贵州省遵义五十七中2021-2022学年八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

贵州省遵义五十七中2021-2022学年八年级（下）第一次月考数学试卷

一．选择题（本题共12小题，共48分）

1. 要使二次根式有意义，字母必须满足的条件是

A.  B.  C.  D.

2. 与是同类二次根式的是

A.  B.  C.  D.

3. 下列根式不是最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

4. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 下列各组数中，以，，为边的三角形不是直角三角形的是

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

6. 若最简二次根式与是同类二次根式，则的值是

A.   B.   C.

7. 如图，在中，分别以三角形的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，若，，则的值为

A.
B.
C.
D.

8. 已知一个直角三角形的两边长分别为和，则第三边长是

A.  B.  C.  D. 或

9. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是

A.  B.  C.  D.

10. 有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行

A.  B.  C.  D.

11. 如图，在数轴上，点，表示的数分别为，，于点，且连接，在上截取，以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，则点表示的实数是

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在底面周长为，高为的圆柱体上有，两点，则之间的最短距离是

1. 
   B.
   C.
   D.

二．填空题（本题共4小题，共16分）

13. 计算： ______ ．
14. 如图，一棵垂直于地面的大树在离地面米处折断，树的顶端落在离树杆底部米处，那么这棵树折断之前的高度是______米．
     

15. 若与互为相反数，则______．
16. 观察下列各式：请你将发现的规律用含自然数的代数式表达出来______．

三．计算题（本题共1小题，共8分）

17. 计算：
    ；
    ；
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     

四．解答题（本题共7小题，共78分）

18. 已知：，，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，已知是中边上的高，，，．
    求的长．

20. 如图，正方形网格中每个小正方形边长都是，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：
    在网格中画出长为的线段．
    在网格中画出一个腰为无理数的等腰直角三角形．

21. 如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬个单位长度后到达点，点表示，设点所表示的数为．
    求的值；
    求的值．

22. 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”中，，若，，请你利用这个图形解决下列问题：
    试说明；
    如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒．
    出发秒后，求的周长；
    当为几秒时，平分；
    问为何值时，为等腰三角形？

【知识链接】
有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．
例如：的有理化因式是；的有理化因式是．
分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：
，．
【知识理解】
填空：的有理化因式是______；
直接写出下列各式分母有理化的结果：
______；______．
【启发运用】
计算：．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数作答．
函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
【解答】
解：根据二次根式的意义，被开方数，解得．
故选：．  

2.【答案】
 

【解析】解：、，故A错误；
B、与不是同类二次根式，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误；
故选C．
根据同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，可得答案．
本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
 

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．
根据最简二次根式的判断标准即可得到正确的选项．
【解答】
解：．
故选D．  

4.【答案】
 

【解析】解：、和不能合并，故本选项错误；
B、，原式计算错误，故本选项错误；
C、，计算正确，故本选项正确；
D、，原式计算错误，故本选项错误．
故选：．
结合选项分别进行二次根式的加减运算和乘除运算，然后选择正确选项．
本题考查了二次根式的加减法和乘除法，解答本题的关键是掌握二次根式的加减法则和乘除法则．
 

5.【答案】
 

【解析】解：、，该三角形不是直角三角形，故A选项符合题意；
B、，该三角形是直角三角形，故B选项不符合题意；
C、，该三角形是直角三角形，故C选项不符合题意；
D、，该三角形不是直角三角形，故D选项不符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

6.【答案】
 

【解析】解：最简二次根式与是同类二次根式，
，
解得：，
则，
故选C
利用同类二次根式定义判断求出的值，即可求出的值．
此题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握同类二次根式定义是解本题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：在中，，
由正方形面积公式得，，，
，，
．
故选：．
由正方形的面积公式可知，，，在中，由勾股定理得，即，由此可求．
本题考查了勾股定理．关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积．
 

8.【答案】
 

【解析】解：
分为两种情况：斜边是有一条直角边是，由勾股定理得：第三边长是；
和都是直角边，由勾股定理得：第三边长是；
即第三边长是或，
故选：．
分为两种情况：斜边是有一条直角边是，和都是直角边，根据勾股定理求出即可．
本题考查了对勾股定理的应用，注意：在直角三角形中的两条直角边、的平方和等于斜边的平方．
 

9.【答案】
 

【解析】解：，
的整数部分，
则小数部分是：，
则
．
故选：．
首先根据的整数部分，确定的整数部分的值，则即可确定，然后代入所求解析式计算即可求解．
本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：如图，设大树高为，
小树高为，
过点作于，则四边形是矩形，
连接，
，，，
在中，．
故选：．
根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：，
，
，，
，
，
，
，
，
点表示的实数是．
故选：．
根据垂直的定义得到，根据勾股定理得到，求得，根据圆的性质得到，即可得到结论．
本题考查了勾股定理，实数与数轴，圆的性质，正确掌握勾股定理是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：如图，把圆柱侧面展开后，走的路线最短，

底面周长，，
，
故选：．
立体图形转换成平面图形，利用两点之间线段最短，求解即可．
本题考查最短路径问题，关键是把立体图形转换到平面图形来做，运用勾股定理可求解．
 

13.【答案】
 

【解析】解：原式．
先把括号里的二次根式化简，合并，再做二次根式的除法运算．
按照运算顺序，先做括号里的加减运算，即化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
 

14.【答案】
 

【解析】解：一棵垂直于地面的大树在离地面米处折断，树的顶端落在离树杆底部米处，
折断的部分长为，
折断前高度为米．
故答案为．
由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
 

15.【答案】
 

【解析】解：与互为相反数，
，
，，
，，
．
．
故答案为：．
根据与互为相反数以及绝对值和算数平方根的非负性可知，，求出，代入要求代数式即可求值．
本题考查解二元一次方程组以及绝对值和算数平方根的非负性，解题关键是熟知绝对值和算数平方根的非负性．
 

16.【答案】
 

【解析】解：；
    ；
．
故答案为：．
观察分析可得：；；则将此题规律用含自然数的等式表示出来
本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．本题的关键是根据数据的规律得到．
 

17.【答案】解：

；



；



；


．
 

【解析】先算乘方，零指数幂，绝对值，再算加减即可；
先化简，再算括号里的减法，最后算乘法即可；
先化简，再按运算顺序运算即可；
利用平方差公式，完全平方公式进行运算，再进行加减运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
 

18.【答案】解：原式，
当，时，
原式
．
 

【解析】首先把原式化为，把，代入原式计算即可．
本题主要考查了二次根式的化简求值、多项式与多项式相乘，熟练掌握平方差公式及配方法在整式中的应用是解题关键．
 

19.【答案】解：是中边上的高，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
的长为．
 

【解析】利用勾股定理求出，从而得出的长．
本题主要考查了勾股定理，利用勾股定理求出的长是解题的关键，属于基础题．
 

20.【答案】解：如图，线段即为所求；
如图，即为所求．

 

【解析】利用数形结合的思想画出图形即可；
根据等腰直角三角形的定义以及数形结合的思想画出图形即可．
本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，等腰直角三角形等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：由题意可知：，
．
当时，
原式

．
 

【解析】根据题意列出算式即可求出的值．
将代入原式即可求出答案．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是正确列出算式求出的值，本题属于基础题型．
 

22.【答案】解：大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为，
即；
由图可知，，，
，
．
 

【解析】根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．
根据完全平方公式的变形解答即可．
本题考查了对勾股定理的证明和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：，，，有勾股定理得，动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒
出发秒后，则，那么．
，
由勾股定理得
的周长为：；
如图所示，过点作于点，
平分，
                                
在与中，，
≌，
 ，
                             
设 ，则
在中，，
即，
解得：，
当秒时，平分；  
若在边上时，，
此时用的时间为，为等腰三角形；
若在边上时，有两种情况：
若使，此时，运动的路程为，
所以用的时间为，故时为等腰三角形；
若，过作斜边的高，根据面积法求得高为，
根据勾股定理求得，
所以运动的路程为，
的时间为，为等腰三角形；
若时，则，
，，，

的路程为，所以时间为时，为等腰三角形．
或或或  时为等腰三角形．
 

【解析】利用勾股定理得出，进而表示出的长，由勾股定理求出，进而得出答案；
过点作于点，由证明≌，得出，因此，设 ，则，由勾股定理得出方程，解方程即可；
利用分类讨论的思想和等腰三角形的特点及三角形的面积求出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键．
 

24.【答案】解：；
 ；  ；
原式，
，
．
 

【解析】解：，
的有理化因式是．
故答案为：．
；
．
故答案为：；．
见答案．
由，即可找出的有理化因式；
分式中分子、分母同时，即可得出结论；分式中分子、分母同时，即可得出结论；
利用分母有理化将原式变形为，合并同类项即可得出结论．
本题考查了分母有理化，解题的关键是：
由，找出的有理化因式；
根据平方差公式，将各式分母有理化；
利用分母有理化将原式变形为．