高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.1 函数的奇偶性课后练习题

函数的奇偶性

[A级　基础巩固]

1．(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的有(　　)

A．f(x)g(x)是偶函数

B．|f(x)|＋g(x)是偶函数

C．f(x)|g(x)|是奇函数

D．|f(x)g(x)|是奇函数

解析：选BC　∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f(x)|是偶函数，|g(x)|是偶函数．根据一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)g(x)为奇函数，f(x)|g(x)|为奇函数，所以|f(x)g(x)|为偶函数，故选项A、D错误，选项C正确；由两个偶函数的和还是偶函数得选项B正确．故选B、C.

2．已知一个奇函数的定义域为{－1，2，a，b}，则a＋b等于(　　)

A．－1　　　　　　　　 B．1

C．0  D．2

解析：选A　因为该奇函数的定义域为{－1，2，a，b}，且奇函数的定义域关于原点对称，所以a与b中一个等于1，一个等于－2，所以a＋b＝1＋(－2)＝－1，故选A.

3．已知f(x)为奇函数，在区间[3，6]上是增函数，且在此区间上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)＝(　　)

A．－15  B．－13

C．－5  D．5

解析：选A　因为函数f(x)在[3，6]上是增函数，所以f(6)＝8，f(3)＝－1，又函数f(x)为奇函数，所以2f(－6)＋f(－3)＝－2f(6)－f(3)＝－2×8＋1＝－15，故选A.

4．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x－2)，则当x＜0时，f(x)的表达式为(　　)

A．f(x)＝x(x－2)  B．f(x)＝x(x＋2)

C．f(x)＝－x(x－2)  D．f(x)＝－x(x＋2)

解析：选D　∵函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵当x≥0时，f(x)＝x(x－2)，∴当x＜0，即－x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)·(－x－2)]＝－x(x＋2)．故选D.

5．设f(x)为偶函数，且在区间(－∞，0)内是增函数，f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为(　　)

A．(－1，0)∪(2，＋∞)  B．(－∞，－2)∪(0，2)

C．(－2，0)∪(2，＋∞)  D．(－2，0)∪(0，2)

解析：选C　根据题意，偶函数f(x)在(－∞，0)上为增函数，且f(－2)＝0，

则函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(－2)＝f(2)＝0，作出函数f(x)的草图如图所示，

又由xf(x)<0，

可得或

由图可得－2<x<0或x>2，

即不等式的解集为(－2，0)∪(2，＋∞)．故选C.

6．能说明“若f(x)是奇函数，则f(x)的图象一定过原点”是假命题的一个函数是f(x)＝________．

解析：举出x＝0不在定义域内的奇函数即可，如f(x)＝.

答案：(答案不唯一)

7．已知f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋2x，则f(1)的值是________．

解析：∵当x<0时，f(x)＝x2＋2x，∴f(－1)＝－1，又f(x)是奇函数，故f(1)＝－f(－1)＝1.

答案：1

8．已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝1，若f(x＋a)≤1对x∈[－1，1]恒成立，则实数a的取值范围是________．

解析：由题意，知f(x＋a)≤f(2)对x∈[－1，1]恒成立，即－2≤x＋a≤2对x∈[－1，1]恒成立，即－2－x≤a≤2－x对x∈[－1，1]恒成立．当x∈[－1，1]时，(－2－x)max＝－2－(－1)＝－1，(2－x)min＝2－1＝1，所以－1≤a≤1，所以实数a的取值范围是[－1，1]．

答案：[－1，1]

9．设函数f(x)＝x2－2|x－a|＋3，x∈R.

(1)王鹏同学认为，无论a取何值，f(x)都不可能是奇函数．你同意他的观点吗？请说明你的理由；

(2)若f(x)是偶函数，求a的值；

(3)在(2)的情况下，画出y＝f(x)的图象并指出其单调递增区间．

解：(1)我同意王鹏同学的观点．

理由如下：

假设f(x)是奇函数，

则由f(a)＝a2＋3，f(－a)＝a2－4|a|＋3，

可得f(a)＋f(－a)＝0，

即a2－2|a|＋3＝0，

显然a2－2|a|＋3＝0无解，

∴f(x)不可能是奇函数．

(2)若f(x)为偶函数，则有f(a)＝f(－a)，

即a2＋3＝a2－4|a|＋3，解得a＝0.

经验证，此时f(x)＝x2－2|x|＋3是偶函数．

(3)由(2)知f(x)＝x2－2|x|＋3，其图象如图所示，

由图可得，其单调递增区间是(－1，0)和(1，＋∞)．

10．已知函数f(x)＝x2＋(b＋1)x＋1是定义在[a－2，a]上的偶函数，g(x)＝f(x)＋|x－t|，其中a，b，t均为常数．

(1)求实数a，b的值；

(2)试讨论函数g(x)的奇偶性；

(3)若－≤t≤，求函数g(x)的最小值．

解：(1)由题意，得

解得

(2)由(1)得g(x)＝x2＋|x－t|＋1，x∈[－1，1]．

当t＝0时，g(x)＝x2＋|x|＋1＝g(－x)，则函数g(x)为偶函数；

当t≠0时，g(x)为非奇非偶函数．

(3)g(x)＝f(x)＋|x－t|＝

所以函数g(x)在[t，1]上单调递增，

则g(x)min＝g(t)＝t2＋1；

函数g(x)在[－1，t]上单调递减，

则g(x)min＝g(t)＝t2＋1.

综上，函数g(x)的最小值为t2＋1.

[B级　综合运用]

11．已知定义在R上的函数f(x)满足对任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1，则(　　)

A．f(x)是偶函数  B．f(x)是奇函数

C．f(x)－1是偶函数  D．f(x)－1是奇函数

解析：选D　法一：根据题意，对任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1，令x1＝x2＝0，可得f(0)＝2f(0)－1，解得f(0)＝1.再令x1＝－x，x2＝x，则有f(0)＝f(x)＋f(－x)－1，整理可得f(x)＋f(－x)＝2，因此函数f(x)既不是偶函数也不是奇函数，A、B错误；对于f(x)＋f(－x)＝2，变形可得[f(x)－1]＋[f(－x)－1]＝0，因此函数f(x)－1是奇函数，故C错误，D正确．

法二：设F(x)＝f(x)－1，由f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1，可得f(x1＋x2)－1＝f(x1)－1＋f(x2)－1，则F(x1＋x2)＝F(x1)＋F(x2)．令x1＝x2＝0，得F(0)＝0；令x1＝x，x2＝－x，得F(0)＝F(x)＋F(－x)＝0，所以F(x)＝f(x)－1是奇函数，故选D.

12．(2021·安徽师大附中高一月考)已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f＝.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数；

(3)解关于实数t的不等式f(t－1)＋f(t)<0.

解：(1)因为函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，所以f(0)＝0，得b＝0.

又知f＝，所以＝，解得a＝1，

所以f(x)＝.

(2)证明：任取x1，x2∈(－1，1)，且x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝－＝，

由于－1<x1<x2<1，所以－1<x1x2<1，即1－x1x2>0，

所以>0，即f(x2)－f(x1)>0，所以f(x)在(－1，1)上是增函数．

(3)因为f(x)是奇函数，

所以f(－x)＝－f(x)，

所以f(t－1)＋f(t)<0等价于f(t－1)<－f(t)＝f(－t)，即f(t－1)<f(－t)，

又由(2)知f(x)在(－1，1)上是增函数，

所以解得0<t<，

即原不等式的解集为.