高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.2 全称量词与存在量词同步测试题

全称量词命题与存在量词命题

[A级　基础巩固]

1．下列命题中全称量词命题的个数是(　　)

①至少有一个偶数是质数；②∀x∈R，2x＞0；③实数的平方是正数．

A．0　　　　　　　　　 B．1

C．2  D．3

解析：选C　①中含有存在量词“至少”，所以是存在量词命题；②中含有全称量词符号“∀”，所以是全称量词命题；③中省略了全称量词“任意一个”，所以是全称量词命题．

2．(多选)下列命题是“∃x∈R，x2＞3”的表述方法的有(　　)

A．有一个x∈R，使得x2＞3成立

B．对有些x∈R，使得x2＞3成立

C．任选一个x∈R，都有x2＞3成立

D．至少有一个x∈R，使得x2＞3成立

解析：选ABD　C选项是全称量词命题，A，B，D选项符合题意，故选A、B、D.

3．已知“∀x∈{x|0≤x≤2}，m＞x”和“∃x∈{x|0≤x≤2}，n＞x”均为真命题，那么m，n的取值范围分别是(　　)

A．m＞0，n＞0  B．m＞0，n＞2

C．m＞2，n＞0  D．m＞2，n＞2

解析：选C　由“∀x∈{x|0≤x≤2}，m＞x”是真命题，可得m＞2；由“∃x∈{x|0≤x≤2}，n＞x”是真命题，可得n＞0.

4．(多选)下列存在量词命题中，是真命题的是(　　)

A．∃x∈Z，使x2－2x－3＝0

B．至少有一个整数x，使x能同时被2和3整除

C．∃x∈R，使|x|＜0

D．有些自然数是偶数

解析：选ABD　A中，x＝－1或3时，满足x2－2x－3＝0，所以A是真命题；B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题；C中，因为所有实数的绝对值非负，所以C是假命题．故选A、B、D.

5．已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤3}，x－a≥0，若命题p是真命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．{a|a＜1}  B．{a|a＞3}

C．{a|a≤1}  D．{a|a≥3}

解析：选C　由p是真命题，可知a≤x，因为1≤x≤3，因此a≤1，故选C.

6．已知命题p：“∀x∈R，mx2≥0”是真命题，则实数m的取值范围是________．

解析：当x∈R时，x2≥0，若“∀x∈R，mx2≥0”是真命题，则m≥0.

答案：m≥0

7．已知p(x)：x2＋2x－m＞0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________．

解析：由p(1)是假命题，p(2)是真命题，得解得3≤m＜8.

答案：[3，8)

8．已知命题p：∃x≥3，使得2x－1＜m是假命题，则实数m的最大值是________．

解析：因为命题p：∃x≥3，使得2x－1＜m是假命题，所以m≤2x－1(x≥3)恒成立，所以m≤2×3－1，解得m≤5.故实数m的最大值是5.

答案：5

9．指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假：

(1)有的集合中存在两个相同的元素；

(2)∀a，b∈R，(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3；

(3)存在一个x∈R，使＝0；

(4)对任意直角三角形的两个锐角A，B，都有sin A＝cos B．

解：(1)是存在量词命题，由集合中元素的互异性可知，此命题是假命题．

(2)是全称量词命题，∀a，b∈R，(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3＝a3＋b3是真命题．

(3)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．

(4)是全称量词命题，根据锐角三角函数的定义可知，对任意直角三角形的两个锐角A，B，都有sin A＝cos B，是真命题．

10．若对于一切x∈R且x≠0，都有|x|＞ax，求实数a的取值范围．

解：若x＞0，由|x|＞ax，得a＜＝1，

若x＜0，由|x|＞ax，得a＞＝－1，

若对于一切x∈R且x≠0，都有|x|＞ax，

则实数a的取值范围是－1＜a＜1.

[B级　综合运用]

11．能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab是真命题”的一组有序数对(a，b)为________．

解析：答案不唯一，如，，都符合题意．

答案：(答案不唯一)

12．是否存在整数m，使得命题“∀x≥－，－5＜3－4m＜x＋1”是真命题？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

解：假设存在整数m，使得命题“∀x≥－，－5＜3－4m＜x＋1”是真命题．

因为当x≥－时，x＋1≥，

所以－5＜3－4m＜，解得＜m＜2.

又m为整数，所以m＝1，

故存在整数m＝1，使得命题“∀x≥－，－5＜3－4m＜x＋1”是真命题．