2023年高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练12《不等式选讲》(2份，教师版+原卷版)

2023年高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练

12《不等式选讲》

1.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.

(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；

(2)如果∃x∈R，使得f(x)＜2成立，求实数a的取值范围.

【答案解析】解：(1)若a＝－1，f(x)≥3，即为|x－1|＋|x＋1|≥3，

当x≤－1时，1－x－x－1≥3，即有x≤－；

当－1＜x＜1时，1－x＋x＋1＝2≥3不成立；

当x≥1时，x－1＋x＋1＝2x≥3，解得x≥.

综上可得，f(x)≥3的解集为(-∞,－]∪[,+∞)；

(2)∃x∈R，使得f(x)＜2成立，即有2＞f(x)min，

由函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|≥|x－1－x＋a|＝|a－1|，

当(x－1)(x－a)≤0时，取得最小值|a－1|，

则|a－1|＜2，即－2＜a－1＜2，解得－1＜a＜3.

则实数a的取值范围为(－1，3).

2.设函数f(x)＝|x-|＋|x－a|，x∈R.

(1)当a＝－时，求不等式f(x)≥4的解集；

(2)若关于x的不等式f(x)≥a在R上恒成立，求实数a的最大值.

【答案解析】解：(1)f(x)＝|x-|＋|x+|

＝

由f(x)≥4得或

解得x≤－1或x≥3，

所以不等式的解集为{x|x≤－1或x≥3}.

(2)由绝对值的性质得f(x)＝|x-|＋|x－a|≥|(x-)-(x-a)|＝|a-|，

所以f(x)的最小值为|a-|，从而|a-|≥a，解得a≤，

因此a的最大值为.

3.已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.

(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；

(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围.

【答案解析】解：(1)当a＝－3时，f(x)＝

当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；

当2＜x＜3时，f(x)≥3无解；

当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4；

所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}.

(2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.

当x∈[1，2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|

⇔4－x－(2－x)≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a.

由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.

故满足条件的a的取值范围为[－3，0].

4.已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.

(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；

(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围.

【答案解析】解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.

解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.

因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}.

(2)当x∈R时，

f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，

当x＝时等号成立，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①

当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解.

当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.

所以a的取值范围是[2，＋∞).

5.已知函数f(x)＝|x＋2|－m，m∈R，且f(x)≤0的解集为[－3，－1].

(1)求m的值；

(2)设a，b，c为正数，且a＋b＋c＝m，求＋＋的最大值.

【答案解析】解：(1)由题意，|x＋2|≤m⇔

由f(x)≤0的解集为[－3，－1]，得解得m＝1.

(2)由(1)可得a＋b＋c＝1，

由柯西不等式可得(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)(12＋12＋12)≥(＋＋)2，

∴＋＋≤3，

当且仅当＝＝，即a＝b＝c＝时等号成立，

∴＋＋的最大值为3.

6.设不等式－2＜|x－1|－|x＋2|＜0的解集为M，a，b∈M，

(1)证明：|a＋b|＜；

(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由.

【答案解析】解：(1)证明：记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝

由－2＜－2x－1＜0解得－＜x＜，则M＝(- ,).

∵a，b∈M，∴|a|＜，|b|＜.

∴|a＋b|≤|a|＋|b|＜×＋×＝.

(2)由(1)得a2＜，b2＜.

因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)

＝(4a2－1)(4b2－1)＞0，

所以|1－4ab|2＞4|a－b|2，故|1－4ab|＞2|a－b|.

7. [选修4－5：不等式选讲]

已知函数f(x)=|x－m|＋|x＋1|(m∈R)的最小值为4.

(1)求m的值；

(2)若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋2b＋3c=m，求证：＋＋≥3.

【答案解析】解：(1)f(x)=|x－m|＋|x＋1|≥|(x－m)－(x＋1)|=|m＋1|，

所以|m＋1|=4，解得m=－5或m=3.

(2)由题意，a＋2b＋3c=3.

于是＋＋=(a＋2b＋3c)

=

≥=3，

当且仅当a=2b=3c时等号成立，即a=1，b=，c=时等号成立．

8. [选修4－5：不等式选讲]

已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|.

(1)解不等式f(x)≤3；

(2)记函数y＝f(x)＋|x＋1|的最小值为m，若正实数a，b满足a＋b＝m，

求证：＋≥.

【答案解析】解：(1)依题意得f(x)

＝

由f(x)≤3，得或或

解得－1≤x≤1.

即不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤1}．

(2)证明：y＝f(x)＋|x＋1|

＝|2x－1|＋|x＋1|＋|x＋1|

＝|2x－1|＋|2x＋2|

≥|2x－1－2x－2|＝3，

当且仅当(2x－1)(2x＋2)≤0时取等号，所以m＝3，∴a＋b＝3，

则＋＝(a＋b)＝≥＝，

当且仅当a＝b＝时取等号．