北师大版 (2019)必修 第一册2.2 全称量词与存在量词当堂达标检测题

全称量词命题和存在量词命题的否定

[A级　基础巩固]

1．命题“∀x∈R，∃n∈N＋，使得n≥x2”的否定形式是(　　)

A．∀x∈R，∃n∈N＋，使得n＜x2

B．∀x∈R，∀n∈N＋，使得n＜x2

C．∃x∈R，∃n∈N＋，使得n＜x2

D．∃x∈R，∀n∈N＋，使得n＜x2

解析：选D　将“∀”改写成“∃”，“∃”改写成“∀”，再否定结论可得，该命题的否定为“∃x∈R，∀n∈N＋，使得n＜x2”．

2．已知p：∀x∈R，2x2＋2x＋＜0，q：∃a∈R，函数y＝x2－x＋a的图象与x轴有交点，则下列判断正确的是(　　)

A．p是真命题　　　　　 B．q是假命题

C．p的否定是假命题  D．q的否定是假命题

解析：选D　在命题p中，当x＝－时，2x2＋2x＋＝0，故p为假命题，p的否定为真命题；在命题q中，当a＝0时，函数y＝x2－x的图象与x轴有交点，故q为真命题，q的否定是假命题．故选D.

3．已知命题p：某班所有的男生都爱踢足球，则命题p的否定是(　　)

A．某班至多有一个男生爱踢足球

B．某班至少有一个男生不爱踢足球

C．某班所有的男生都不爱踢足球

D．某班所有的女生都爱踢足球

解析：选B　命题p是一个全称量词命题，它的否定是一个存在量词命题．

4．已知命题p：∀x≥0，有ex≥1或sin x≤1，则p的否定为(　　)

A．∃x＜0，使ex＜1且sin x＞1

B．∃x≥0，使ex＜1或sin x＞1

C．∃x≥0，使ex＜1且sin x＞1

D．∃x＜0，使ex≥1且sin x≤1

解析：选C　改变量词，否定结论，“或”的否定要变为“且”．

5．(多选)若“∀x∈M，有|x|＞x”为真命题，“∃x∈M，使x＞3”为假命题，则集合M可以是(　　)

A．(－∞，－5)  B．(－3，－1]

C．(3，＋∞)  D．[0，3]

解析：选AB　∵∃x∈M，x＞3为假命题，∴∀x∈M，x≤3为真命题，可得M⊆(－∞，3]．

又∀x∈M，|x|＞x为真命题，可得M⊆(－∞，0)．

∴M⊆(－∞，0)，对照选项可知A、B满足．

6．命题p：存在实数x∈M，使得x，3，4能成为三角形的三边长．若命题p为假命题，则x的取值集合M＝________．

解析：当命题p为真命题时，可得4－3＜x＜3＋4，即1＜x＜7.所以当命题p为假命题时，可得{x|x≤1或x≥7}．

答案：{x|x≤1或x≥7}

7．命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”，用符号表示为________，此命题的否定是________，是________命题(填“真”或“假”)．

解析：此命题用符号表示为∃x，y∈R，x＋y＞1，此命题的否定是∀x，y∈R，x＋y≤1，原命题为真命题，所以它的否定为假命题．

答案：∃x，y∈R，x＋y＞1　∀x，y∈R，x＋y≤1　假

8．下列命题：

①对一切实数x<0，都有|x|>x；

②∀x∈R，＝x；

③已知an＝2n，bm＝3m，对于任意n，m∈N＋，an≠bm.

其中，所有真命题的序号为________．

解析：①显然为真命题；

＝|x|＝故②为假命题；

当n＝3，m＝2时，a3＝b2，故③为假命题．

答案：①

9．写出下列命题的否定，并判断其真假：

(1)p：不论m取何实数，关于x的方程x2＋mx－1＝0都有实根；

(2)r：∃x∈{三角形}，x是等边三角形．

(3)s：至少有一个实数x，使x2＋1＝0.

解：(1)p的否定：∃m∈R，关于x的方程x2＋mx－1＝0无实根，假命题．

(2)r的否定：∀x∈{三角形}，x不是等边三角形，假命题．

(3)s的否定：∀x∈R，x2＋1≠0，真命题．

10．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅.

(1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；

(2)若命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．

解：(1)由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，

所以B⊆A，B≠∅，

所以解得2≤m≤3.

(2)由于命题q为真命题，则A∩B≠∅，

因为B≠∅，所以m≥2.

所以解得2≤m≤4.

[B级　综合运用]

11．已知命题p：∃x＞0，x＋a－1＝0.若p为假命题，则a的取值范围是________．

解析：∵p为假命题，∴p的否定为真命题，即∀x＞0，x＋a－1≠0，∴x≠1－a，∴1－a≤0，则a≥1.故a的取值范围是{a|a≥1}．

答案：{a|a≥1}

12．一学校开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求实数m的取值范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若“∀x∈R，x2＋2x＋m＞0”是真命题，求实数m的取值范围．你认为，两位同学题中实数m的取值范围是否一致？并说明理由．

解：两位同学题中实数m的取值范围是一致的．

∵“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m＞0”，而“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m＞0”是真命题．

∴两位同学题中实数m的取值范围是一致的．