2022年中考数学二轮复习讲义-动态几何问题（1）

2022年中考数学二轮复习讲义

专题12  动态几何问题（1）

班级＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿学号＿＿＿＿＿＿

［中考要求］

动态几何问题是近年来中考数学试题的热点题型之一，常以压轴题的面目出现，题目灵活、多变，能全面考查学生分析问题和解决问题的综合能力，有较强的选拔功能.

［题型特点］

这类问题主要是集中代数、几何知识于一体，数形结合，综合性较强，常以三角形、四边形、圆等一些几何图形为载体，设计动态变化，并对变化过程中伴随着的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行综合考察研究.

［例题精析］

1、如图，在Rt△ABC中，∠A为直角，AB=6，AC=8，点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上同时开始做匀速运动，2秒后，三个点同时停止运动，点P由点A出发以每秒3个单位长度的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位长度的速度向点C运动，点R由点C出发以每秒4个单位长度的速度向点A运动，在运动过程中：

（1）求证：△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；

（2）求△PQR面积的最小值；

（3）用t（秒）（0≤t≤2）表示运动时间，是否存在t，使∠PQR=90º？

若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由.

2、（1）如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：

（Ⅰ）将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图②；

（Ⅱ）在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B′处，如图③，两次折痕交于点O；

（Ⅲ）展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图④．

【探究】（1）证明：△OBC≌△OED；

（2）若AB＝8，设BC为x，OB2为y，求y关于x的关系式．

3、如图1，△ABC（AC＜BC＜AC）绕点C顺时针旋转得△DEC，射线AB交射线DE于点F．

（1）∠AFD与∠BCE的关系是　   　；

（2）如图2，当旋转角为60°时，点D，点B与线段AC的中点O恰好在同一直线上，延长DO至点G，使OG＝OD，连接GC．

①∠AFD与∠GCD的关系是　   　，请说明理由；

②如图3，连接AE，BE，若∠ACB＝45°，CE＝4，求线段AE的长度．

［规律总结］

解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解.一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，

第一，根据题意理清题目中两个变量X、Y的变化情况并找出相关常量；

第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出；

     第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象.对函数解析式中自变量的取值范围必须认真考虑，一般需有约束条件，这类题常常要分类讨论.

［强化训练

1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B的运动路径为，则图中阴影部分的面积为　   　．

2．将直角三角板ABC按如图1放置，直角顶点C与坐标原点重合，直角边AC、BC分别与x轴和y轴重合，其中∠ABC＝30°．将此三角板沿y轴向下平移，当点B平移到原点O时运动停止．设平移的距离为m，平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为s，s关于m的函数图象（如图2所示）与m轴相交于点P（，0），与s轴相交于点Q．

（1）试确定三角板ABC的面积；

（2）求平移前AB边所在直线的解析式；

（3）求s关于m的函数关系式，并写出Q点的坐标．

3．如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线1是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B′．

（1）如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，则AB′的长度为　   　；

（2）如图2，当PB＝5时，若直线1∥AC，则BB′的长度为　   　；

（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC，△ACB′的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；

（4）当PB＝6时，在直线1变化过程中，求△ACB′面积的最大值．

4．已知矩形ABCD中，AB＝5cm，点P为对角线AC上的一点，且AP＝2cm．如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着A→B→C的方向匀速运动（不包含点C）．设动点M的运动时间为t（s），△APM的面积为S（cm2），S与t的函数关系如图②所示．

（1）直接写出动点M的运动速度为　   　cm/s，BC的长度为　   　cm；

（2）如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着D→C→B的方向匀速运动，设动点N的运动速度为v（cm/s）．已知两动点M，N经过时间x（s）在线段BC上相遇（不包含点C），动点M，N相遇后立即同时停止运动，记此时△APM与△DPN的面积分别为S1（cm2），S2（cm2）

①求动点N运动速度v（cm/s）的取值范围；

②试探究S1•S2是否存在最大值，若存在，求出S1•S2的最大值并确定运动时间x的值；若不存在，请说明理由．