2021-2022学年河北省九师联盟高三（下）质检数学试卷（3月份）

2021-2022学年河北省九师联盟高三（下）质检数学试卷（3月份）

1. 设集合，，则

A.  B.
C.  D.

2. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则

A.  B.  C.  D.

3. 已知，，则

A.  B.  C.  D.

4. 已知，则

A. 10 B. 20 C. 40 D. 80

5. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为其中为钝角，则双曲线C的离心率为

A.  B.  C.  D.

6. 已知圆C：截直线所得的弦长为，则圆C与圆：的位置关系是

A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切

7. 已知一个棱长为2的正方体玻璃容器内不计玻璃的厚度放置一个正四面体，若正四面体能绕着它的中心即正四面体内切球的球心任意转动，则正四面体棱长的最大值为

A.  B.  C.  D.

8. 若，则下列不等关系一定不成立的是

A.  B.  C.  D.

9. 已知等差数列的前n项和为，且满足，，则

A.  B.
C. 当且仅当时，取最小值 D.

10. 已知，，且，则

A. xy的最小值是1 B. 的最小值是
C. 的最小值是4 D. 的最小值是5

11. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用图，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理图一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时图中点开始计时，则
     

A. 点P再次进入水中时用时30秒
B. 当水轮转动50秒时，点P处于最低点
C. 当水轮转动150秒时，点P距离水面2米
D. 点P第二次到达距水面米时用时25秒

12. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，以表示没有出现连续3次正面向上的概率，则下列结论正确的是

A.
B.
C. 当时，
D.

13. 已知向量，，若，，则______.
14. 写出一条同时满足下列条件①②③的直线的方程：______.
    ①斜率小于0；
    ②在x轴上的截距大于0；
    ③与双曲线有且仅有一个公共点．
15. 某学校在2022年1月高三期末考试中有980人参加了数学考试，若数学成绩²，统计结果显示数学考试成绩在70分以上的人数为总人数的，则此次高三期末考试中数学成绩在70分到120分之间的学生有______人．
16. 已知A，B为抛物线C：上两点，O为坐标原点，若，直线AB必过定点，则定点的坐标为______；的面积的最小值是______.
17. 已知数列满足，
    证明：数列是等比数列；
    求数列的前n项和
    
    
    
    
    
    
     
18. 我国政府加大了对全民阅读的重视程度，推行全民阅读工作，全民阅读活动在全国各地蓬勃发展，活动规模不断扩大，内容不断充实，方式不断创新，影响日益扩大，使我国国民素质得到了大幅度提高．某高中为响应政府号召，在寒假中对本校高三800名学生其中男生480名按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，了解他们每天的阅读情况．

根据所给数据，完成列联表；
根据中的列联表，判断能否有的把握认为该高中高三学生“每天阅读时间低于1h”与“性别”有关？
若从抽出的200名学生中按“每天阅读时间是否低于1h”采用分层抽样抽取10名学生准备进行读写测试，在这10名学生中随机抽取3名学生，记这3名学生每天阅读时间不低于1h的人数为X，求X的分布列和数学期望
附：，其中

19. 在中，已知D是边BC上一点，且，，，
    求的值；
    求AC的长．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知椭圆C经过点，
    求椭圆C的标准方程；
    过点的直线l与椭圆C交于不同的两点M，均与P不重合，证明：直线PM，PN的斜率之和为定值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，在四棱锥中，，，，，点E为PC的中点，且平面
    求证：平面PAD；
    若二面角的余弦值为，求直线PC与AB所成角的正切值．
    
    
    
    
    
    
     

已知函数
若，求的极值；
当时，证明：不存在两个零点．







答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：由B中不等式变形得：，
解得：，即，
，
，
故选：
求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
 

2.【答案】A
 

【解析】解：由题意可知，，
，
故选：
由题意可知，，再利用复数的四则运算法则求解．
本题主要考查了复数的几何意义，考查了复数的四则运算，属于基础题．
 

3.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用两角和差的余弦公式进行转化求解是解决本题的关键，是基础题．
利用两角和差的余弦公式进行转化求解即可．
【解答】
解：，，
，，
则

，
故选：  

4.【答案】C
 

【解析】解：二项式的展开式中含的项为，
所以，
故选：
求出展开式的含项的系数即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
 

5.【答案】D
 

【解析】解：由题意，，其中为钝角
所以离心率，
故选：
由已知可得，而离心率，代入化简即可得答案．
本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线离心率的求解等知识，属于基础题．
 

6.【答案】C
 

【解析】解：圆C：，
，即圆心，半径，
圆C：截直线所得的弦长为，
圆心到直线的距离，即，解得或舍去，
圆C的方程为，
圆：，
圆的圆心，半径，
，
，
圆C与圆：的位置关系是相交．
故选：
根据已知条件，结合垂径定理，以及点到直线的距离公式，先求出圆C的方程，再根据圆心距与两圆半径之间的关系，即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．
 

7.【答案】B
 

【解析】解：如图，设正四面体的棱长为x，
过A作底面BCD，连接 并延长交CD于E，
则，
，
设正四面体的外接球的半径为r，
则，
，解得
要使正四面体可以在棱长为2的正方体内任意转动，
则，得
正四面体的棱长的最大值为
故选：
由题意求出正四面体棱长与正四面体的外接球的半径的关系，再由外接球的直径等于正方体的棱长求解．
本题考查了空间中的点线面间的距离计算，考查空间想象能力和思维能力，属中档题．
 

8.【答案】D
 

【解析】解：由，得，
由，得，，
作函数，，的图象，再作直线，

变换m的值发现：，，均能够成立，
不可能成立，故D不可能成立．
故选：
将条件转化为，结合对应的性质画出函数的图象，判断它们与有交点时各交点横坐标的大小情况，能求出结果．
本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查数形结合思想，是基础题．
 

9.【答案】AB
 

【解析】解：设等差数列的公差为d，，，
，，
解得，，
，，或7时，取得最大值，
，，
…，
综上可得：只有AB正确．
故选：
利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

10.【答案】BC
 

【解析】解：对于A，由，，可得，
化为，当且仅当，xy取得最大值，故A错误，
对于B，，，且，
则，
，故B正确，
对于C，，，且，则，
当且仅当，时等号成立，
的最小值为4，故C正确，
对于D，，，，
，
当且仅当，时，等号成立，
的最小值为9，故D错误．
故选：
利用基本不等式的性质即可得出．
本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式成立的条件，属于基础题．
 

11.【答案】BCD
 

【解析】解：设点P距离水面的高度为米和秒的函数解析式为，
由题意，，，
所以，解得，，
因为，所以，则
当时，，所以，则，
又因为，所以
所以，，
令，，，解得或，所以选项A错误；
当秒时，，选项B正确；
当秒时，，选项C正确；
令，，解得或，所以选项D正确．
故选：
由题意设出函数解析式，由题意求出A与B的值，由周期求得，再由时求出，得到函数解析式，再判断选项中的命题是否正确．
本题考查了三角函数模型的应用问题，重点考查了函数的图象与性质应用问题，是中档题．
 

12.【答案】ACD
 

【解析】解：对于A，当时，，故A正确；
对于B，当时，又投掷四次连续出现三次正面向上的情况有：
正正正正或正正正反或反正正正，
，故B错误；
对于D，要求，即抛掷n次没有出现连续3次正面的概率，分类进行讨论：
如果第n次出现反面，则前n次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，
这个时候不出现连续三次正面的概率是；
如果第n次出现正面，第次出现正面，第次出现反面，
那么前n次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，
这时候不出现三次连续三次正面的概率是，
综上，，故D正确；
对于C，由以上得，
，
由题意，，，
当时，，
，，满足当时，，故C正确．
故选：
利用对立事件、相互独立事件概率乘法公式判断A；利用列举法判断B；利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式判断D；利用概率的单调性判断
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法、n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】
 

【解析】解：根据题意，设，向量，，
若，，则，解可得，，
则；
故答案为：
根据题意，设，由向量平行和垂直的判断方法可得关于x、y的方程，求出x、y的值，由向量模的公式计算答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量平行的坐标表示，属于基础题．
 

14.【答案】
 

【解析】解：双曲线的渐近线方程为
当直线方程为时，显然与双曲线有且仅有一个公共点，
要想满足①，直线方程可以是，
要想满足②，只需上述方程中，显然直线方程满足，
故答案为：
根据双曲线渐近线的性质，结合直线点斜式方程进行求解即可．
本题主要考查双曲线的几何性质，直线方程的确定等知识，属于中等题．
 

15.【答案】560
 

【解析】解：由题意可得，，
数学成绩²，
，
，
此次高三期末考试中数学成绩在70分到120分之间的学生有
故答案为：
根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，属于基础题．
 

16.【答案】
 

【解析】解：设点A，B的坐标分别为，，
显然直线l斜率不为0时，设直线方程为，
联立方程得：消去x得，
由题意：，，
又因为，所以，
即，解得舍去或，
故直线l的方程为：，故直线过定点；
由，得，，，
，
点O到直线l的距离为，
，
当时取等号，的面积的最小值是
故答案为：；
联立直线方程与抛物线方程，利用消元法得到关于x的一元二次方程，由得，建立关于参数t的关系，可得，显然直线恒过，表示弦长与点O到直线的距离，表示面积再依据函数可求最值．
本题考查定点问题，以及面积的最值问题，属中档题．
 

17.【答案】证明：由，得
又，所以于是，
所以是首项为1，公比为2的等比数列．
解：由得，则，①
②
①-②，得

所以
 

【解析】由，得进而证明结论．
由得，利用错位相减法、等比数列的求和公式即可得出结论．
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：名学生中，男生人数为，女生人数为，补全列联表如下：

根据列联表可得：，所以有的把握认为该高中高三学生“每天阅读时间低于1h”与“性别”有关；
名学生中“每天阅读时间不低于1h”的人数为120人，因此抽取10名学生“每天阅读时间不低于1h”的人数为6人，而X的所有可能取值为0，1，2，3，
则，，，，
所以X的分布列为：

【解析】根据分层抽样的抽样比求得抽取的男生和女生人数，即可结合已知数据进行填写；
根据中所求列联表，求得，结合参考数据，即可判断；
根据分层抽样的抽样比求得抽取的10人中每天阅读时间不低于h的人数，结合X的取值，分别计算对应取值下的概率，即可求得分布列和数学期望．
本题考查了独立性检验和离散型随机变量的期望计算，属于中档题．
 

19.【答案】解：因为，，
所以，
所以，
在三角形ABD中，由正弦定理可得，，即，
所以，
同理，在三角形ACD中，有，
所以；
由可知，即，
设，则，
因为，所以，
所以，
所以，
在三角形ABC中，由余弦定理可得，，
解得，所以
 

【解析】分别在三角形ABD和三角形ACD中，由正弦定理可得AB，AC，结合诱导公式可得其比值；
由两角和公式求得，进而可得，然后利用余弦定理可得
本题考查了解三角形的知识，两角和的正弦公式等知识，属于中档题．
 

20.【答案】解：设椭圆方程为且，……分
由题意得，解得，，……分
故椭圆C的标准方程是……分
证明：当直线l的斜率不存在时，M，N为椭圆的上下顶点，即为，
则……分
当直线l的斜率存在时，设l的方程为
联立，消去y并整理，得，
则，得，
设，，则，，……分
所以
……分



……分
说明：若，则，
点M，N的横坐标满足方程，即，
即
故M，N中一点的坐标为，与题设条件矛盾，故
综上，直线PM，PN的斜率之和为定值．……分
 

【解析】设椭圆方程为且，通过点在椭圆上，求解m，n，即可得到椭圆方程．
当直线l的斜率不存在时，验证即可．当直线l的斜率存在时，设l的方程为联立直线与椭圆方程，设，，结合韦达定理，转化推出直线PM，PN的斜率之和为定值．
本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
 

21.【答案】解：证明：取PD的中点F，连接AF，EF，
则，又，，所以，，则四边形ABEF为平行四边形，所以
又平面PCD，平面PCD，所以，所以
又，，AF，平面PAD，所以平面
由题意，得，又，则，结合F为PD的中点，得
又，所以为等边三角形．
设，，则取AD的中点O，连接PO，
则，由平面PAD，可得，
所以平面ABCD，过O作AB的平行线，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
所以，
设为平面PBD的法向量，则，
取，则为平面PBD的一个法向量．
又平面BCD的一个法向量，
设二面角的平面角为，易知为钝角，
所以，
所以，则，
由，，可得为直线PC与AB所成的角．
在中，
故PC与AB所成角的正切值为
 

【解析】取PD的中点F，连接AF，EF，推得四边形ABEF为平行四边形，由线面垂直的性质和判定，可得结论；
取AD的中点O，连接PO，推得平面ABCD，过O作AB的平行线，建立空间直角坐标系，求得平面PBD和平面BCD的法向量，由夹角公式可得CD的长，再由异面直线所成角的定义可得所求角的正切值．
本题考查线面垂直的判定和二倍角、线面角的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：若，得……分
方程的两个根是0和……分
当或时，，在，上单调递增；
当时，，在上单调递减，
故在时取极大值，在时取极小值……分
证明：
当，关于x的方程的根是1和……分
若，此时，恒成立，
此时仅有一个，使得，在单调递增，故不存在两个零点；……分
若，即，
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减；
又，结合上述单调性可知，不存在两个零点；……分
若，即，当或时，，单调递增；
当时，，单调递减；
的极大值为，
结合上述单调性可知，不存在两个零点．
所以当时，不存在两个零点．……分
 

【解析】求出导函数，求出极值点，判断导函数的符号，求解函数的极值即可．
求出导函数通过讨论，求出极值点，判断函数的单调性求解函数的极值，然后求解函数的零点个数即可．
本题考查函数导数的应用，函数的极值的求法，函数单调性的判断，函数的零点个数的判断，是中档题．