一个多边形的各内角都等于108°，则它是正五边形，其中真命题的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8.（3分）如图，在ΔABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论中不正确的是( )
A. BE=DE B. DE垂直平分线段AC
C. SΔEDCSΔABC=33 D. BD2=BC⋅BE
9.（3分）如图，在四边形纸片ABCD中，AD//BC，AB=10，∠B=60°，将纸片折叠，使点B落在AD边上的点G处，折痕为EF，若∠BFE=45°，则BF的长为( )
A. 5 B. 35 C. 53 D. 35
10.（3分）如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点A是EC⏜的中点，过点A画⊙O的切线，交BC的延长线于点D，连接EC.若∠ADB=58.5°，则∠ACE的度数为( )
A. 29.5° B. 31.5° C. 58.5° D. 63°
11.（3分）已知反比例函数y=bx的图象如图所示，则一次函数y=cx+a和二次函数y=ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
12.（3分）如图，平面图形ABD由直角边长为1的等腰直角ΔAOD和扇形BOD组成，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交DB⏜于点Q.设AP=x(0
A. B.
C. D.
二 、填空题（本大题共5小题，共15分）
13.（3分）分解因式：3a2+12a+12=______ .
14.（3分）计算：(8+12)×2=______.
15.（3分）在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同，摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，共摸球100次，其中有40次摸到黑球，估计袋中红球的个数是 ______.
16.（3分）车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间t(ℎ)与行驶的平均速度v(km/h)之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在2.5h内到达，则速度至少需要提高到 ______km/h.
17.（3分）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示.若∠α=30°，则对角线BD上的动点P到A，B，C三点距离之和的最小值是 ______ .
三 、解答题（本大题共8小题，共69分）
18.（7分）(1)计算：(x+2x+1x)÷x2−1x；
(2)解不等式组：{1−2x⩽3①3x−24<1②并写出它的整数解．
19.（8分）如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG=DE，分别连接AE，AG，FG.
(1)求证：ΔBCE≌ΔFDE；
(2)当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．
20.（8分）某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的45.销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．
(1)求两种品牌洗衣液的进价；
(2)若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？
21.（8分）为倡导绿色健康节约的生活方式，某社区开展“减少方便筷使用，共建节约型社区”活动．志愿者随机抽取了社区内50名居民，对其5月份方便筷使用数量进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表：
方便筷使用数量在5⩽x<15范围内的数据：
5，7，12，9，10，12，8，8，10，11，6，9，13，6，12，8，7.
不完整的统计图表：
方便筷使用数量统计表
组别
使用数量(双)
频数
A
0⩽x<5
14
B
5⩽x<10
C
10⩽x<15
D
15⩽x<20
a
E
x⩾20
10
合计
50
请结合以上信息回答下列问题：
(1)统计表中的a=______；
(2)统计图中E组对应扇形的圆心角为 ______度；
(3)C组数据的众数是 ______；调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是 ______；
(4)根据调查结果，请你估计该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数．
22.（8分）在一次测量物体高度的数学实践活动中，小明从一条笔直公路上选择三盏高度相同的路灯进行测量.如图，他先在点B处安置测倾器，于点A处测得路灯MN顶端的仰角为10°，再沿BN方向前进10米，到达点D处，于点C处测得路灯PQ顶端的仰角为27°.若测倾器的高度为1.2米，每相邻两根灯柱之间的距离相等，求路灯的高度(结果精确到0.1米).
(参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin27°=0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51)
23.（8分）已知点A为函数y=4x(x>0)图象上任意一点，连接OA并延长至点B，使AB=OA，过点B作BC//x轴交函数图象于点C，连接OC.
(1)如图1，若点A的坐标为(4,n)，求点C的坐标；
(2)如图2，过点A作AD⊥BC，垂足为D，求四边形OCDA的面积．
24.（10分）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB，垂足为点E.弦BF交CD于点G，点P在CD延长线上，且PF=PG.
(1)求证：PF为⊙O切线；
(2)若OB=10，BF=16，BE=8，求PF的长.
25.（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+m−12⋅x+m2(m>0)与x轴交于A(−1,0)，B(m,0)两点，与y轴交于点C，连接BC.
(1)若OC=2OA，求抛物线对应的函数表达式；
(2)在(1)的条件下，点P位于直线BC上方的抛物线上，当ΔPBC面积最大时，求点P的坐标；
(3)设直线y=12x+b与抛物线交于B，G两点，问是否存在点E(在抛物线上)，点F(在抛物线的对称轴上)，使得以B，G，E，F为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点E，F的坐标；若不存在，说明理由.
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】解：∵在正分数前面加负号的数叫做负分数，且分数属于有理数，
∴只有B选项符合题意，
故选：B.
在正分数前面加负号的数叫做负分数，根据负分数的定义即可判断．
此题主要考查负分数的概念，关键是要牢记负分数的定义．
2.【答案】C;
【解析】解：55750000=5.575×107，
故选：C.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1⩽|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值⩾10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．据此解答即可．
此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1⩽|a|<10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
3.【答案】A;
【解析】解：这个几何体的左视图为：
.
故选：A.
画出从左面看这个几何体所得到的图形即可．
此题主要考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是得出正确答案的前提．
4.【答案】B;
【解析】解：∵AB//CD，∠A=30°，
∴∠ADC=∠A=30°，∠CDE=∠DEB，
∵DA平分∠CDE，
∴∠CDE=2∠ADC=60°，
∴∠DEB=60°.
故选：B.
由平行线的性质得∠ADC=∠A=30°，再由角平分线得∠CDE=60°，再次利用平行线的性质可得∠DEB=∠CDE=60°.
此题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记并运用平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
5.【答案】D;
【解析】解：A点绕O点逆时针旋转90°，得到点A''(−1,2)，
A''向下平移4个单位，得到A'(−1,−2)，
故选：D.
先求出A点绕O点逆时针旋转90°后的坐标为(−1,2)，再求向下平移4个单位后的点的坐标即可．
此题主要考查坐标与图形变化，能够根据题意画出线段AB旋转、平移后的图形是解答该题的关键．
6.【答案】D;
【解析】解：A.3a−4a=−a，故错误；
B.−2a3⋅a2=−2a5，故错误；
C.(−3a)3=−27a3，故错误；
D.(a−b)(−a−b)=b2−a2，正确．
故选：D.
根据平方差公式、幂的乘方、合并同类项法则以及单项式乘以单项式的计算方法进行判断．
本题综合考查了平方差公式，幂的乘方与合并同类项，单项式乘单项式．此题属于基础题，难度一般．
7.【答案】C;
【解析】解：①4的算术平方根是2，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
②菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，正确，是真命题，符合题意；
②天气预报说明天的降水概率是95％，则明天下雨可能性很大，但确定是否一定下雨，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
④若一个多边形的各内角都等于108°，则它是正五边形，正确，是真命题，符合题意；
真命题有2个，
故选：C.
利用算术平方根的定义、菱形的对称性、概率的意义及多边形的内角和等知识分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解答该题的关键是了解算术平方根的定义、菱形的对称性、概率的意义及多边形的内角和等知识，难度不大．
8.【答案】C;
【解析】解：由题意可得∠ABC=90°，∠C=30°，AB=AD，AP为BD的垂直平分线，
∴BE=DE，
∴∠BAE=∠DAE=30°，
∴ΔAEC是等腰三角形，
∵AB=AD，AC=2AB，
∴点D为AC的中点，
∴DE垂直平分线段AC，
故选项A，B正确，不符合题意；
在ΔABC和ΔEDC中，∠C=∠C，∠ABC=∠EDC=90°，
∴ΔABC∽ΔEDC，
∴ABED=ACEC=BCDC，
∵BCAC=cos30°=32，DC=12AC，
∴BCDC=3，
∴SΔABCSΔEDC=(3)2=3，
∴SΔEDCSΔABC=13，故选项C错误，符合题意；
在ΔABD中，∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴ΔABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°，
∴∠DBE=∠BDE=30°，
在ΔBED和ΔBDC中，∠DBC=∠EBD=30°，∠BDE=∠C=30°，
∴ΔBED∽ΔBDC，
∴BEBD=BDBC，
∴BD2=BC⋅BE，故选项D正确，不符合题意．
故选：C.
由题意不难得到BE=DE，则有∠BAE=∠DAE=30°，可判断ΔAEC是等腰三角形，则不难判断A、B正确；易证ΔABC∽ΔEDC，则有ABED=ACEC=BCDC，再根据BCAC=cos30°=32，DC=12AC，从而得到BCDC=3，利用相似三角形的性质可判断C错误；易证得ΔABD是等边三角形，则有∠DBE=∠BDE=30°，可得ΔBED∽ΔBDC，根据相似三角形的性质可得到D正确．
此题主要考查相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形，解答的关键是对相似三角形的判定条件与性质的掌握与灵活运用．
9.【答案】C;
【解析】解：由折叠知：BF=GF，∠BFE=∠GFE，
∵∠BFE=45°，
∴∠BFG=90°，
过点A作AH⊥BC于H，
在RtΔABH中，AH=sin60°×AB=32×10=53，
∵AD//BC，
∴∠GAH=∠AHB=90°，
∴∠GAH=∠AHB=∠BFG=90°，
∴四边形AHFG是矩形，
∴FG=AH=53，
∴BF=GF=53.
故选：C.
由折叠知：BF=GF，∠BFE=∠GFE，得∠BFG=90°，过点A作AH⊥BC于H，在RtΔABH中，求出AH的长度，再证四边形AHFG是矩形，从而得出AH=GF，即可解决问题．
此题主要考查了翻折的性质，平行线的性质，矩形的判定与性质，特殊角的三角函数等知识，作辅助线构造直角三角形是解答该题的关键．
10.【答案】B;
【解析】解：∵AD是⊙O的切线，
∴BA⊥AD，
∵∠ADB=58.5°，
∴∠B=90°−∠ADB=31.5°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°−∠B=58.5°，
∵点A是EC⏜的中点，
∴BA⊥EC，
∴∠ACE=90°−∠BAC=31.5°，
故选：B.
根据切线的性质得到BA⊥AD，根据直角三角形的性质求出∠B，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，进而求出∠BAC，根据垂径定理得到BA⊥EC，进而得出答案．
此题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解答该题的关键．
11.【答案】D;
【解析】解：∵反比例函数的图象在二、四象限，
∴b<0，
A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，
∴a>0，b<0，c<0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，A错误；
B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a<0，b>0，
∴与b<0矛盾，B错误；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a<0，b>0，
∴与b<0矛盾，C错误；
D、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，
∴a<0，b<0，c<0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，D正确．
故选：D.
根据反比例函数的图象得出b<0，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
此题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解答该题的关键，同时考查了数形结合的思想．
12.【答案】D;
【解析】解：当Q在AD上时，即点P在AO上时，有0⩽x⩽1，
此时阴影部分为等腰直角三角形，
∴y=12.x.x=12x2，
该函数是二次函数，且开口向上，排除B，C选项；
当点Q在弧BD上时，补全图形如图所示，
阴影部分的面积等于等腰直角ΔAOD的面积加上扇形BOD的面积，再减去平面图形PBQ的面积即减去12弓形QBF的面积，
设∠QOB=θ，则∠QOF=2θ，
∴SΔAOD=12×1×1=12，S弓形QBF=θπr2180−SΔQOF，
当θ°=45°时，AP=x=1+22≈1.7，S弓形QBF=π4−12×2×22=π4−12，
y=12+π4−12(π4−12)=34+π8≈1.15，
当θ°=30°时，AP=x=1.86，S弓形QBF=π6−12×12×3=π6−34，
y=12+π4−12(π6−34)=12+38+π6≈1.45，
在A，D选项中分别找到这两个特殊值，对比发现，选项D符合题意．
故选：D.
根据点Q的位置，分点Q在AD上和点Q在弧BD上两种情况讨论，分别写出y和x的函数解析式，即可确定函数图象．
此题主要考查了二次函数的图象及性质，图形的面积等内容，选择题中利用特殊值解决问题是常见方法，构造图形表达出阴影部分面积是本题解题关键．
13.【答案】3（a+2）2;
【解析】解：原式=3(a2+4a+4)
=3(a+2)2.
故答案为：3(a+2)2.
直接提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
14.【答案】5;
【解析】解：原式=8×2+12×2
=4+1
=5.
故答案为5.
利用乘法的分配律和二次根式的乘法法则运算．
此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
15.【答案】6;
【解析】解：设袋中红球的个数是x个，根据题意得：
44+x=40100，
解得：x=6，
经检验：x=6是分式方程的解，
即估计袋中红球的个数是6个，
故答案为6.
估计利用频率估计概率可估计摸到黑球的概率为40100，然后根据概率公式构建方程求解即可．
此题主要考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．
16.【答案】240;
【解析】解：∵从甲地驶往乙地的路程为200×3=600(km)，
∴汽车行驶完全程所需的时间t(ℎ)与行驶的平均速度v(km/h)之间的关系式为t=600v，
当t=2.5h时，即2.5=600v，
∴v=240，
答：列车要在2.5h内到达，则速度至少需要提高到240km/h.
故答案为：240.
依据行程问题中的关系：时间=路程÷速度，即可得到汽车行驶完全程所需的时间t(ℎ)与行驶的平均速度v(km/h)之间的关系式，把t=2.5h代入即可得到答案．
此题主要考查了反比例函数的应用，找出等量关系是解决此题的关键．
17.【答案】62cm;
【解析】解：如图，作DE⊥BC于E，把ΔABP绕点B逆时针旋转60°得到ΔA'BP'，
∵∠α=30°，DE=3cm，
∴CD=2DE=6cm，
同理：BC=AD=6cm，
由旋转的性质，A'B=AB=CD=6m，BP'=BP，A'P'=AP，∠P'BP=60°，∠A'BA=60°，
∴ΔP'BP是等边三角形，
∴BP=PP'，
∴PA+PB+PC=A'P'+PP'+PC，
根据两点间线段距离最短，可知当PA+PB+PC=A'C时最短，连接A'C，与BD的交点即为P点，即点P到A，B，C三点距离之和的最小值是A'C.
∵∠ABC=∠DCE=∠α=30°，∠A'BA=60°，
∴∠A'BC=90°，
∴A'C=A'B2+BC2=62+62=62(cm)，
因此点P到A，B，C三点距离之和的最小值是62cm，
故答案为62cm.
作DE⊥BC于E，解直角三角形求得AB=BC=6cm，把ΔABP绕点B逆时针旋转60°得到ΔA'BP'，由旋转的性质，A'B=AB=6cm，BP'=BP，A'P'=AP，∠P'BP=60°，A'BA=60°，所以ΔP'BP是等边三角形，根据两点间线段距离最短，可知当PA+PB+PC=A'C时最短，连接A'C，利用勾股定理求出A'C的长度，即求得点P到A，B，C三点距离之和的最小值．
本题是四边形综合题，主要考查了旋转知识、三角形全等、特殊角直角三角形、等边三角形的性质和勾股定理，熟练掌握旋转知识构建全等三角形是解答该题的关键．
18.【答案】解：（1）（x+2x+1x）÷x2−1x
=x2+2x+1x÷x2−1x
=(x+1)2x×x(x−1)(x+1)
=x+1x−1；
（2）{1−2x≤3①3x−24<1②
解不等式①得：x≥-1，
解不等式②得：x＜2，
∴不等式组的解集为：-1≤x＜2，
∴不等式组的整数解为：-1，0，1．;
【解析】
(1)先进行分式的加法运算，再进行除法运算即可；
(2)先把不等式组的解集求出来，再写出符合条件的解即可．
本题主要考查分式的混合运算，解一元一次不等式组，解答的关键是对分式的混合运算的各种法则的掌握，对解不等式组的方法的掌握．
19.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DFE=∠CBE，
∵E为CD边的中点，
∴DE=CE，
在△BCE和△FDE中，
∠BEC=∠FED∠CBE=∠DFECE=DE，
∴△BCE≌△FDE（AAS）；
（2）解：四边形AEFG是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠AFB=∠FBC，
由（1）得：△BCE≌△FDE，
∴BC=FD，BE=FE，
∴FD=AD，
∵GD=DE，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∵BF平分∠ABC，
∴∠FBC=∠ABF，
∴∠AFB=∠ABF，
∴AF=AB，
∵BE=FE，
∴AE⊥FE，
∴∠AEF=90°，
∴平行四边形AEFG是矩形．;
【解析】
(1)由AAS证明ΔBCE≌ΔFDE即可；
(2)先证四边形AEFG是平行四边形，再证∠AEF=90°，即可得出结论．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明ΔBCE≌ΔFDE是解答该题的关键．
20.【答案】解：（1）设甲品牌洗衣液每瓶的进价是x元，则乙品牌洗衣液每瓶的进价是（x-6）元，
依题意得：1800x=1800x−6×45，
解得：x=30，
经检验，x=30是原方程的解，且符合题意，
∴x-6=24（元）．
答：甲品牌洗衣液每瓶的进价是30元，乙品牌洗衣液每瓶的进价是24元；
（2）设可以购买甲品牌洗衣液m瓶，则可以购买（120-m）瓶乙品牌洗衣液，
依题意得：30m+24（120-m）≤3120，
解得：m≤40．
依题意得：y=（36-30）m+（28-24）（120-m）=2m+480，
∵k=2＞0，
∴y随m的增大而增大，
∴m=40时，y取最大值，y最大值=2×40+480=560．
120-40=80（瓶），
答：超市应购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大，最大利润是560元．;
【解析】
(1)设甲品牌洗衣液每瓶的进价是x元，则乙品牌洗衣液每瓶的进价是(x−6)元，根据数量=总价÷单价，结合用1800元购进乙品牌洗衣液数量的45，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设可以购买m瓶乙品牌洗手液，则可以购买(100−m)瓶甲品牌洗手液，根据总价=单价×数量，结合总费用不超过1645元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】9 72 12 10;
【解析】解：(1)方便筷使用数量在5⩽x<15范围内的数据有17个，
∴a=50−14−17−10=9，
故答案为：9；
(2)360°×1050=72°，
故答案为：72；
(3)将方便筷使用数量在10⩽x<15范围内的数据按从小到大的顺序排列为10，10，11，12，12，12，13，
由上述数据可得C组数据的众数是12，
B组的频数是10，C组的频数为7，D组的频数为9，
∴第25，26个数均为10，
∴调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是10+102=10.
故答案为：12，10；
(4)2000×10+950=760(人)，
答：估计该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数为760人．
(1)由总组人数减去其他组人数即可求解；
(2)利用360°×E组所占的比例即可得E组对应扇形的圆心角度数；
(3)根据众数，中位数的定义求解即可；
(4)2000×5月份使用方便筷数量不少于15双的人数所占比例即可求解．
此题主要考查统计表、用样本估计总体以及扇形统计图，应结合统计表和扇形统计图，利用部分与总体之间的关系进行求解．
22.【答案】解：过点A作AF⊥MN于点F，交PQ于点E，
设CE=x，
在Rt△DPE中，PE=x•tan27°≈0.51x，
∵BD=10米，每相邻两根灯柱之间的距离相等，
∴AE=（x+10）米，AF=2（x+10）米，
在Rt△AMF中，MF=2（x+10）•tan10°≈0.36（x+10）米，
∵MF=PE，
∴0.51x=0.36（x+10），解得：x=24，
∴PE≈0.51×24=12.24（米），
∴PQ=PE+EQ=PE+AB=12.24+1.2=13.44≈13.4（米），
答：路灯的高度约为13.4米．;
【解析】
过点A作AF⊥MN于点F，交PQ于点E，设CE=x，利用三角函数解直角三角形可得PE、MF，根据PE=MF得到x的值，即可得PE的长度，PE加上测倾器的高度即可得路灯的高度．
此题主要考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角的三角函数概念是解题关键．
23.【答案】解：（1）将点A坐标代入到反比例函数y=4x中得，
4n=4，
∴n=1，
∴点A的坐标为（4，1），
∵AB=OA，O（0，0），
∴点B的坐标为（8，2），
∵BC∥x轴，
∴点C的纵坐标为2，
令y=2，则4x=2，
∴x=2，
∴点C的坐标为（2，2）；
（2）∵BC∥x轴，
∴BC⊥y轴，
又AD⊥BC，
∴AD∥y轴，
∴D的横坐标为4，
∵D在BC上，
∴D的纵坐标为2，
∴D（4，2），
∵S△OBC=12•BC•2=BC=8-2=6，
S△ADB=12BD•AD=12×4×1=2，
∴四边形OCDA的面积为：S△OBC-S△ADB=6-2=4．;
【解析】
(1)先由反比例函数解析式求出A点坐标，再由中点坐标公式求得B点坐标，由于BC//x轴，得到点B和点C的纵坐标相同，从而得到点C的纵坐标，再由反比例函数解析式求出点C的横坐标，即可解决；
(2)由于BC//y轴，点B和点C坐标(1)中已经求解，故可以得到BC的长度，进而求得ΔOBC的面积，由于AD⊥BC，可以证明AD//y轴，从而求得D点坐标，得到线段AD和BD的长度，进一步得到ΔADB的面积，ΔOBC与ΔADB的面积之差即为四边形OCDA的面积．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解决本题的关键．
24.【答案】
（1）证明：连接OF，
∵PF=PG，
∴∠PFG=∠PGF，
∵∠BGE=∠PGF，
∴∠PFG=∠BGE，
∵OF=OB，
∴∠OFB=∠OBF，
∵CD⊥AB，
∴∠BGE+∠OBF=90°，
∴∠PFG+∠OFB=90°，
∵OF是⊙O半径，
∴PF为⊙O切线；
（2）解：连接AF，过点P作PM⊥FG，垂足为M，
∵AB是⊙O直径，
∴∠AFB=90°，
∴AB2=AF2+BF2，
∵OB=10，
∴AB=20，
∵BF=16，
∴AF=12，
在Rt△ABF中，tanB=34，cosB=45，
在Rt△BEG中，GE8=34，8GB=45，
∴GE=6，GB=10，
∵BF=16，
∴FG=6，
∵PM⊥FG，PF=FG，
∴MG=12FG=3，
∵∠BGE=∠PFM，∠PMF=∠BEG=90°，
∴△PFM∽△BGE，
∴FMGE=PFGB，即36=PF10，
解得：PF=5，
∴PF的长为5．;
【解析】
(1)连接OF，由CD⊥AB，PF=PG，OF=OB得到∠PFG+∠OFB=90°，即可证明；
(2)连接AF，过点P作PM⊥FG，垂足为M，由OB=10，BF=16，求得AF的长度，继而利用三角函数求得tanB=34，cosB=45，求出GE，GB，再利用ΔPFM∽ΔBGE，即可求出PF的长．
此题主要考查了切线的判定方法，利用等角之间的转化，能够求得半径与直线的垂直是证明切线的关键，能够灵活应用三角函数和三角形相似是解决线段长度的关键．
25.【答案】解：（1）∵A的坐标为（-1，0），
∴OA=1，
∵OC=2OA，
∴OC=2，
∴C的坐标为（0，2），
将点C代入抛物线y=-12x2+m−12•x+m2（m＞0），
得m2=2，即m=4，
∴抛物线对应的函数表达式为y=-12x2+32x+2；
（2）如图，过P作PH∥y轴，交BC于H，
由（1）知，抛物线对应的函数表达式为y=-12x2+32x+2，m=4，
∴B、C坐标分别为B（4，0）、C（0，2），
设直线BC解析式为y=kx+n，
则n=24k+n=0，解得k=−12n=2，
∴直线BC的解析式为y=-12x+2，
设点P的坐标为（m，-12m2+32m+2）（0＜m＜4），则H（m，-12m+2），
∴PH=-12m2+32m+2-（-12m+2）=-12m2+2m=-12（m2-4m）=-12（m-2）2+2，
∵S△PBC=S△CPH+S△BPH，
∴S△PBC=12PH•|xB-xC|=12[-12（m-2）2+2]×4=-（m-2）2+4，
∴当m=2时，△PBC的面积最大，此时点P（2，3）；
（3）存在，理由如下：
∵直线y=12x+b与抛物线交于B（m，0），
∴直线BG的解析式为y=12x-12m①，
∵抛物线的表达式为y=-12x2+m−12•x+m2②，
联立①②解得，x=−2y=−12m−1或x=my=0，
∴G的坐标为（-2，-12m-1），
∵抛物线y=-12x2+m−12•x+m2的对称轴为直线x=m−12，
∴点F的横坐标为m−12，
设E的坐标为（t，-12t2+m−12•t+m2），
①若BG为边且E在x轴上方，如图，过点E作EH⊥x轴于H，
∵∠GBF=90°，
∴∠OBG=∠BFH，
∴tan∠OBG=tan∠BFH=HBEH=12，
∴m−t−12t2+m−12t+m2=12，
解得：t=3或m，
∴E的坐标为（3，2m-6），
由平移性质，
得：B的横坐标向左平移m+2个单位得到G的横坐标，
∵EF∥BG且EF=BG，
∴E横坐标向左平移m+2个单位，
得：到F的横坐标为3+m+3=m+5，
这与点F的横坐标为m−12矛盾，所以此种情况不存在，
②若BG为边且E在x轴下方，
同理可得，E的坐标为（3，2m-6），所以此种情况也不存在，
②若BG为对角线，
设BG的中点为M，
则M的坐标为（m−12，−14m−12），
∴M恰好在抛物线对称轴上，
∵F在抛物线对称轴上，
∴E必然在对称轴与抛物线的交点，即抛物线顶点，
将x=m−12代入抛物线得，
E的坐标为（m−12，(m+1)28），
∵∠BEG=90°，M为BG中点，
∴EM=12BG，
∴(m+1)28−(−14m−12)=12(−12m−1)2+(m+2)2，
解得：m=5或5−4，
∵m＞0，
∴m=5，
即E的坐标为（5−12，3−54），
∴M的坐标为（5−12，−54−12），
F的坐标为（5−12，−354−74），
综上，E的坐标为（5−12，3−54），F的坐标为（5−12，−354−74）．;
【解析】
(1)由OC=2OA，得C(0,2)，代入抛物线y=−12x2+m−12⋅x+m2(m>0)可得m=4，抛物线对应的函数表达式为y=−12x2+32x+2；
(2)过P作PH//y轴，交BC于H，根据y=−12x2+32x+2，m=4，求出B(4,0)，C(0,2)，从而直线BC的解析式为y=−12x+2，设点P的坐标为(m,−12m2+32m+2)(0
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法、利用二次函数求面积最大值、二次函数的图象与性质、锐角三角函数处理直线垂直、平移性质、矩形性质、直角三角形斜边中线，求出设BG的中点为M，发现M在抛物线对称轴上是本题关键、转折点．
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