2022届河南省洛阳市第一高级中学高三数学终极猜题卷 数学（文）试卷及答案

2022届高考数学终极猜题卷

全国卷（文）

【满分：150分】

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则(   )

A.或  B.或

C.  D.

2.复数的共轭复数为，则(   )
A. B. C.6 D.8

3.已知，则(   )
A. B. C. D.

4.已知等比数列的前n项和为，若，，则的值为(   )

A.2 B. C.4 D.1

5.已知，，，则a，b，c的大小关系为(   )

A.  B.

C.  D.

6.如图，正方形ABCD中灰色阴影部分为四个全等的等腰三角形，已知，，若在正方形ABCD内随机取一点，则该点落在白色区域的概率为(   )
 

A. B. C. D.

7.在四面体中，，，E，F分别为AD，BC的中点，则异面直线EF与AC所成的角为(   )
A. B. C. D.

8.印制电路板(PCB)是电子产品的关键电子互联件，被誉为“电子产品之母”.印制电路板的分布广泛，涵盖通信设备、计算机及其周边、消费电子、工业控制、医疗、汽车电子、军事、航天科技等领域，不可替代性是印制电路板制造行业得以始终稳固发展的要素之一.下面是PCB主要成本构成统计图(单位：%)，则下列结论错误的是(   )

A.覆铜板成本占PCB材料成本的50%

B.钢箔成本占材料成本的15%

C.磷铜球成本占材料成本的6%

D.防焊油墨、磷铜球、球钢箔、其他材料的成本占比成等差数列

9.已知抛物线，倾斜角为的直线交C于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为，则p的值为(   )

A. B.1 C.2 D.4

10.已知函数的最小正周期为π，将函数的图象沿x轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是(   )

A.函数在上是增函数

B.函数的图象关于直线对称

C.函数是奇函数

D.函数的图象关于点中心对称

11.已知是R上的单调递增函数，，不等式

恒成立，则m的取值范围是(   )

A. B. C. D.

12.已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心O，若三棱锥的高为该圆柱外接球半径的2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径之比为(   )
A. B. C. D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量a，b满足，，若a，b所成的角为60°，则_________.

14.已知实数x，y满足，则的最大值为____________.

15.已知为奇函数，且当时，，若当时，的最大值为m，最小值为n，则的值为____________.

16.在中，D是BC边上一点，，，且与面积之比为，则_____________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）已知数列的前n项和为，且，.

（1）求的通项公式；

（2）若数列满足，记数列的前n项和为，求证：.

18.（12分）当今社会面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业、创新的方式实现人生价值.小明是一名刚毕业的大学生，通过直播带货的方式售卖自己家乡的特产，下面是他近5个月的家乡特产收入y（单位：万元）情况，如表所示.

（1）根据5月至9月的数据，求y与t之间的线性相关系数（精确到0.001），并判断相关性；

（2）求出y关于t的回归直线方程（结果中保留两位小数），并预测10月收入能否突破1.5万元，请说明理由.

附：①相关系数公式：.

（若，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）

②一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

③参考数据：.

19.（12分）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，且底面ABCD.

（1）证明：平面PBD.

（2）若Q为PC的中点，求三棱锥的体积.

20.（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，且斜率为的直线与椭圆C交于A，B两点，且AB的中点为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若椭圆C的左、右顶点分别为，，点P，Q为椭圆上异于，的两点，且以P，Q为直径的圆过点，设，的面积分别为，，计算的值.

21.（12分）已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若不等式恒成立，求a的取值范围.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（10分）[选修4 – 4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，若点P的坐标为，求.

23.（10分）[选修4 – 5：不等式选讲]

设函数，.

（1）求不等式的解集；

（2）若不等式在区间上恒成立，求a的取值范围.

2022届高考数学终极猜题卷

全国卷（文） 参考答案

一、选择题

1.答案：B

解析：因为，，

所以，所以或.故选B.

2.答案：A

解析：由题意得，，所以，

所以.故选A.

3.答案：B

解析：，.

故选B.

4.答案：A

解析：设等比数列的公比为q，且，由题可得，解得，所以.故选A.

5.答案：B

解析：因为，，，

所以.故选B.

6.答案：A

解析：由题易知四边形EFGH为正方形，且，由得，所以的高为，故白色区域的面积为，又正方形ABCD的面积为8，所以若在正方形ABCD内随机取一点，该点落在白色区域的概率为.故选A.

7.答案：B

解析：如图，把四面体补成一个长、宽、高分别为，，1的长方体，取AB的中点G，连接GE，GF，因为G，F分别是AB，BC的中点，所以，所以即为异面直线EF与AC所成的角，，同理，，易得，所以，所以是等腰直角三角形，则，即异面直线EF与AC所成的角为.故选B.
 

8.答案：C

解析：由图中数据可得，材料成本占总成本的60%，所以覆铜板成本占PCB材料成本的，故A正确；钢箔成本占材料成本的，故B正确；磷铜球成本占材料成本的，故C错误；其他材料占比为

，所以防焊油墨、磷铜球、球钢箔、其他材料的成本占比成等差数列，故D正确.

故选C.

9.答案：C

解析：设直线AB的方程为，联立，消去y并整理得，，设，，则，，所以，解得.故选C.

10.答案：A

解析：，，得，，，对于A，由，得，此时单调递减，则函数单调递增，故A正确；对于B，令，，得，，故B错误；对于C，，则函数是偶函数，故C错误；对于D，当时，，故D错误.故选A.

11.答案：D

解析：依题意，在R上是增函数，，不等式恒成立，即恒成立，等价于恒成立，，令，则，易得，，.故选D.

12.答案：A

解析：设正三棱锥的底面边长为，高为h，如图所示，则圆柱的高为，底面圆的半径为.设圆柱的外接球半径为R，则，，，此时，设正三棱锥的外接球的半径为r，则球心到底面的距离为，，由勾股定理得，解得，故.故选A.
 

二、填空题

13.答案：1

解析：因为，所以，

又因为a，b所成的角为，，所以，所以.

14.答案：

解析：根据题意作出不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分（含边界）所示，作出直线并平移，易知当平移后的直线经过点A时，目标函数z取得最大值，由，得，即点，所以目标函数的最大值.
 

15.答案：

解析：因为当时，，且是奇函数，所以当时，，则，故当时，，

所以当时，是增函数；当时，是减函数，故当时，，.所以，，从而.

16.答案：

解析：因为，且与面积之比为，所以AD为的平分线，，且，设，，，由余弦定理，得，解得，所以，，故，因为，且，故，，又，所以.

三、解答题

17.解析：（1），

当时，，………………………………………………………………2分

，，

为从第二项开始的等比数列，公比，…………………………………………4分

又，，，

当时，也满足上式，

.………………………………………………………………………………6分

（2），

，①

，②……………………………………………………9分

①-②得，，

，

，，

.………………………………………………………………………………………12分

18.解析：（1）由5月至9月的数据可知，

，……………………………………………………………2分

，

，……………………………………………………………4分

，

故所求线性相关系数.

因为相关系数的绝对值，

所以认为y与t具有很强的线性相关关系. …………………………………………………6分

（2）由题得，

，

所以，

所以y关于t的回归直线方程为.…………………………………………9分

当时，，

因为，所以10月收入从预测看不能突破1.5万元. ……………………………12分

19.解析：（1）由题意得，，，，

所以，所以，

因为四边形ABCD为平行四边形，

所以，所以，…………………………………………………………2分

又平面ABCD，平面ABCD，所以，

因为，所以平面PBD. ………………………………………………5分

（2）如图，连接AC，因为Q为PC的中点，所以，

所以，

因为四边形ABCD为平行四边形，

所以.…………………………………………………7分

过点Q作交DC于点E，

因为平面ABCD，平面ABCD，所以，

所以，

所以平面ABCD，……………………………………………………………………9分

又Q为PC的中点，所以，

所以.

由已知可得，

所以

，

故三棱锥的体积为2. ……………………………………………………………12分

20.解析：（1）设点，，

代入椭圆C的方程得，，

两式相减得，

即，

所以.………………………………………………………………3分

因为，，

解得，，

所以椭圆C的方程为.……………………………………………………………5分

（2）根据题意可知直线PQ的斜率一定存在，

设直线PQ的方程为，

点，，

联立，消去y并整理得.

，，

，.………………………………………………………7分

，，

则，

整理得，解得或.……………………………………9分

当时，直线PQ的方程为，不符合题意；

当时，直线PQ的方程为，过定点，

，，

.…………………………………………………………………12分

21.解析：（1），

令，解得.……………………………………………………………………2分

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以的单调递增区间为，的单调递减区间为.…………………4分

（2）恒成立，

即恒成立.

令，

即对恒成立. …………………………………………………………6分

由（1）知，当时有极小值也是最小值，，

，令，得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以当时有极大值也是最大值，.…………………………………………………………………………………9分

若对恒成立，则应满足，

只要，即，所以，

所以若不等式恒成立，

则a的取值范围为.………………………………………………………………12分

22.解析：（1）由直线l的参数方程(t为参数)，

消去参数t得直线l的普通方程为，……………………………………………2分

由曲线C的极坐标方程，得，

所以曲线C的直角坐标方程为.……………………………………………5分

（2）直线l的参数方程可写为(t为参数)，

代入，得，………………………………………………7分

设A，B两点的参数为，，则，.

所以.…………………10分

23.解析：（1）由得，，

整理得，解得，…………………………………………3分

则原不等式解集为.……………………………………………………………………4分

（2）在区间上恒成立，

即为，即，………………………………………6分

可得，，

所以或，………………………………………………………………8分

即或，化简得或，

由，可得，所以或，

即a的取值范围是.……………………………………………………10分