2021届山东省淄博市高三三模数学卷及答案（文字版）

参照秘密级管理★启用前

高三仿真试题

数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，

2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集，集合，，则如图阴影部分表示的集合是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

2. 某个国家某种病毒传播的中期，感染人数和时间（单位：天）在天里的散点图如图所示，下面四个回归方程类型中最适宜作为感染人数和时间的回归方程类型的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

3. 在正项等比数列中，若是，两项的等差中项，则（    ）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】A

4. 已知向量、满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

5. 已知，且，为虚数单位，则的最大值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

6. 已知锐角、满足，则的最小值为（    ）

A. 4 B.

C. 8 D.

【答案】C

7. 算盘是一种手动操作计算辅助工具．它起源于中国，迄今已有2600多年历史，是中国古代的一项重要发明，算盘有很多种类．现有一种算盘（如图一），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下四珠，上拨每珠记作数字1（例如图二中算盘表示整数51）．如果拨动图一算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为（    ）

A. 16 B. 15 C. 12 D. 10

【答案】C

8. 设双曲线的左、右焦点分别为，点P（异于顶点）在双曲线C的右支上，则下列说法正确的是（    ）

A. 可能是正三角形

B. P到两渐近线的距离之积是定值

C. 若，则的面积为8

D. 在中，

【答案】B

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9. 已知正四棱台的上底面边长为1，侧棱长为2，高为，则（    ）

A. 棱台的侧面积为 B. 棱台的体积为

C. 棱台的侧棱与底面所成的角 D. 棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为

【答案】AC

10. 下列说法正确的是（    ）

A. 某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，已知该校高一、高二，高三年级学生之比为，则应从高二年级中抽取20名学生

B. 线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点

C. 命题“，”的否定是“，"

D. 方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小

【答案】ACD

11. 已知圆和圆的交点为，，则（    ）

A. 圆和圆有两条公切线

B. 直线的方程为

C. 圆上存在两点和使得

D. 圆上的点到直线的最大距离为

【答案】ABD

12. 2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新．设计师的灵感来源于曲线．则下列说法正确的是（    ）

A. 曲线关于原点成中心对称

B. 当时，曲线上的点到原点的距离的最小值为2

C. 当时，曲线所围成图形的面积的最小值为

D. 当时，曲线所围成图形的面积小于4

【答案】ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 请写出一个函数___________，使之同时具有如下性质：①，，②，.

【答案】

14. 已知椭圆C的左､右焦点分别为，直线AB过与椭圆交于A，B两点，当为正三角形时，该椭圆的离心率为___________.

【答案】

15. 已知函数（，）的部分图像如图所示，则______．

【答案】；

16. 如图，在的点阵中，依次随机地选出、、三个点，则选出的三点满足的概率是______．

【答案】

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 的内角、，的对边分别为、、，，．

（1）求角的大小；

（2）求外接圆面积的最小值．

【答案】（1）或；（2）或.

18. 在图1所示的平面图形中，是边长为4的等边三角形，是的平分线，且，为的中点，以为折痕将折起得到四棱锥（如图2）．

（1）设平面和的交线为，在四棱雉的棱上求一点，使直线；

（2）若二面角的大小为，求平面和所成锐二面角的余弦值．

【答案】（1）为棱中点；（2）．

19. 某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同.甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p，假设每道题答对与否互不影响.

（1）当时，

（i）若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率；

（ii）甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望；

（2）乙答对每道题的概率为(含亲友团)，现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值.

【答案】（1）（i）；（ii）分布列答案见解析，数学期望：；（2）最小值为.

20. 已知函数．

（1）判断函数在上单调性；

（2）证明函数在内存在唯一的极值点，且．

【答案】（1）函数在上的单调递减；（2）证明见解析．

21. 已知椭圆离心率为，椭圆上的点与其右焦点的最短距离为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若，，为椭圆上的3个动点，且的重心是，求证：的面积为定值，并求这个定值．

【答案】（1）；（2）证明见解析；定值．

22. 若存在常数，使得对于任意，都有，则称数列为数列.

（1）已知数列是公差为的等差数列，其前项和为，若为数列，求的取值范围；

（2）已知数列的各项均为正数，记的前项和为，数列的前项和为，且，，若数列满足，且为数列，求的最大值；

（3）已知正项数列满足：，且数列数列，数列为数列，若，求证：数列中必存在无穷多项可以组成等比数列.

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.