2022年中考数学二轮复习讲义-几何图形中的最值问题（几何方法）

2022年中考数学二轮复习讲义

专题10 几何图形中的最值问题（1）

几何方法

班级＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿学号＿＿＿＿＿＿

【中考要求】

几何图形中的最值问题是近年来常考的题型，这种问题大致分为两类，（1）几何方法：利用几何图形的性质求最值.（2）代数方法：运用条件，根据图形的特点，综合运用所学知识，如，勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、图形的面积公式等等来寻求等量关系，从而构造出函数，再利用函数的性质即可求解.这节课重点介绍几何方法.

【题型特点】

几何图形中的最值问题往往是运动变化过程中，在某一特殊时刻或在某一特殊位置存在最大值或最小值，解决问题时，必须化动为静，以静制动，利用几何图形的性质，如“两点之间，线段最短”，“垂线段最短”等加以解决.

【例题精讲】

例1．（1）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（　　）

A． B．2 C． D．

例1（1）题图       例2（2）题图            例2（1）题图           例2（2）题图

（2）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为（　　）

A．2﹣2 B． C． D．

例2．（1）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，点D是边BC上的一动点，连接AD，作CE⊥AD于点E，连接BE，则BE的最小值为　   　．

（2）如图，已知正方形ABCD的边长为，点E，F，G，H分别在正方形的四条边上，且AE＝DF＝CG＝BH，则四边形EFGH的形状为　   　，它的面积的最小值为　   　．

例3．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点O是AC的中点，点D在射线BO上。

（1）连结OE，EC，则∠ACE＝　   　°；

（2）若AB＝1，求OE的最小值．

变式：如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝2，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是为　   　．

［规律总结］

　　1、最值问题的解决方法通常有两种：（1）应用几何性质①三角形三边关系；②两点之间的线段最短；③垂线段最短；

2、几何图形中的最值都取在特殊位置：特殊值　　　　特殊位置

　　　　　　　　　　　　　　　　　（最值）

［强化训练］

1．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别从点A、点D以相同速度同时出发，点E从点A向点D运动，点F从点D向点C运动，点E运动到D点时，E、F停止运动．连接BE、AF相交于点G，连接CG．有下列结论：①AF⊥BE；②点G随着点E、F的运动而运动，且点G的运动路径的长度为π；③线段DG的最小值为2﹣2；④当线段DG最小时，△BCG的面积S＝8+．其中正确的命题有　   　．（填序号）

2．如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝BC，BC＝10，∠BCD＝60°，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，求出OA的长的最小值．

3．（1）问题提出：如图1，已知等边△ABC的边长为2，D为BC的中点，P是AD上一动点，则BP+AP的最小值为　　．

（2）问题探究：如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AC＝，在三角形内有一点P满足∠APB＝∠BPC＝120°，求PA+PB+PC的值．

（3）问题解决：如图3，某地在脱贫攻坚乡村振兴中因地制宜建造了3个特色农产品种植基地A，B，C．现需根据产品中转点P修建通往种植基地A，B，C的道路PA，PB，PC，方便农产品的储藏运输，根据地质设计，PB路段每米造价是PA的倍，PC路段每米造价是PA的2倍．已知AB＝BC＝2000米，∠ABC＝30°，要使修建3条道路费用最小，即求PA+PB+2PC的最小值．

4．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣4，0），点B（0，3），△ABO绕点B顺时针旋转，得△A'BO'，点A、O旋转后的对应点为A'、O'，记旋转角为α．

（1）如图②，α＝90°，边OA上的一点M旋转后的对应点为N，当OM＝1时，点N的坐标为　　；

（2）在（1）的条件下，当O'M+BN取得最小值时，在图②中画出点M的位置，并求出点N的坐标．

（3）如图③，P为AB上一点，且PA：PB＝2：1，连接PO'、PA'，在△ABO绕点B顺时针旋转一周的过程中，△PO'A'的面积是否存在最大值和最小值，若存在，请求出；若不存在，请说明理由．